Aire maximale dans un triangle
On veut déterminer pour quelle position de. M l'aire du rectangle ANMP est maximale. II. Public/Niveau : Seconde prolongement possible en 1ère S.
Brevet Blanc n°1 – Épreuve de mathématiques
Pour avoir un maximum de lots on doit calculer le Plus Grand L'aire maximale de ce rectangle est d'environ 60 cm² ; elle est obtenue pour x ? 7
Fonction exponentielle - aire maximale Solution page suivante
4 déc. 2013 1. Montrer que l'aire du rectangle OPMQ est maximale lorsque M a pour abscisse ?. Déterminer un encadrement de cette aire maximale.
NOTION DE FONCTION
3) Donner les dimensions d'un rectangle dont l'aire est environ égale à 1 cm2. 4) Quelle semble être la nature du rectangle dont l'aire est maximum ? 1) A(05)
Spécialité première
à un rectangle d'aire maximale. 1. Déterminer l'aire du rectangle L'aire du rectangle ABDE est maximale pour x=2 cette aire maximale est égale à 36.
Corrigé du sujet de Mathématiques et propositions pour une correction
L'aire est maximum sur le dernier rectangle qui est un carré. L'exercice 2 : Réinvestissement de l'exercice 1 dans un cadre de représentation géométrique mais
ESD 2015 –03 : Optimisation
dans le triangle ABC. Où faut-il placer le point R pour que l'aire du rectangle REFT soit maximale ? B. Les réponses de trois élèves de seconde.
Corrigé du sujet de Mathématiques et propositions pour une correction
PREMIERE EPREUVE (8 POINTS). MAITRISE DE CONNAISSANCES MATHEMATIQUES. EXERCICE 1. 1- Calcul de la distance AC. Le triangle ABC étant rectangle en B on calcule
Spécialité première
2.b. Montrer que l'aire du rectangle MSFE en fonction de l'abscisse x de M est 8x-2x3. 2.c. Montrer que l'aire maximale du rectangle MSFE est.
Enseignement scientifique
Grandeurs et mesure : calculs de longueurs d'aires et de volumes. 1re. Histoire
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Expérimenter,
conjecturer, démontrerAire maximale dans un
triangleFiche professeur
I. Présentation de l'activité
Soit ABC un triangle rectangle en A.
Le point M est un point mobile sur le segment
[BC].On appelle N et P les projetés orthogonaux de
M respectivement sur les segments [AB] et
[AC].On veut déterminer pour quelle position de
M l'aire du rectangle ANMP est maximale.
II. Public/Niveau : Seconde, prolongement possible en 1ère
S.III. Objectifs
Expérimenter, conjecturer et démontrer sur un problème d'optimisation. Conformément au programme officiel de seconde, cette activité aide " à poursuivre l'apprentissage d'une démarche déductive », en utilisant " les possibilités qu'offrent les logiciels de géométrie ».IV. Pré-requis
Mathématiques :
Connaissances mobilisées des années antérieures : aire d'un rectangle, théorème de Pythagore, théorème de Thalès ou trigonométrie. Pré-requis de seconde : Exprimer une valeur en fonction d'une variable, extremum d'une fonction, triangles semblables (non indispensable).T.I.C.E. :
Construire une figure avec un logiciel de géométrie dynamique.V. Déroulement de l'activité
Pour l'expérimentation et la conjecture :en groupe en salle informatique, un ou deuxélèves par poste.
La construction simple de la figure sur un logiciel de géométrie dynamique avec affichage de longueurs et d'aires permet sans calcul de conjecturer rapidement la solution. Si on n'impose pas cette construction : On peut s'attendre à une accumulation d'exemples de calculs de longueurs et d'aire sur tableur ou calculatrice ; certains élèves peuvent avoir l'idée d'exprimer l'aire f(x) en fonction d'une longueur x dépendant de M et d'étudier la fonction f à l'aide de la calculatrice (table de valeurs,graphe, ...) ou sur tableur. Cette idée ne nous paraît pas " naturelle » pour un élève si le
problème est posé en début de seconde, mais devrait être plus fréquente en fin d'année ou en
Première S.
Pour la démonstration : en classe entière.
Suivant les difficultés rencontrées, des fiches sont mises à disposition des élèves : Pour la construction une aide technique pour le logiciel choisi.GRAL 2007-2008
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Pour l'expérimentation une aide méthodologique (3 niveaux). Pour la démonstration par l'étude d'une fonction une aide mathématique (4 niveaux)VI. Apport de l'outil informatique
Dans tous les cas, l'existence d'une conjecture solide change la méthode de travail pourconstruire la démonstration : les élèves ne partent pas à l'aveuglette, ils ont un but clair et des
outils supplémentaires. Par exemple, conjecturer la valeur du maximum permet une démonstrationavec les outils algébriques de Seconde, en prenant un triangle particulier de dimension connues. De
plus on peut songer aussi en Seconde dans le cas général à une démonstration géométrique par
" découpage » des aires : voir ci-dessous dans les démonstrations possibles. Cette activité permet de valider des compétences du B2i dans les domaines 1 et 3 : Domaine 1 : S'approprier un environnement informatique de travail fiche élève ; Domaine 3 : Créer, produire, traiter, exploiter des données.VII. Démonstrations et variantes
Démonstration par l'étude d'une fonction :
Dans le cas général elle comporte trop de paramètres et nous semble donc hors de portée d'un élève
moyen de seconde et même difficile à envisager en Première. En demandant la démonstration dans
un cas particulier simple, on n'enlève pas l'intérêt de l'activité.On peut prendre par exemple AB 4 et AC 3.
