Cours RDM : Flambement des poutres comprimées
flambage est le double du coefficient de sécurité habituel s (s dépend du type de construction
Chapitre 7 Le flambage : Théorie DEULER
La compression est remplacée par du flambage si la poutre est longue et ses dimensions Calculer l'élancement de la poutre λ. 3. Calculer la charge admisible ...
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5 mars 2018 de flambage des poutres en compression axiale [82]. Un rapport technique plus récent définit les charges de flambage des cylindres minces [5].
Titre de la diapo
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RESISTANCE DES MATERIAUX
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Cours RDM : Flambement des poutres comprimées
Définir le flambage la charge d'Euler et la contrainte critique. Vérifier Dimensionner une poutre sollicitée au flambement. Pré-requis. Compression. Moments
Chapitre 7 Le flambage : Théorie DEULER
Les pièces soumises au flambage doivent La compression est remplacée par du flambage si la poutre est longue et ses ... Calcul de Elancement critique ?.
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27 déc. 2020 formule empirique utilisée pour le calcul des pièces moyennement ... Flambement d'ensemble de la membrure supérieure des poutres en treillis.
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Flambage des poutres comprimées et fléchies - Excentricité de la charge 1/ Calcul de la charge de rupture en compression : 2/ Calcul de la charge de ...
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Calcul en compression simple : F=?pc Compression • Poutres moyennes : 20<
Comment calculer le flambage ?
Flambage : le calcul gr? à la formule d'Euler
²EI/(l_k^² ) où E est le module de Youngmodule de Young du matériau, I est le moment quadratique de la structure, et l_k est la longueur de flambement de la poutre. l_k dépend du type d'attache de la structure (rotulée, encastrée, encastrée-rotulée, etc.)Qu'est-ce que la longueur de flambement ?
FLAMBEMENT - (longueur de) - n.m. :
Longueur utilisée pour le calcul de l'élancement d'une pi? sujette au flambement, en fonction de sa forme et de sa déformée. Correspond approximativement à la distance séparant deux points d'inflexion de la déformée.Comment calculer la résistance d'une poutre ?
Poutre : flexion pure d'un élément
Les contraintes ? = (E/?)y doivent équilibrer le moment M égal à : En introduisant le moment d'inertie de surface : on exprime la variation de courbure due au moment fléchissant par 1/? = M/EI. La contrainte s'en déduit immédiatement par la relation ? = ? (M/I)y.- Dans le cas de contraintes planes, une des contraintes principales est nulle. On choisit arbitrairement ?III = 0 ; on peut alors avoir ?II < 0 donc ?II < ?III, contrairement à la convention précédente. Dans tous les cas, on a ?max = ½?I - ?II.
Planche 1
STABILITE DES POUTRESSTABILITE DES POUTRES
1. Définition du flambage
2. Etude du cas fondamental
2.2 Remarques
2.3 Exemple
4. Influence des conditions aux limites
4.2 Poutre encastrée à ses 2 extrémités
4.4 Poutre sur 3 appuis
Planche 2
6. Flambage des poutres comprimées et fléchies - Excentricité de la charge
7. Flambage des poutres rectilignes de sections évolutives
2.1 Poutre ayant une section évolutive
2.2 Poutre avec renfort local
8. Remarques et discussion
9. Flambage des poutres courtes - Théorème du module réduit
4.1 Matériau non écrouissable
4.2. Matériau écrouissable
10. Flambage local
5.2. Formules empiriques
11. Conclusion
12. Résumé des formulations à retenir
Planche 3
EXEMPLES DE PIECES AVIONS DIMENSIONNEES AU FLAMBAGEBIELLES PANNEAUX RAIDIS
Planche 4 1. Définition :
courante dans la poutre est inférieure à la limite élastique du matériau. V=F/SVc< 2.1 Formulation
Soit une poutre de longueur L, sur laquelle une très légère flexion est appliquée dans le plan xAy lui conférant
cette flexion? dont la longueur L est grande devant les autres dimensions. Planche 6
