[PDF] Notes sur les développements décimaux périodiques





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Développements décimaux des nombres réels

En particulier il ne faut pas confondre nombre décimal et développement décimal illimité d'un nombre rationnel ou réel (cf. ci-dessous).



4 Développement décimal dun réel

Les développement décimaux illimités propres permettent de caractériser les nombres déci- maux et les nombres rationnels. Comme x est décimal [resp. rationnel] 



Notes sur les développements décimaux périodiques

Nous nous intéressons au développement décimal de la fraction irréductible m/n. Le nombre m/n a d'après le paragraphe précédent



Le développement décimal de tout nombre irrationnel est illimité et

Idée de la démonstration dans le cas du développement décimal illimité et périodique. Pour expliquer l'idée de la démonstration prenons comme exemple.



Bulletin de lUnion des Professeurs de classes préparatoires

Au delà des nombres décimaux c'est la fameuse division posée qui nous assure que tout nombre rationnel possède un développement décimal



Devoir Seconde

Ce nombre a un développement décimal illimité Trouver la partie périodique de l'écriture décimale illimitée de chacun des rationnels suivants :.



Quelques réflexions sur les nombres décimaux

A RETENIR : un nombre possédant une écriture décimale illimitée peut être un nombre décimal. en plus un développement décimal illimité.



Développement décimal des nombres réels 1 Développement décimal

Mais comme nos mains nous offrent dix doigts c'est le nombre dix qui a été choisi ! 1 Développement décimal. Écriture décimale des nombres entiers positifs.



Démonstrations 1 3 nest pas un nombre décimal Les compétences

Exercice 1 : Nombres `a suite décimale illimitée périodique on note P l'ensemble des nombres qui ont un développement décimale illimité périodique on a.



décimaux GGM

impossible de trouver une fraction décimale égale à 22/7. • 22/7 est un nombre rationnel non décimal. Il admet un développement décimal illimité périodique.



[PDF] Le développement décimal de tout nombre irrationnel est illimité et

Si le développement décimal de x est fini ou (illimité et pério- dique) alors x est un nombre rationnel Idée de la démonstration dans le cas du développement 



[PDF] Développements décimaux des nombres réels

Les décimaux sont caractérisés par le fait que leur développement décimal illimité ne comporte qu'un nombre fini de chiffres non nuls c) Périodicité du 



[PDF] 4 Développement décimal dun réel

Les développement décimaux illimités propres permettent de caractériser les nombres déci- maux et les nombres rationnels Comme x est décimal [resp rationnel] 



[PDF] Développement décimal des nombres réels

Développement décimal des nombres réels On trouvera beaucoup d'information sur ce thème dans D Perrin Mathématiques d'école : Nombres 



[PDF] Notes sur les développements décimaux périodiques - APMEP

Nous nous intéressons au développement décimal de la fraction irréductible m/n Le nombre m/n a d'après le paragraphe précédent un développement illimité sous 



[PDF] Devoir Seconde

1) Considérons un rationnel non décimal comme 22 7 Ce nombre a un développement décimal illimité c'est-à-dire que la division de 22 par 7 ne se termine 



[PDF] NOTION DE LIMITE ET DÉCIMALISATION DES NOMBRES RÉELS

Pour Bourbaki le développement décimal attaché à la base a = 10 est réservé L'écriture décimale illimitée est mise en relation avec la notion de valeur 



[PDF] DM1 Intégration Probabilités Élémentaires2006-07

On appelle « développement décimal illimité propre » d'un réel x un développement qui ne comporte pas la répétition indéfinie du chiffre 9 à partir



[PDF] DM1 Intégration Probabilités Élémentaires2006-07

23 oct 2006 · Y a-t-il des nombres réels qui n'ont pas de développement décimal illimité impropre ? Lesquels ? Ex 2 Tirer au hasard un nombre réel On décide 



[PDF] Développement décimal

18 déc 2017 · Enfin lorsqu'ils sont irrationnels le développement décimal est illimité et non périodique Cas des nombres entiers · Cas des nombres décimaux

  • Comment faire un développement décimal ?

    Pour le comprendre, il suffit de généraliser le principe de la division précédente. Supposons que l'on divise P par Q, dans la division de P par Q, on est amené, pour les décimales après la virgule, à « abaisser des zéros ». Si le reste précédent est r, on cherche alors à diviser 10r par Q.

  • Comment donner le développement décimal d'un nombre ?

