1 Lois de Kepler lois de Newton PDF

1 Lois de Kepler lois de Newton

Le rayon Soleil-Planète balaie des aires égales pendant des intervalles de temps égaux. dS dt = constante. O. F. A. M1. M2. M1. M2. A. • Troisième loi :.

Démonstration des lois de Kepler - à laide du calcul différentiel et

au centre d'une planète balaie des aires égales en des intervalles de temps égaux. Troisième loi Le carré de la période de révolution.

Corrigé du sujet de Mathématiques et propositions pour une correction

Si M est en D l'aire balayée est égale à 2 fois l'aire du Troisième calcul : il y a cette fois augmentation de 0

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Observatoirede Lyon Leslois de Keplerdémontréesavril2014

1 Lois deKepler , lois de Newton ...

1.1 Les loisde Kepler

• Première loi : Les planètes décrivent une ellipse dont le Soleil occupe l"un des foyers. ra(1e2)

1ecos(θ)

?O ?Soleil ?F ?A ?Planète r c a • Deuxième loi : Le rayon Soleil-Planète balaie des aires égales pendant des intervalles de temps égaux. dS dtconstante. ?O F ?A ?M1 ?M2?M1 ?M2 ?A • Troisième loi :

Le carré de la période de révolution

est proportionnel au cube du demi grand-axe de l"orbite. a 3

T2cste

Planètea en uaP en année

Mercure0.3870.241

Vénus0.7230.615

Terre11

Mars1.5241.882

Jupiter5.20211.86

Saturne9.55529.46

11 2 311/2 grandaxe enUAPériode en années

échelleslogarithmiques

Mercure?

Vénus?

Terre?Mars?

Jupiter?

Saturne

Mercure?

Vénus?

Terre?Mars?

Jupiter?

Saturne

y1.5x

1.2 Les loisde Newton

• Loi de la gravitation universelle :

Deux corps quelconques s"attirent en raison directe de leurmasse et en raison inverse du carré de la distance de leurs

centres de gravité. • Première loi de Newton ou principe de l"inertie (initialement formulé par Galilée) :

Dansun référentiel galiléen, le centre d"inertie G d"un solide soumis à un ensemble de forcesdont la somme vectorielle est

nulle est soit au repos, soit animé d"un mouvement rectiligne et uniforme (le vecteur vitesse demeure constant).

• Deuxième loi de Newton (ou théorème du centre d"inertie) :

Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces appliquées à un objet ponctuel est égale au produit de la

masse de l"objet par son vecteur accélération. • Troisième loi de Newton :

Lorsqu"un solideS1exerce une force sur un solideS2, le solideS2exerce sur le solideS1, la force directement opposée.

Gravitation1

Observatoirede Lyon Leslois de Keplerdémontréesavril2014

2 Deuxième loi de Kepler: la loi des aires

On considère un corps célestePde massemsoumis à l"attraction d"un corps céleste S de masseM. Il est soumis à une force

d"attraction ?F. r rdθ (rdr)dθrdr

Sθ?

Passons en coordonnées polaires.

On arf(θ) et l"aire balayée par le rayon vecteur?rpendant l"intervalle de tempsdtest telle que : 1

2rrdθdS12(rdr)(rdr)dθ.

On en déduit :

dS1

2r2dθ.

Et : dS dt12r2dθdt.(1) ?rSP ?F S× P? S Pv v rvn D"après le principe fondamental de la dynamique, on a : Fmd?v dt(variation de la quantité de mouvement).

Le moment cinétique

?σest le moment de la quantité de mouvement, au- trement dit :

σ?rm?v.

Comme ?Fet?rsont colinéaires, on a : d dt?rmd?vdt?0.

Le moment cinétique est constant.

On a?v?vr?vn.

vret?rsont colinéaires et?σ?rm?vn..

Mais?vnrdθ

dt, alors

σmr2dθ

dtconstante.(1)

De (1) et (1"), on déduit :

dS dtσ2m12r2dθdtconstante.(2)

3 Première loi de Kepler.

3.1 Trajectoire d"un corps soumisà une accélération centrale.

ur x× S× P On considèreun corps célestePde massemsoumis àl"attrac- tion d"un corps céleste S de masseM.

On note :SPr,SP?ret?u1

r?r.

Le rayon vecteur

SP?rdu corps céleste P de massemsou-

ment mais l"énergie totale de P reste constante. On sait que l"énergie totale est :EtotECEPavec l"énergie cinétique :EC1

2mv2et l"énergie potentielle :EPGMmr.

Gravitation2

Observatoirede Lyon Leslois de Keplerdémontréesavril2014 u? v r S× P

On considère le repère mobile

P,?u,?u

. DeSPr?u, on déduit par dérivation : vdr dt?urdθdt?u.

On a donc :?v2dr

dt 2 r2dθdt 2

Et par conséquent :

E tot1

2mv2GMmr12mdrdt

2 r2dθdt 2 GMmr.

D"après la loi des aires :

dS dtest une constante, on en déduit donc que :r2dθdtconstanteK.

Et finalement :dθ

dtKr2. En remplaçant dans l"expression de l"énergie totale, on obtient : E tot1

2mdrdt

2 r2Kr2 2 GMmr.

