Deux disques dans un carré Table des matières PDF

ACADÉMIE de POITIERS

2. Académie de Poitiers. 96. Olympiades académiques de première - 2002 deux cercles est. On en déduit immédiatement que cette aire est minimale quand.

Deux disques dans un carré Table des matières

Connaissances mathématiques : parabole étude de fonction

199 défis (mathématiques) à manipuler !

Place les jetons sur les sommets des carrés de telle sorte que leur nombre soit égal à celui inscrit dans le carré. 3. 2. 3. 2. 3. 3. 1. 2. 3. IREM de Lyon

Corrigé du sujet de Mathématiques et propositions pour une correction

donc pour un arc de longueur x-2 l'aire du secteur de disque sera 1ère partie : L'aire d'un carré inscrit dans un cercle de rayon R est égale à 2 R2.

Enseignement scientifique

Lorsque la maille est un carré la surface occupée dans une maille est celle d'un disque de rayon soit que l'on divise par 1 qui est l'aire du carré de côté

Enseignement scientifique

22 juin 2019 1re. Les mathématiques et le rayonnement solaire. Rôle de l'inclinaison des ... Cette aire minimale pour un éclairage perpendiculaire.

Les olympiades mathématiques de première 2016 Solutions

Celles-ci sont dues à Max Hochart responsable de la rubrique des problèmes de l'APMEP Résultat obtenu en faisant le rapport des aires des deux disques.

OLYMPIADES ACADÉMIQUES MATHÉMATIQUES

de Mathématiques de Et qu'elle est maximale quand r est maximal et r' minimal (ou inversement) ... La somme des aires des deux disques est ?(r2 + r'2).

LATEX pour le prof de maths !

11 janv. 2021 Le maximum à chacun et le minimum à tous. ... 2.6.2 Lettres accentuées et autres symboles divers . ... 13.5.2 Aire entre deux courbes .

Épreuve de mathématiques CRPE 2021 groupe 4.

2. Vérifier que si x = 2 alors l'aire du quadrilatère grisé AMCL est égale à d'entre elles est un disque intérieur ayant pour centre celui du carré et ...

Deux disques dans un carré

Table des matières

1 Fiche résumé2

2 Fiche élève Seconde - version 1 3

2.1 Le problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Construction de la figure avec geogebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Démontrer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Fiche élève Seconde - version 2 5

3.1 Le problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Construction de la figure avec geogebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3 Démontrer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Fiche élève Seconde - version 3 7

4.1 Le problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2 Lien entre les rayons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3 Construction de la figure avec geogebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4 Démontrer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Fiche élève Première S - version 1 8

5.1 Travail avec geogebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2 Démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 Fiche élève Première S - version 2 9

6.1 Travail avec geogebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2 Démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 Éléments de réponse10

7.1 Construction de la figure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.1.1 Étape 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.1.2 Étape 2 : avec une parabole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.1.3 Étape 2 : avec les bissectrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.1.4 Étape 3 : "bornes" pour le pointE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 1

7.1.5 Somme des aires maximale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.1.6 Lieu du pointM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 2

7.2 Démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13 1

1 Fiche résumé

N iveau: secon de- p remière

2. Logiciel : g eogebra(o uau trelogiciel de géométr iedynam ique). 3. A pportdes t ice: l aconst ructiondynam iquede la fig ureper metd "avancerd ansl "analyseet la

compréhension du problème. La construction elle-même demande une réflexion mathématique.

C onnaissancesmat hématiques: p arabole,étude de f onction,h omothétie,cer cleinsc ritd ansu n

triangle. 5. Scen ario: T P1 h eureen sall ein foet d émonstrationen DM . 6.

P rolongement: ce t pétan tfa it,on peut deman derun tr availa uxél èvescons istantà r eprendrela

geospace parallèlement à l"étude du problème.2

2 Fiche élève Seconde - version 1

Dans cette version, on indique une méthode de construction du centre du deuxième cercle s"appuyant

sur la définition de la parabole comme ensemble des points équidistants d"une droite et d"un point.