    — Le développement décimal d'un nombre réel est fini ou périodique (à partir d'un certain rang) si et seulement s'il est rationnel. — Soit a = p 2k5lq un nombre rationnel avec k, l ? N et q premier avec 10p. Posons m = max(k, l). a) Le développement décimal de a est fini si et seulement si q = 1.

  • Comment donner le développement décimale d'un nombre rationnel ?

    On effectue la division euclidienne a = bN + r0 de a par b, puis les divisions successives de 10ri par b, donnant pour quotient ai+1 et pour reste ri+1. Le reste n'est jamais nul puisque par hypothèse, ab n'est pas un nombre décimal.
  • Un nombre décimal relatif est un nombre relatif qui peut s'écrire avec une écriture décimale limitée, c'est-à-dire avec une partie entière et une partie décimale ayant un nombre fini de chiffres après la virgule.
Notes sur les développements décimaux périodiques

3°) Chacun des partenaires veille à faire apparaître les publications de l"autre dansses bibliographies, donnant ainsi un meilleur écho aux ressources des deux revues.4°) Le contenu de ce partenariat fait l"objet d"une annonce sur les sites de Sésamathet de l"APMEP, avec un lien vers l"association partenaire.5°) Des contacts réguliers à distance évaluent l"état du partenariat et le fontprogresser au fil du temps. Une réunion annuelle fait le point du partenariat et luidonne de nouvelles impulsions.6°) Ce partenariat prend effet à la rentrée 2007.J"invite les lecteurs du BVà découvrir la revue en ligne partenaire. Pour mesurerl"intérêt de publier en ligne, je leur suggère de lire (de façon interactive) l"article

(7) du numéro de novembre 2006. Ils pourront aussi découvrir les dossiers des diφφérents numéros (les calculatrices, la géométrie dynamique, les tableurs, les tableaux numériques interactifs, les TICE en Lycées professionnels), ainsi que les nombreux articles "hors dossiers» qui balayent le champ des TICE. Il reste à espérer que d"authentiques synergies se manifesteront à l"avenir entre les

deux revues, pour une stimulation réciproque et un meilleur contenu de chacune!Notes sur les développements

décimaux périodiques

Robert Rolland

1. Introduction

Dans cette note nous étudions quelques propriétés des développements décimaux des nombres de la forme m/noù met nsont des entiers premiers entre eux tels que 1 £m (7) http://revue.sesamath.net/spip.php?article4 (*) Institut de Mathématiques de Luminy, Case 907, 13288 Marseille cedex 9.

E-mail: rolland@iml.univ-mrs.fr

...untzRolland-Texte 12/0?/0? ?:13 Page ?41 (m¹0) et, uniquement dans ce cas, de deux développements décimaux distincts. Ce qui nous intéresse ici ce sont les comportements particuliers de ces développements dans le cas des nombres rationnels et la présentation des outils d"algèbre très simples mis en oeuvre pour expliquer ces comportements. Nous rappelons dans un premier temps la classification habituelle : nest de la forme 2 5 auquel cas la fraction irréductible m/nadmet un développement décimal fini : avec q s ¹0, ainsi qu"un développement décimal infini ne contenant que des 9 à partir d"un certain rang : où nn"est divisible ni par 2 ni par 5 auquel cas le développement décimal est illimité et périodique, c"est-à-dire que : ce qu"on note aussi :

Nous adopterons la terminologie suivante :

q 1 q 2 ...q s est la partie périodiqueet sla période. • n est de la forme 2 5 n 1 où n 1 >1 n"est divisible ni par 2 ni par 5. Ce cas est un mélange des deux cas précédents. Il donne pour la fraction m/nun développement illimité périodique mixte, constitué d"une partie irrégulièreet d"une partie périodique Puis nous détaillons un peu quelques comportements liés à la structure algébrique sous-jacente. L"outil principal utilisé est la notion de classe résiduelle modulo n, autrement dit l"anneau

Z/nZ. Nous noterons :

la relation d"équivalence entre deux entiers xet yqui exprime que xet ysont dans la même classe résiduelle modulo n, c"est-à-dire que x-yest divisible par n, ou encore que xet yont le même reste dans leur division euclidienne par n. xynº() m nuuuqq q ks =0 1212
m nqqq s =0 12 m nqqqqq q ss =0 1212