En posant BM x, l'aire f(x) du rectangle ANMP est une fonction du second degré. On dispose donc des méthodes classiques en Seconde par factorisation de f(x) - m (où m est le maximum conjecturé) ou en 1ère
S avec l'utilisation de la dérivée ou des propriétés des fonctions trinômes. On peut envisager une démonstration géométrique :Si M est placé au milieu de [BC], il est clair que l'aire de ANMP vaut la moitié de l'aire du triangle
ABC (tracer [AM] au besoin).
Si M n'est pas au milieu de [BC], on peut montrer que l'aire de AMNP est inférieure à la moitié de l'aire du triangle ABC voir la figure ci-contre dans le cas où M est plus près de B que de C : on trace le symétrique B' de B par rapport à M. L'aire de IMNb' est la moitié de l'aire de BB'b', mais l'aire de APIb' est moins de la moitié de l'aire restante...Notre énoncé peut être traité suivant les scénarios des activités 3 " Distance minimale dans un
triangle » et 4 " Orthogonalité dans un triangle ».VIII. Annexes
Fiche élève ;
une aide méthodologique avec 3 niveaux ; une aide mathématique dans le cadre fonctionnel avec 4 niveaux. Fichier complémentaire disponible en téléchargement : aide technique pour la construction de la figure (aidetechniquegeogebra.doc) AB C M P N B' b' IGRAL 2007-2008
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Expérimenter,
conjecturer, démontrer.Aire maximale dans un
triangleFiche élève
Vous devrez faire un compte rendu de votre travail qui sera évalué.Vous travaillerez en autonomie.
En cas de besoin, vous pouvez consulter des aides de niveaux gradués (aide technique d'utilisation
du logiciel de géométrie, aide méthodologique sur la démarche à suivre ou aide mathématique).
Soit ABC un triangle rectangle en A .
Le point M est un point mobile sur le segment [BC]. On appelle N et P les projetés orthogonaux de M respectivement sur les segments [AB] et [AC].On veut déterminer pour quelle position de M
l'aire du rectangle ANMP est maximale.1. Faire une figure avec un logiciel de géométrie.
2. Expérimenter et conjecturer la position du point
M donnant l'aire maximale.
3. Démontrer votre conjecture.
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Expérimenter,
conjecturer, démontrerAire maximale dans un
triangle Aide méthodologiqueNiveau I.
1. Faire une figure avec un logiciel de géométrie.
2. En étudiant plusieurs cas de figures, conjecturer la position du point M donnant l'aire
maximale.3. Démontrer la conjecture.
Expérimenter,
conjecturer, démontrerAire maximale dans un
triangle Aide méthodologiqueNiveau II.
1. Faire une figure avec un logiciel de géométrie.
2. En étudiant plusieurs cas de figures conjecturer la position du point M donnant l'aire
maximale : on pourra faire afficher des longueurs et aires et faire varier ce que l'on peut faire varier.3. Démontrer la conjecture dans le cas AB 4 et AC 3.
Expérimenter,
conjecturer, démontrerAire maximale dans un
triangle Aide méthodologiqueNiveau III.
1. Faire une figure avec un logiciel de géométrie.
2. En étudiant plusieurs cas de figures conjecturer la position du point M donnant l'aire
maximale : on pourra faire afficher la longueur du segment [BM] et l'aire du rectangle AMNP ; puis déplacer le point M sur le segment [BC].3. Démontrer la conjecture dans le cas AB 4 et AC 3.
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Expérimenter,
conjecturer, démontrerAire maximale dans un
triangle Aide mathématiqueNiveau I.
1) Exprimer l'aire
fx du rectangle ANMP en fonction d'une longueur variable nommée x.2) Si on appelle m la valeur qui semble être la valeur maximale de l'aire du rectangle ANMP,
montrer que m est un maximum pour la fonction f.Expérimenter,
conjecturer, démontrerAire maximale dans un
triangle Aide mathématiqueNiveau II.
1) On pose BM x. Exprimer l'aire
fx du rectangle ANMP en fonction de x.2) Si on appelle m la valeur qui semble être la valeur maximale de l'aire du rectangle ANMP,
montrer que m est un maximum pour la fonction f , c'est à dire que pour tout x de ]0 ; 5[ on a fxm.Expérimenter,
conjecturer, démontrerAire maximale dans un
triangle Aide mathématiqueNiveau III.
1) On pose BM x. Exprimer MN, NB puis AN en fonction de x. En déduire l'aire
fx du rectangle ANMP en fonction de x.2) Si on appelle m la valeur qui semble être la valeur maximale de l'aire du rectangle ANMP,
montrer que m est un maximum pour la fonction f, c'est à dire que pour tout x de ]0 ; 5[, fxm (on pourra pour cela étudier le signe de la différencefxm).Expérimenter,
conjecturer, démontrerAire maximale dans un
triangle Aide mathématiqueNiveau IV.
1) On pose BM x. Exprimer MN, NB puis AN en fonction de x. En déduire l'aire
fxdu rectangle ANMP en fonction de x (on pourra utiliser le théorème de Thalès, les triangles semblables ou la trigonométrie).2) Si on appelle m la valeur qui semble être la valeur maximale de l'aire du rectangle ANMP,
montrer que m est un maximum pour la fonction f, c'est à dire que pour tout x de ]0 ; 5[, fxm. On pourra pour cela étudier le signe de la différence fxm (on essaiera de factoriser cette dernière expression à l'aide d'une identité remarquable).quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45[PDF] aire minimale d un parallélogramme dans un rectangle PDF Cours,Exercices ,Examens
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