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Année 2007/2008
Enseignant: J. YAMEOGO
Chargés de TD: F. BARKATS, F.-X. DEHON, J. YAMEOGO Corrigé de la feuille TD Nř4 -semaine du 17/03/2008 (les énoncés sont en bleu) Exercice 1. (calculer et majorer une intégrale double sur unrectangle) On considère dansR2le rectangleD={(x, y)?R2/0?x?1,-1?y?1}et la fonction f:D ?Rdéfinie parf(x, y)=x-y+1⎷. a) Expliquer pourquoifest bien définie et continue surD. b) Montrer que pour tout(x, y)?Don af(x, y)<74 c) CalculerI=? ? D f(x, y)dxdy. d) Expliquer pourquoi on aI <72Solution:
a) On a1?x+1?2et-1?-y?1. En additionnant ces deux inégalités on trouve0?x-y+1?3, ce qui entraîne quex-y+1⎷ est bien définie sur le rectangle en question. fest la composéef2◦f1des fonctions continuesf1:D ?R+etf2:R+?R+définies par: f1(x, y)=x-y+1,f2(t)=t⎷
fest donc continue en tant que composée de fonctions continues. b) De l"inégalité0?x-y+1?3, il vient que pour tout(x, y)?D, on a0?f(x, y)?3⎷ (car la fonction racine carrée est croissante surR+). Il nous suffit maintenant de vérifier que3⎷
<74. Ce qui revient à prouver (après élévation au carré), que3<4916. Cette dernière inéga-
lité est évidente car 4916 =3+1 16. c) Pour calculer l"intégraleI=? ? D f(x, y)dxdy, on utilise le théorème de Fubini: I=? -11 01 x-y+1⎷ dx? dy. On trouveI=4
15(9 3⎷-4 2⎷-1).
d) Sur le rectangleDon a0?f(x, y)<74 (d"après la question b)).D"où0?I ?
D74 dxdy=74×2=72. 1Exercice 2. (calculer une intégrale double sur un triangle)SoitΔle domaine deR2, bordé par le triangle dont les sommets sont les pointsA,B, etCde
coordonnées respectives(0,-1),(3,1)et(0,1). a) La droite joignant les pointsAetBadmet une équation ayant l"une des formes suivantes: x=αy+βouy=ax+b(α,β,aetbsont des réels). Donner explicitement une de ces équations (en trouvantαetβouaetb). b) Calculer l"intégraleI=? ? xy2dxdy.Solution:
a) Les coordonnées du pointAvérifient l"équationx=αy+βsi et seulement si0 =-α+β.
De même les coordonnées du pointbvérifient l"équationx=αy+βsi et seulement si3=α+β.
Pour trouverαetβil nous suffit de résoudre le système de deux équations à deux inconnues?-α+β=0
α+β=3.
On trouve facilement que ce système admet pour unique solution(α, β)=(32 ,32). La droite joignant les pointsAetBadmet donc pour équationx=32 y+32.Cette droite admet aussi pour équationy=23
x-1. b) Nous avonsΔ=? (x, y)?R2/-1?y?1,0?x?32 y+32Poury?[-1,1]fixé, posonsI(y)=?
032y+32 xy2dx. Par le théorème de Fubini nous obtenonsI=? ? xy2dxdy=? -11
I(y)dy.
On a? 032y+32 xy2dx=y2?12x2? 032
y+32 =98y2(y+1)2. On en déduitI=98 -11 (y4+2y3+y2)dy. Comme -11 y3dy=0(pour raison de parité), on aI=2×98 01 (y4+y2)dy.
Il ne reste plus qu"à calculer?
01 (y4+y2)dypour conclure. 01 (y4+y2)dy=?15 y5+13y2? 01 =15+13=8 15.Conclusion:I=65
2 Exercice 3. (dessiner un domaine et calculer une intégrale double dessus) Dans le planR2muni d"un repère orthonormé, on considère le domaineDdéfini par D=? (x, y)?R2/-2?y?2,12 y-1?x?y2? a) Dessiner ce domaine et calculer son aire. b) Soitf:D ?Rdéfinie parf(x, y)=x+y. Calculer l"intégraleI=? ? D f(x, y)dxdy.Solution:
a)Dest le domaine délimité par les deux droites horizontales d"équationy=-2,y= 2, la droite oblique d"équationx=12 y-1et la parabole d"équationx=y2.On obtient le dessin suivant:
Calculer l"aire du domaineDrevient par exemple à calculer? ? D dxdy(intégrale double surDde la fonction constante(x, y) ?1). On obtient, par la définition même deD, aire(D)=? -22 (y2-(12 y-1))dy=2? 02 (y2+1)dy(pour des raisons de parité).D"oùaire(D)=2?13
y3+y? 02 =283unités d"aire.
b) La fonctionfest polynomiale, donc continue surDqui est fermé borné.En utilisant le théorème de Fubini on aI=?
-22 1 2 y-1y 2 (x+y)dx? dy.PosantI(y)=?
1 2 y-1y 2 (x+y)dx, on trouveI(y)=?12 x2+xy? x=12 y-1x=y2 =12y4+y3-58y2+32y-12.On en déduitI=?
-22I(y)dy=2?
02 (12 y4-58y2-12)dy(pour des raisons de parité des termes deI(y)). Reste donc à calculer?
02 (12 y4-58y2-12)dy.On obtient?
02 (12 y4-58y2-12)dy=?110y5-5
24y3-12y?
02 =3210-4024-1=8 15.Conclusion:I=1615
3 Exercice 4. (dessiner un domaine et choisir judicieusementun ordre d"intégration) SoitDle domaine du planR2formé des couples(x, y)vérifiant le système:?|y-2|?1 (x-1)(x-y)?0. DessinerDet calculer l"intégraleI=? ? D e(3-x)2dxdy. Solution: L "inégalité|y-2|?1équivaut à-1?y-2?1, c"est-à-dire1?y?3. De même l"inégalité(x-1)(x-y)?0équivaut à???(x-1?0)et(x-y?0) ou (x-1?0)et(x-y?0). En traçant les quatre droites d"équations respectivesy= 1,y= 3,x= 1etx=y, les différentesinégalités nous permettent de voir queDest le triangle fermé dont les sommets ont pour coordon-
nées(1,1),(3,3)et(1,3),illustré ci-dessous: On peut ainsi écrire:D=?(x, y)?R2/1?x?3,x?y?3?. En utilisant le théorème de Fubini on obtient I=? 13 x3 e(3-x)2dy? dx=? 13 e(3-x)2(3-x)dx=-12 e(3-x)2?13=e4-1
2 4 Exercice 5. (un changement de variables en coordonnées polaires)On considère dans le plan muni d"un repère orthonormé, les deux cercles concentriquesΓ1etΓ2
de centreω=(1,1)et de rayons respectifsR1=2etR2=3. SiCest la couronne fermée comprise entre ces deux cercles, on noteKla demi-couronne fermée située dans le demi-plan fermé défini parx?1.DessinerKet calculerI=? ?
K xydxdy.(On pourra faire un changement de variables en posant: 2 2.) Solution: Pour dessiner le domaineK, il suffit de tracer les deux cercles concentriquesΓ1,Γ2et la droite d"équationx=1. SiMest un point de coordonnées(x, y)appartenant au domaineK, la distancer, deMau pointωde coordonnées(1,1)est comprise entre2et3. Si nous prenonsωcomme origine d"un nouveau repèreR?= (O?, i K, jK), le vecteurωM=O?M
s"écrit de manière uniqueωM=r(cos(θ)iK+sin(θ)j
K), avec-π
2?θ?π
2. Ceci justifie le changement
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