Le principal avantage de ce procédé est de présenter ainsi au moins une fois dans l"année la para-

bole comme un ensemble caractérisé géométriquement : cela permet d"avoir un point d"appui pour

faire comprendre, dans d"autres contextes, que la représentation graphique de la fonctionx7¡!x4par

exemple n"est pas une parabole, c"est à dire que ce que l"on appelle parabole n"est pas simplement une

courbe "vaguement en forme de ...".Deux disques, d"intersection vide, sont contenus dans un carré. On cherche positions et rayons pour

que la somme des aires soit maximale.

2.1 Le problème

Le plan est muni d"un repère orthonormal.

centré sur un pointFde la diagonale [AC]. Ces deux cercles sont tels que : -C1est tangent à la droite (AB), -C2est tangent à la droite (CB), -C1etC2sont tangents,

-C1etC2sont entièrement contenus dans le carré.L"objectif est de déterminer la position des pointsEetFet les rayonsr1etr2des cerclesC1etC2de

façon à ce que la somme des aires des disques délimités parC1etC2soit maximale.Fiche élève version 1

2.2 Construction de la figure avec geogebra

Dans une feuille geogebra :

1. Définir lespointsA(0;0),B(1,0)etcomplèterenuncarréavecl"outilpolygonerégulier(avecC(1,1) etD(0;1) ). 2.

P laceru npoint l ibreEsur le segment [AC].

C onstruirele cer cleC1de centreEtangent au côté [AB] du carré. Expliquer votre procédure.

4. P ourquoipeut-on affi rmerque le cer cleC1est également tangent au côté [AD] du carré? 5.

P ourc onstruirele cen tredu deuxième cer cle,v ousa llezutili serl apr opriétésu ivantedes par a-

boles :

Soitun point et¢une droite.

L"ensemble des pointsMdu plan qui vérifientMAEdistance(M,¢) est une parabole.Cette parabole peut s"obtenir avec le logiciel geogebra en tapant dans la ligne de saisie :

parabole[,¢] Construire le cercleC2avec cet outil. Expliquer votre démarche. 6. I lsemble qu ele point Edoive être sur un segment [IJ] contenu dans le segment [AC] afin que les contraintes imposées aux cercles soient satisfaites. Déterminer les positions des pointsIetJde façon expérimentale. 7.

Q uep eut-onc onjecturersur l along ueurEF?

8. F aireu necon jecturesu rla (les) p osition(s)du point Erendant maximale la somme des aires des disques délimités par les cerclesC1etC2. 9. F aireu neconject uresur l a(les) posit ion(s)du p ointErendant minimale la somme des aires des disques délimités par les cerclesC1etC2. 10.

D éfiniru npoint Mpar :

Quel semble être le lieu géométrique du pointMlorsqueEparcourt le segment [IJ]?

2.3 Démontrer

Démont rerla r elation

p2r1Åp2r2År1År2AEp2 2. Donn erp récisémentl esp ositionsdes p ointsIetJ. 3. A l "aidede l af onctionfde la variablexAEr1donnant la somme des aires des deux disques, ré-

pondre à la question de la position du pointErendant maximale cette somme.Fiche élève version 1, suite

3 Fiche élève Seconde - version 2

Ce deuxième scénario laisse l"élève construire le deuxième centre du cercle avec les outils de géométrie

qu"un élève de seconde doit maîtriser (intersection des bissectrices d"un triangle). Cette partie de la

construction peut ainsi être traitée de façon plus autonome par les élèves. La situation pourrait être

éventuellement présentée de façon beaucoup moins guidée pour donner lieu à un travail de recherche

(sur le modèle d"une séance "problème ouvert»).Deux disques, d"intersection vide, sont contenus dans un carré. On cherche positions et rayons pour

que la somme des aires soit maximale.

3.1 Le problème

Le plan est muni d"un repère orthonormal.

centré sur un pointFde la diagonale [AC]. Ces deux cercles sont tels que : -C1est tangent à la droite (AB), -C2est tangent à la droite (CB), -C1etC2sont tangents,

-C1etC2sont entièrement contenus dans le carré.L"objectif est de déterminer la position des pointsEetFet les rayonsr1etr2des cerclesC1etC2de

façon à ce que la somme des aires des disques délimités parC1etC2soit maximale.Fiche élève version 2

3.2 Construction de la figure avec geogebra

Dans une feuille geogebra :

1. Définir lespointsA(0;0),B(1,0)etcomplèterenuncarréavecl"outilpolygonerégulier(avecC(1,1) etD(0;1) ). 2.

P laceru npoint l ibreEsur le segment [AC].