¢=-qq

ss 1. m nqqq s =¢0999 12 m nqqq s =0 12 m k 10

742Pour chercher et approfondir

APMEP n o 472

KuntzRolland-Texte 12/07/07 7:13 Page 742

Nous noterons :

pour indiquer que yest le résultat de l"opération qui aux entiers xet nfait correspondre l"unique représentant yde la classe résiduelle de xmodulo nqui vérifie 0

£y Les comportements classiques que nous venons de citer sont connus depuis longtemps. On peut en trouver une preuve en des termes très proches de ceux qu"on pourrait utiliser de nos jours dans l"article d"Eugène Catalan [Cat42]. Eugène Catalan montre toute la force du petit théorème de Fermat :

pαrce que lα mαnière dont on présente ordinαirement lα théorie des φrαctions

éléments.

Dans le cours de l"exposé, il utilise (sans lui donner ce nom) la fonction indicatrice d"Euler appelée aussi fonction phi, qui compte le nombre d"éléments inversibles de Z/nZet qui permet de généraliser le petit théorème de Fermat. L"exposé est repris en terme de groupes dans l"article [Ben09]. On trouvera enfin une approche pédagogique de cette question dans [And74]. Les outils mathématiques algébriques et arithmétiques utilisés dans la suite sont exposés dans [Dem97], [KR98], ainsi que dans l"annexe arithmétique de [BRV05].

2. Développement décimal d"un nombre de la forme m/2

a 5 b Théorème 2.1.- Soient m et n deux entiers premiers entre eux tels que 1£mLα φrαction irréductiβle m

/n αdmet un développement décimαl φini si et seulement si n est de lα φorme n =2 5 où α et β sont des entiers ≥0.

Démonstrαtion. - Supposons n =2

5 et notons t=max(α,β). On peut donc

écrire :

Si nous écrivons l"entier 2

t-α 5 t-β msous forme décimale : alors :

Remarquons que

v 0

¹0.

Réciproquement, si la fraction irréductible

m/nadmet un développement décimal m nvv t 0 10 ,.K 25

10tatb

t mvv =K, m nm tatb t 25
10. yxn=mod, Les développements décimaux périodiques743 APMEP n o 472

KuntzRolland-Texte 12/07/07 7:13 Page 743

fini, alors :Donc on peut écrire : où vest un entier, si bien que : Donc ndivise ml0 t et comme nest premier avec m, il divise 10 t . L"entier nest donc de la forme 2 5

3. Développement décimal d'une fraction irréductible m/noù n

n'est divisible ni par2 ni par5 Soit nun entier >1 dont la décomposition en facteurs premiers ne contient ni 2 ni 5. Un tel nse repère facilement par son dernier chiffre en écriture décimale qui est

1, 3, 7 ou 9. Soit

mun entier premier avec ntel que 1 £mLe nombre m/na, d"après le paragraphe précédent, un développement illimité sous la forme : Les décimales se calculent par des divisions euclidiennes successives ayant des restes non nuls : et par récurrence : Ce processus décrit parfaitement la division posée classique qu"on apprend à l"école primaire : ajout d"un zéro à la fin (multiplication par 10), recherche de q i , calcul du reste. Nous sommes donc amenés à étudier les deux suites qui interviennent dans les calculs précédents, c"est-à-dire d"une part la suite rdes restes successifs : et d"autre part la suite des décimales : Théorème 3.1. - Pour tout entier s ≥0on α : rrn ss =10 0 mod. qq ss ≥1 rr ss ≥0 100
1 rqnrrn ssss- =+<< avec . rm rqnrrn rqnr 0 0111
122
100
10= ,avec avec 0 2 <744Pour chercher et approfondir APMEP n o 472

KuntzRolland-Texte 12/07/07 7:13 Page 744

Démonstration. - Le résultαt est vrαi pour s=0. Supposons-le vrαi pour s, αlors: ce qui prouve que : et comme 0 De cette proposition sur lα suite rdécoule lα proposition suivαnte sur les vαleurs des termes de lα suite q: Théorème 3.2.- Pour tout entier s ≥1on a : Le comportement du développement de lα φrαction irréductiβle m/nest indiqué pαr le théorème suivαnt : Théorème 3.3.- Les suites r et q sont périodiques de période s. La période s est l"ordre de

10 dans le sous-groupe multiplicatif(Z/nZ)

des éléments inversibles de Z/nZ. En particulier, la période s ne dépend pas de m (pourvu bien sûr qu"il soit premier avec n).

Démonstration

. - Les restes successiφs de lα suite rsont tous