[PDF] Résolution numériques des équations différentielles - II

View - Download Résolution numériques des équations différentielles - II

Previous PDF

Next PDF

Alexis Herault CSC001

Resolution numeriques des equations

dierentielles - II

Objectifs :

etudierexp erimentalementla stabilit ede la m ethoded'Euler pour une equation raide pro grammerla m ethodesd'Euler implicite

1 Stabilite du schema d'Euler

On considere l'equation dierentielle suivante :

8< :y

0=150y+ 30

y(0) =15 (1)

La solution exacte de cette equation esty(x) =15

. Si au lieu de prendre comme condition initialey(0) =15 on perturbe la condition initiale en pre- nanty(0) =15 +"alors la solution exacte devienty(x) =15 +"e150x. Pour" petit cette nouvelle solution est tres proche de celle trouvee avec la condition initiale non perturbee. Une methode numerique est dite stable si l'on retrouve cette propriete au niveau de la solution numerique : la solution numerique trouvee pour la condition initialey(0) =15 +"doit ^etre proche de celle trouvee pour la condition initialey(0) =15 Nous allons tester la stabilite du schema d'Euler explicite sur cette equation. 1. Appliq uerle sc hemad'Euler explicite (d ejaprogramm e) al' equation (1) sur l'intervalle [0;1]. Tracer le graphe de la solution obtenue. 2. Appliq uerle sc hemad'Euler explicite al' equationpr ecedenteen u tili- sant la condition initialey(0) =15 +"avec"= 1010pour plusieurs valeurs den(nombre pas de discretisation). Tracer les graphes des resultats obtenus. Qu'observe-t-on? 3. Que p eut-ond eduirede la stabilit edu sc hemad'Euler dans ce cas ? 1

Alexis Herault CSC001

2 Schema d'Euler implicite

Au lieu d'utiliser le schema d'Euler explicite nous allons utiliser le schema d'Euler implicite deni par : y n+1=yn+hf(xn+1;yn+1) (2)

Pour l'equation etudiee nous avons :

f(x;y) =150y+ 30 La seule dierence avec le schema d'Euler est, qu'a chaque iteration, nous devons resoudre l'equation implicite 2 pour obteniryn+1. Pour ce faire nous utiliserons la methode de Newton. 1. La m ethodede Newton p ermetde r esoudreune equationdu t ype g(x) = 0, ce qui n'est pas le cas de l'equation 2. Mettre l'equation

2 sous la formeg(x) = 0 et rappeler l'algorithme de Newton.

2. Progr ammerle sc hemad'Euler implicite. P ource faire v ousdevrez rajouter trois fonctions matlab (ou scilab) au programme precedent : une fonction dfdy(x,y)admettantxetycomme parametres et ren- voyant la valeur de@f@y une fonction newton(f,dfdy,xn,yn,h,eps)dont les parametres sont; la fonction f,f, sa derivee par rapport ay,dfdy, le point de depart de l'algorithme de Newton (xn,yn), le pas d'integrationhet la precision demandeeepset qui renvoie la valeur approchee de la solution de 2. une fonction euler_implicite(f,dfdy,x0,y0,x1,n)semblable a la fonctioneuler_explicite(f,x0,y0,x1,n)deja programmee. 3. Etudi erla stabilit edu sc hemad'Euler implicite. Que remarque-t-on ? Indications 1.Vous completerez les fonctions Scilab suivantes :

C alcul

d e d f dy p our l EDO y f x y

P arametres

d e ntree x v aleur d e l a v ariable y v aleur d e y x

V aleur

r envoyee d f dy x y function [ v al]=dfdy(x, y) val = . . . ; endfunction

R esolution

p ar l a m ethode d e

N ewton

d e 2

Alexis Herault CSC001

l equation i mplicite a ssociee a u s chema d

E uler

P arametres

d e ntree f f onction f x y d fdy f onction d f dy x y x n yn p oint d e d epart h p as e ps p recision

V aleur

r envoyee y v aleur a pprochee d e function [ y]=newton(f, d fdy, xn, yn, h,e ps) y = yn; fn = . . . ; while abs (f n)>eps ) do fn = . . . ; dfn = . . . ; y = y...; end endfunction

S chema

d

E uler

i mplicite p our l EDO y f x y a vec y x0 y 0 s ur l i ntervalle x0 x 1 e t p as d e t emps f ixe h x1x0)/n y xn +1) y xn h f xn +1, y xn +1))

P arametres

d e ntree f f onction f x y x 0 p oint d e d epart y 0 c ondition i nitiale y 0 y x0 x 1 p oint d a rrivee n n ombre d e p oints d e d iscretisation

V aleurs

r envoyees x v ecteur c ontenant l es p oints d e d iscretisation x i y v ecteur c ontenant l es v aleurs d e l a s olution a pproch e y i y x i function [ x, y]=e ulerimplicite (f , dfdy ,x0 ,y0 ,x1 ,n)

I nitialisation

d es v ecteurs x e t y x=[x0 z eros ( 1, n) ] ; y=[y0 z eros ( 1, n) ] ; P as d e t emps h=(x1x0)/n;

P recision

eps=1e8; 3

Alexis Herault CSC001

C alcul

d e y x i for i = 1:n x( i+1)=x( i)+h; y( i +1)=...; end endfunction 4quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

[PDF] les différents types de pédagogie pdf

[PDF] flambement d'une poutre

[PDF] les differents types de pedagogie

[PDF] origine de la pedagogie

[PDF] flambement pdf

[PDF] calcul flambage poutre

[PDF] différentes méthode pédagogique

[PDF] définition de la pédagogie pdf

[PDF] exposé peine de mort plan

[PDF] la peine de mort au maroc

[PDF] la peine de mort définition simple

[PDF] la peine de mort pour ou contre

[PDF] résoudre système 3 équations 3 inconnues en ligne

[PDF] interdiction chauffage électrique suisse

[PDF] remplacer chauffage électrique par quoi