C onstruirele cer cleC1de centreEtangent au côté [AB] du carré. Expliquer votre procédure.

4. P ourquoipeut-on affi rmerque le cer cleC1est également tangent au côté [AD] du carré? 5.

V ousc hercherezens uiteà cons truirel ecen treFdu cercleC2à l"aide de la notion de bissectrice

d"un angle. 6. O nnot eJle milieu du segment [AC]. Expliquez pourquoi le pointEne peut pas se trouver sur

JC]et le pointFsur[AJ[.

7. I lsemble qu ele point Edoive être sur un segment [IJ] contenu dans le segment [AC] afin que

les contraintes imposées aux cercles soient satisfaites. Déterminer la position du pointIde façon

expérimentale et à l"aide de la question précédente. 8.

Q uep eut-onc onjecturersur l along ueurEF?

9. F aireu necon jecturesu rla (les) p osition(s)du point Erendant maximale la somme des aires des disques délimités par les cerclesC1etC2. 10. F aireune con jecturesu rla (les) position(s) du point Erendant minimale la somme des aires des disques délimités par les cerclesC1etC2. 11.

D éfiniru npoint Mpar :

Quel semble être le lieu géométrique du pointMlorsqueEparcourt le segment [IJ]?

3.3 Démontrer

Démont rerla r elation

p2r1Åp2r2År1År2AEp2 2. Donn erp récisémentl esp ositionsdes p ointsIetJ. 3. A l "aidede l af onctionfde la variablexAEr1donnant la somme des aires des deux disques, ré-

pondre à la question de la position du pointErendant maximale cette somme.Fiche élève version 2, suite

4 Fiche élève Seconde - version 3

Deux disques, d"intersection vide, sont contenus dans un carré. On cherche positions et rayons pour

que la somme des aires soit maximale.

4.1 Le problème

Le plan est muni d"un repère orthonormal.

centré sur un pointFde la diagonale [AC]. Ces deux cercles sont tels que : -C1est tangent à la droite (AB), -C2est tangent à la droite (CB), -C1etC2sont tangents,

-C1etC2sont entièrement contenus dans le carré.L"objectif est de déterminer la position des pointsEetFet les rayonsr1etr2des cerclesC1etC2de

façon à ce que la somme des aires des disques délimités parC1etC2soit maximale.Fiche élève version 3

4.2 Lien entre les rayons

Montrer que dans la configuration proposée, on a la relation suivante entre les rayonsr1etr2: p2r1Åp2r2År1År2AEp2

4.3 Construction de la figure avec geogebra

Dans une feuille geogebra :

1. Définir lespointsA(0;0),B(1,0)etcomplèterenuncarréavecl"outilpolygonerégulier(avecC(1,1) etD(0;1) ). 2.

P laceru npoint l ibreEsur le segment [AC].

C onstruirele cer cleC1de centreEtangent au côté [AB] du carré. Expliquer votre procédure.

4. P ourquoipeut-on affi rmerque le cer cleC1est également tangent au côté [AD] du carré? 5.

C onstruirele cent redu deuxi èmec ercleà l "aidede la r elationtr ouvéeen trel esr ayonsr1etr2.

6. I lsemble qu ele point Edoive être sur un segment [IJ] contenu dans le segment [AC] afin que les contraintes imposées aux cercles soient satisfaites. Déterminer les positions des pointsIetJde façon expérimentale. 7. F aireu necon jecturesu rla (les) p osition(s)du point Erendant maximale la somme des aires des disques délimités par les cerclesC1etC2. 8. F aireu neconject uresur l a(les) posit ion(s)du p ointErendant minimale la somme des aires des disques délimités par les cerclesC1etC2. 9.

Définir un point Mpar :

Quel semble être le lieu géométrique du pointMlorsqueEparcourt le segment [IJ]?