Au centre G de la section droite, on a :
- un effort normal de compression : - un moment de flexion : avec : x et y les coordonnées de G soit La solution générale de cette équation différentielle est : avec 0|FNFyMMz. IzE
Mz dx yd .2 2 0..2 2 yIzE F dx yd xxy.cos..sin.REZD IzE F . Z Planche 7
On a : en A, x=0 et y=0 ce qui implique N=0
en B, x=L et y=0 ce qui conduit MBsinRL=0 et comme y(x) est différent de 0, on obtient : sinRL=0 Nous avons supposé que cette déformée avait n cloques donc : et FcL EI..nF S 2
2 2 L xy..sin.SOD n OL xny.sin.SD SZnL . Planche 8 En résumé :
La poutre est en équilibre stable (compression simple) si F=Fc : la poutre est en équilibre instable 2.2 Remarques:
on obtient : or les 2 formulations est négligeable. GS k l EIznL EIznF 2 2 2 2 2 2 ..1 1...S S 1..1 1 2 2 2 GS k l EIznS Planche 9 Remarques (suite):
3RXU Q 1B2B3"BB 2Q M OHV PRGHV OMUPRQLTXHVB 6HXO OH SUHPLHU PRGH HVP j UHPHQLU ŃMU LO ŃRUUHVSRQG j OM SOXV
Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode 4 "
2. L EIzFcS
Planche 10 2.3 Exemple
On considère une bielle de commande de vol dont la longueur libre entre articulations (relais ou renvois) est de 1500
Déterminer :
- La charge de flambage de la bielle. Planche 11 1/ Calcul de la charge de rupture en compression : 2/ Calcul de la charge de flambage :
N ²) ² ( * F R 181000 37 40 4 1000 | S
S F V²)d²D(*S*FRSV V 4
soit 2 2 L EI.FCS )dD(I44
64S
N F C 29500 1500
)) 37 40 ( * 64 ( * 200000 . 2 4 4 2 S S soit 3/ conclusion
1629500
181000.F
F C R| On obtient donc :
La charge de flambage est donc 6 fois inférieure à la charge de rupture en compression : la bielle périra par flambage (mode de rupture inacceptable sur une structure avion). 1/ Quelle est la longueur maximale du raidisseur pour que ce dernier soit stable ?
Effort appliqué : N=250 000 N
Matériau : aluminium E=70000 MPa
hauteur : 60 mm dimensions de la semelle : épaisseur : 8 mm largeur : 40 mm Rappel :
2/ La longueur du raidisseur réelle est de 1200 mm. Déterminer les nouvelles caractéristiques du raidisseur.
22
h L l 12 .3elI Z X F 1/ Stabilité du raidisseur
4 33
66170612
840
12mm.*e.lIsemelle
Inertie de la semelle :
4 33
âmemm14400012
60*8
12 h.eI mm.4024 Côte du Centre de gravité :
- Détermination de la longueur du raidisseur appliquécFL EIzF 2
2.S250000
367657.8 70000 2 2 * *
F EIz . Lc
appliqué Fc doit être inférieur à F donc
soit Sd²semelle = 40*8*20.4²=133171 mm^4
Sd²âme = 60*8*13.6²=88780 mm^4
2/ Modification des dimensions du raidisseur
cette dernière est bien inférieure à la hauteur donc moins influente sur le résultat final.
On en déduit :
4521000mmIraidisseurW
pour le calcul de la contrainte critique donnant lieu au flambage : Avec cette notation la contrainte de flambage devient : UOL 2 2 2 2 2 U S U S L E L E S Fc S I L E SL EI S Fc 2 2 2 2 SS S I U2 2 O S KOE c équivalente » ou "longueur libre au flambage». 'L L D2'2
2 2 2.. L EI L EIFcM SS Planche 17
2 D2' 2 *4 L EIFcS Fc A B On obtient :
La charge critique est donc quatre fois plus faible que celle de la même poutre articulée à ses 2 extrémités.
Planche 18
Ces 2 points sont assimilables à 2 articulations fictives et partagent donc les 2 demi-poutres en 2 parties
égales. Ce qui donne :
On obtient donc :
La charge critique est donc quatre fois supérieure à celle de la même poutre articulée à ses 2 extrémités.
4.2. Poutre encastrée à ses 2 extrémités
Si les encastrements sont fixés transversalement, la tangente en A et celle en B à la déformée sont dirigées
2 1 D2' 2.*4 L EIFcS Fc a c b A Planche 19
Si les encastrements ne sont pas fixés transversalement, les tangentes en A et B à la déformée ne sont plus
assujetties à rester parallèles à AB. 22LLL
IM GpIRUPpH V
La charge critique est donc égale à celle de la même poutre articulée à ses 2 extrémités.
Fc A B M=1 C Planche 20
en A et encastrée en B. Fc A B La charge critique est donc quatre fois inférieure à celle de la même poutre articulée à ses 2 extrémités.