Ou encore :

E tot1

2mdrdt

2 K2r2 GMmr.

Effectuons un changement de variable...On a :

dr dtdrdθdθdtKr2drdθ. On en déduit une autre expression de l"énergie totale : E tot1

2mKr2drdθ

2 K2r2 GMmr 1

2mK2r2

1r2drdθ

2 1 GMmr Effectuons un autre changement de variable en posant : 1 ru. On a alors en différenciant par rapport àθ:1 r2drdθdudθdont on déduit :drdθr2dudθ. On en tire une autre expression de l"énergie totale en fonction deu: E tot1

2mK2u2

2dudθ

2 1 GMmu 1

2mK2dudθ

2 u2 GMmu

L"énergie totale est constante, alors si on dérive l"expression précédente par rapport àθ, on obtient :

01 2mK2

2dudθd

2udθ22ududθ

GMmdudθ

0mK2du

dθd

2udθ2ududθ

GMmdudθ

0mdu dθ K

2d2udθ2u

0K2d2u

dθ2u GM K2d2u dθ2u GM d2u dθ2uGMK2

Gravitation3

Observatoirede Lyon Leslois de Keplerdémontréesavril2014 Cette équation différentielle admet comme solution :u1rAcos(θθ0)GMK2.

On en déduit :r1

Acos(θθ0)GMK2.

On pose :(3)

1 pGMK2,(4)eAp; ce qui donne : rp ecos(θθ0)1.

On reconnait l"équation polaire d"une conique d"excentricitée, de paramètrep, oùθ0est l"angle que fait le grand axe de la

conique avec l"axe polaire à l"origine des temps. • Sie0, la conique est un cercle. • Si 0e1, la conique est une ellipse. • Sie1, la conique est une parabole. • Sie1, la conique est une hyperbole.

3.2 Cas de l"ellipse

p OFc OAa? F? F A? P O

Prenons :θ00 etrpecosθ1.

Avecθπ

2,rpPF.

Par définition de l"ellipse on a :PFp,PFPF2aet

comme

PFF90o:FF2PF2PF2.

On en déduit :

pPF2a p

2(2c)2PF2PF2ap

2(2c)2(2ap)2

PF2ap p

24c24a24app2PF2ap

c 2a2ap

Maisec

aetc2e2a2, alorspaae2a(1e2) et finalement : ra(1e2) ecosθ1. • Périhélie pourθ0, cosθ1 etra(1e) • Aphélie pourθ180o, cosθ1 etra(1e)

4 Troisième loi deKepler

On a vu que :

rp ecos(θθ0)1,oùpa(1e2).

D"après (2)

dS dtK2et en intégrant :S(t)σ2mtK2t. Sur une périodePpour une ellipse de grand axeaet de petit axeb, on a :S(P)πabK

2Pet (6) :(πab)2K2P

On a vu au 3.2 que :pa(1e2).

De (3), on déduit :K2GMpetK2GMa(1e2).

D"autre part :b2a2(1e2), alors (6) donne :

πa2a2(1e2)K2

4P2π2a2a2(1e2)K2P24

π2a2a2(1e2)GMa(1e2)P2

GMa(1e2)P2

4π2a3GMP24

P2GM4π2.

Gravitation4

Observatoirede Lyon Leslois de Keplerdémontréesavril2014

5 Orbite des planèteset équation deKepler.

E est une ellipse d"excentricitée, de centre O de grand axea, de petit axeba

1e2et de foyersFetF.

On considère C le cercle de centre O et de rayona. M" est le point de C qui a même abscisse que le point M de l"ellipse. On va remplacerretθpar une variable unique : l"anomalie excentriqueu, oùuest l"angle que forme le rayonOMavec avec l"axe des abscisses.

On va exprimerren fonction deuetdθ

dten fonction deu. ×O C

×M?

A×P×F×F

×H r uθ

5.1 Expression deren fonction deu.

Soityl"ordonnée de M etycelle de M".

Pour M, on a :

x2 a2y2b21.

Pour M" on a :

x2 a2y2a21. En soustrayant terme à terme ces deux relations, on obtient : y2 b2y2a2yyba. Orba

1e2, alorsyy1e2.

De OMOFFM, on déduit :xacosucrcosθrcosθacosuca(cosue).quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

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1 Lois deKepler , lois de Newton ...

1.1 Les loisde Kepler

1ecos(θ)

Le carré de la période de révolution

T2cste

Planètea en uaP en année

Mercure0.3870.241

Vénus0.7230.615

Terre11

Mars1.5241.882

Jupiter5.20211.86

Saturne9.55529.46

11 2 311/2 grandaxe enUAPériode en années

échelleslogarithmiques

Mercure?

Vénus?

Terre?Mars?

Jupiter?

Saturne

Mercure?

Vénus?

Terre?Mars?

Jupiter?

Saturne

1.2 Les loisde Newton

Gravitation1

2 Deuxième loi de Kepler: la loi des aires

Sθ?

Passons en coordonnées polaires.

2rrdθdS12(rdr)(rdr)dθ.

On en déduit :

2r2dθ.

Le moment cinétique

σ?rm?v.

Le moment cinétique est constant.

On a?v?vr?vn.

Mais?vnrdθ

σmr2dθ

De (1) et (1"), on déduit :

3 Première loi de Kepler.

3.1 Trajectoire d"un corps soumisà une accélération centrale.

On note :SPr,SP?ret?u1

Le rayon vecteur

SP?rdu corps céleste P de massemsou-

2mv2et l"énergie potentielle :EPGMmr.

Gravitation2

On considère le repère mobile

P,?u,?u

On a donc :?v2dr

Et par conséquent :

2mv2GMmr12mdrdt

D"après la loi des aires :

Et finalement :dθ

2mdrdt

Ou encore :

2mdrdt

Effectuons un changement de variable...On a :

2mKr2drdθ

2mK2r2

1r2drdθ

2mK2u2

2dudθ

2mK2dudθ

2dudθd

2udθ22ududθ

GMmdudθ

0mK2du

2udθ2ududθ

GMmdudθ

2d2udθ2u

0K2d2u

Gravitation3

On en déduit :r1

Acos(θθ0)GMK2.

On pose :(3)

3.2 Cas de l"ellipse

Prenons :θ00 etrpecosθ1.

Avecθπ

2,rpPF.