4.4 Démontrer

1. Donn erp récisémentl esp ositionsdes p ointsIetJ. 2. A l "aidede l af onctionfde la variablexAEr1donnant la somme des aires des deux disques, ré-

pondre à la question de la position du pointErendant maximale cette somme.Fiche élève version 3, suite

5 Fiche élève Première S - version 1

Dans les versions 3 et 4, on force un procédé de construction par homothétie. La construction est donc

moins "ouverte" et devrait être terminée dans des délais nettement plus brefs par les élèves. Elle peut8

être l"occasion de mettre en oeuvre cette notion d"homothétie dans une figure relativement complexe.

En première, la partie "démonstration des conjectures" pourrait être laissée en devoir à la maison.SoitABCDun carré de côté 1. On noteEun point libre de la diagonale [AC]. SoitC1le cercle de centre

Etangent au côté [AB] du carré. On noteZle point de [EC] se trouvant à l"intersection deC1et [AC].

hdésignant l"homothétie de centreZqui transformeAenC, on noteFl"image deEparhetC2l"image deC1parh.

5.1 Travail avec geogebra

C onstruirela fig urea vecgeog ebra.

2. F aireune c onjectures urla p ositiondu p ointErendant maximale la somme des aires des deux

disques délimités parC1etC2lorsque ces deux disques sont entièrement contenus dans le carré

ABCD.

5.2 DémonstrationFiche élève version 3

6 Fiche élève Première S - version 2

SoitABCDun carré de côté 1. On noteJle milieu de [AC] etIle point de [AC] tel queACAE3p2 2

¡2.

On noteEun point libre du segment [IJ]. SoitC1le cercle de centreEtangent au côté [AB] du carré. On

noteZle point de [EC] se trouvant à l"intersection deC1et [AC]. hdésignant l"homothétie de centreZqui transformeAenC, on noteFl"image deEparhetC2l"image deC1parh.

6.1 Travail avec geogebra

1.quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

[PDF] Deux disques dans un carré Table des matières

Deux disques dans un carré

Table des matières

1 Fiche résumé2

2 Fiche élève Seconde - version 1 3

2.1 Le problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Construction de la figure avec geogebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Démontrer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Fiche élève Seconde - version 2 5

3.1 Le problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Construction de la figure avec geogebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3 Démontrer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Fiche élève Seconde - version 3 7

4.1 Le problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2 Lien entre les rayons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3 Construction de la figure avec geogebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4 Démontrer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Fiche élève Première S - version 1 8

5.1 Travail avec geogebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2 Démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 Fiche élève Première S - version 2 9

6.1 Travail avec geogebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2 Démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 Éléments de réponse10

7.1 Construction de la figure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.1.1 Étape 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.1.2 Étape 2 : avec une parabole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.1.3 Étape 2 : avec les bissectrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.1.4 Étape 3 : "bornes" pour le pointE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 1

7.1.5 Somme des aires maximale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.1.6 Lieu du pointM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 2

7.2 Démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 Fiche résumé

N iveau: secon de- p remière

2 Fiche élève Seconde - version 1

2.1 Le problème

Le plan est muni d"un repère orthonormal.

2.2 Construction de la figure avec geogebra

Dans une feuille geogebra :

P laceru npoint l ibreEsur le segment [AC].

Soitun point et¢une droite.

Q uep eut-onc onjecturersur l along ueurEF?

D éfiniru npoint Mpar :

2.3 Démontrer

Démont rerla r elation

3 Fiche élève Seconde - version 2

3.1 Le problème

Le plan est muni d"un repère orthonormal.

3.2 Construction de la figure avec geogebra

Dans une feuille geogebra :

P laceru npoint l ibreEsur le segment [AC].

JC]et le pointFsur[AJ[.

Q uep eut-onc onjecturersur l along ueurEF?

D éfiniru npoint Mpar :

3.3 Démontrer

Démont rerla r elation

4 Fiche élève Seconde - version 3

4.1 Le problème

Le plan est muni d"un repère orthonormal.

4.2 Lien entre les rayons

4.3 Construction de la figure avec geogebra

Dans une feuille geogebra :

P laceru npoint l ibreEsur le segment [AC].

Définir un point Mpar :

4.4 Démontrer

5 Fiche élève Première S - version 1

5.1 Travail avec geogebra

C onstruirela fig urea vecgeog ebra.

5.2 DémonstrationFiche élève version 3

6 Fiche élève Première S - version 2

¡2.

6.1 Travail avec geogebra