2' 2 *4 L EIFcS Planche 21
que suivant AB. Fc A B On a donc
La charge critique de flambage est donc environ deux fois plus grande que celle de la même poutre articulée à ses 2 extrémités. 2' 2.*05.2
L EIFcS 0.698 M
''*7.0*698.0LLL| Planche 22 4.4. Poutre sur 3 appuis
Soient et les distances entre appuis en posant : et On démontre que cette longueur a très sensiblement pour valeur : et une charge critique de flambage : 2 1LL>' 2 1 L Lk k LL 2 1 k 2 1M2' 1 2 2 2.2. L EIkL EIFcSS '
1L' 2L L a A B C On suppose une nervure à bielles soumise à de la compression. Toutes les bielles sont identiques.
Déterminez le diamètre des bielles. Le critère dimensionnant est la stabilité et les marges minimum doivent
être de 30%.
F=20000 N
M1 M2 Bielle 1
Bielle 2
Données :
tube : aluminium (E=70000 MPa) M1=M2=30°
L1= 333 mm
L2= 1000 mm
Planche 24
N.*cos*.*cos*FFFbiellebielle150113130
1 2 20000311
212 D
Avec 64
4D.IS Soit 4 3 2 3 2 444263170000*
1000*64*15011
*64*mmE LFD SSFcL
EIzF 2
2.S mm.D825! Planche 25 6. Flambage des poutres comprimées et fléchies On considère maintenant une poutre rectiligne sur 2 appuis A et B soumise transversalement à des charges de
On superpose à ces charges un effort de compression F. Cet effort génère un moment fléchissant
celle de F. diminution du moment et donc de la flêche. excentricité. On obtient : On démontre que le moment fléchissant amplifié a pour valeur : soit avec : en radians, soit en degrés : constanted.FM ucos MM' max ucos FdM' max Fc Fu2 S Fc Fu90 2
2 L EI.FcS
L L/2 A B Planche 27 Le terme "cos.u» est appelé cosinus amplificateur. soit Remarques :
La charge critique Fc constitue une limite jamais atteinte même si le déport d est très faible.
charge parfaitement alignée. Il peut donc y avoir un fléchissement de la poutre pour une charge
atteinte». En effet :
VI M S F' max rĄ K¸quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25
2.1 Formulation
Soit une poutre de longueur L, sur laquelle une très légère flexion est appliquée dans le plan xAy lui conférant
cette flexion? dont la longueur L est grande devant les autres dimensions.Planche 6
Au centre G de la section droite, on a :
- un effort normal de compression : - un moment de flexion : avec : x et y les coordonnées de G soit La solution générale de cette équation différentielle est : avec0|FNFyMMz. IzE
Mz dx yd .2 2 0..2 2 yIzE F dx yd xxy.cos..sin.REZD IzE F . ZPlanche 7
On a : en A, x=0 et y=0 ce qui implique N=0
en B, x=L et y=0 ce qui conduit MBsinRL=0 et comme y(x) est différent de 0, on obtient : sinRL=0 Nous avons supposé que cette déformée avait n cloques donc : et FcLEI..nF S 2
2 2 L xy..sin.SOD n OL xny.sin.SD SZnL .Planche 8 En résumé :
La poutre est en équilibre stable (compression simple) si F=Fc : la poutre est en équilibre instable2.2 Remarques:
on obtient : or les 2 formulations est négligeable. GS k l EIznL EIznF 2 2 2 2 2 2 ..1 1...S S 1..1 1 2 2 2 GS k l EIznSPlanche 9 Remarques (suite):
3RXU Q 1B2B3"BB 2Q M OHV PRGHV OMUPRQLTXHVB 6HXO OH SUHPLHU PRGH HVP j UHPHQLU ŃMU LO ŃRUUHVSRQG j OM SOXV
Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode 4 "
2. LEIzFcS
Planche 10 2.3 Exemple
On considère une bielle de commande de vol dont la longueur libre entre articulations (relais ou renvois) est de 1500
Déterminer :
- La charge de flambage de la bielle. Planche 11 1/ Calcul de la charge de rupture en compression :2/ Calcul de la charge de flambage :
N ²) ² ( * F R 181000 37 40 4 1000 | S
SF V²)d²D(*S*FRSV V 4
soit 2 2 LEI.FCS )dD(I44
64SN F C 29500 1500
)) 37 40 ( * 64 ( * 200000 . 2 4 4 2 S S soit3/ conclusion
1629500
181000.F
F C R|On obtient donc :
La charge de flambage est donc 6 fois inférieure à la charge de rupture en compression : la bielle périra par flambage (mode de rupture inacceptable sur une structure avion).1/ Quelle est la longueur maximale du raidisseur pour que ce dernier soit stable ?
Effort appliqué : N=250 000 N
Matériau : aluminium E=70000 MPa
hauteur : 60 mm dimensions de la semelle : épaisseur : 8 mm largeur : 40 mmRappel :
2/ La longueur du raidisseur réelle est de 1200 mm. Déterminer les nouvelles caractéristiques du raidisseur.
22h L l 12 .3elI Z X F
1/ Stabilité du raidisseur
4 3366170612
84012mm.*e.lIsemelle
Inertie de la semelle :
4 33âmemm14400012
60*812 h.eI mm.4024
Côte du Centre de gravité :
- Détermination de la longueur du raidisseur appliquécFLEIzF 2
2.S250000
367657.8 70000 2 2 * *
FEIz . Lc
appliquéFc doit être inférieur à F donc
soitSd²semelle = 40*8*20.4²=133171 mm^4
Sd²âme = 60*8*13.6²=88780 mm^4
2/ Modification des dimensions du raidisseur
cette dernière est bien inférieure à la hauteur donc moins influente sur le résultat final.
On en déduit :
4521000mmIraidisseurW
pour le calcul de la contrainte critique donnant lieu au flambage : Avec cette notation la contrainte de flambage devient : UOL 2 2 2 2 2 U S U S L E L E S Fc S I L E SL EI S Fc 2 2 2 2 SS S I U2 2 O S KOE c équivalente » ou "longueur libre au flambage». 'LL D2'2
2 2 2.. L EI L EIFcM SSPlanche 17
2 D2' 2 *4 L EIFcS Fc A BOn obtient :
La charge critique est donc quatre fois plus faible que celle de la même poutre articulée à ses 2 extrémités.
Planche 18
Ces 2 points sont assimilables à 2 articulations fictives et partagent donc les 2 demi-poutres en 2 parties
égales. Ce qui donne :
On obtient donc :
La charge critique est donc quatre fois supérieure à celle de la même poutre articulée à ses 2 extrémités.
4.2. Poutre encastrée à ses 2 extrémités
Si les encastrements sont fixés transversalement, la tangente en A et celle en B à la déformée sont dirigées
2 1 D2' 2.*4 L EIFcS Fc a c b APlanche 19
Si les encastrements ne sont pas fixés transversalement, les tangentes en A et B à la déformée ne sont plus
assujetties à rester parallèles à AB. 22LLLIM GpIRUPpH V
La charge critique est donc égale à celle de la même poutre articulée à ses 2 extrémités.
Fc A B M=1 CPlanche 20
en A et encastrée en B. Fc A BLa charge critique est donc quatre fois inférieure à celle de la même poutre articulée à ses 2 extrémités.
2' 2 *4 L EIFcSPlanche 21
que suivant AB. Fc A BOn a donc
La charge critique de flambage est donc environ deux fois plus grande que celle de la même poutre articulée à ses 2 extrémités. 2'2.*05.2
L EIFcS0.698 M
''*7.0*698.0LLL|Planche 22 4.4. Poutre sur 3 appuis
Soient et les distances entre appuis en posant : et On démontre que cette longueur a très sensiblement pour valeur : et une charge critique de flambage : 2 1LL>' 2 1 L Lk k LL 2 1 k 2 1M2' 1 2 2 2.2. L EIkLEIFcSS '
1L' 2L L a A B COn suppose une nervure à bielles soumise à de la compression. Toutes les bielles sont identiques.
Déterminez le diamètre des bielles. Le critère dimensionnant est la stabilité et les marges minimum doivent
être de 30%.
F=20000 N
M1 M2Bielle 1
Bielle 2
Données :
tube : aluminium (E=70000 MPa)M1=M2=30°
L1= 333 mm
L2= 1000 mm
Planche 24
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1 220000311
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Avec 644D.IS Soit 4 3 2 3 2
444263170000*
1000*64*15011
*64*mmELFD SSFcL
EIzF 2
2.S mm.D825! Planche 25 6. Flambage des poutres comprimées et fléchiesOn considère maintenant une poutre rectiligne sur 2 appuis A et B soumise transversalement à des charges de
On superpose à ces charges un effort de compression F. Cet effort génère un moment fléchissant
celle de F. diminution du moment et donc de la flêche. excentricité. On obtient : On démontre que le moment fléchissant amplifié a pour valeur : soit avec : en radians, soit en degrés : constanted.FM ucos MM' max ucos FdM' max Fc Fu2 S FcFu90 2
2 LEI.FcS
L L/2 A B Planche 27 Le terme "cos.u» est appelé cosinus amplificateur. soitRemarques :
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charge parfaitement alignée. Il peut donc y avoir un fléchissement de la poutre pour une charge
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