Chapitre 2 – Proportionnalité dans le triangle
Pour les triangles ABC et DEF précédents : * DEF est un agrandissement de ABC de coefficient k = DF. AB. = 5cm. 4cm. = 5. 4. * ABC est une réduction de DEF
Rappel :Triangles égaux triangles semblables Chapitre p188 du
2) Définition. Deux triangles sont égaux lorsque leurs côtés sont deux à deux de même Si k < 1 alors DEF est une réduction de ABC de rapport k ;k = 02.
Ch17 : agrandissements et réductions 1 Propriétés des
Si k < 1 c'est une réduction et si k > 1
Triangles égaux triangles semblables
Les triangles ABC et EFG sont égaux Les triangles ABC et DEF sont égaux donc ... Si k < 1 alors DEF est une réduction de ABC de rapport k.
Fiche n°1 : Le théorème de Pythagore.
Donc d'après le théorème de Pythagore
TRIANGLES SEMBLABLES Correction Exercice n°1 : Exercice n°2
On passe du triangle ABC au triangle DEF par une réduction. [AB] et [DE] sont deux côtés homologues. K= 14. 2. =0
Triangles égaux triangles semblables
2 janv. 2022 Montrer que les triangles ABC et EFG sont égaux. ... Si k < 1 alors DEF est une réduction de ABC de rapport k. • Si k > 1 alors DEF est un ...
Triangles égaux triangles semblables
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Cours Triangles semblables Agrandissement et réduction
http://www.sacrecoeurannonay.fr/wp-content/uploads/2012/09/Cours-Triangles-semblables-Agrandissement-et-r%C3%A9duction-homth%C3%A9ties.pdf
Chapitre 2 – Proportionnalité dans le triangle
du triangle OAB autrement dit que OMN est une réduction ou un agrandissement de OAB. DEF est un agrandissement de ABC de coefficient k =.
AGRANDISSEMENT ET REDUCTIONS EXERCICES Raisonner et se
le triangle DEF est une réduction du triangle ABC 1 a D’après la leçon le rapport k de cette réduction est : longueur obtenue après la réduction longueur sur la figure initiale = DE AB = 21 28 = 3 4 (= 075) b Comme le coefficient de réduction est 3 4 on a alors : longueur obtenue après la réduction longueur sur la figure
TRIANGLES semblables AGRANDISSEMENTS ET REDUCTIONS
Dans tous les triangles la somme des mesures des trois angles est égale à 180° Exemple Dans le triangle ABC on peut dire que : ¤ BC < BA + AC (Inégalité triangulaire) ¤ ABC + ACB + BAC = 180° Définition et propriété Triangles isocèles Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de même longueur
Qu'est-ce que le triangle ABC ?
On dit que le triangle ABC est un agrandissement de MNP ou que MNP est une réduction de ABC. Une figure F’ est un agrandissement d’une figure F si leurs dimensions sont proportionnelles et si le coefficient de proportionnalité passant des longueurs de F à F’ est supérieur à 1.
Quelle est l'échelle de réduction d'un triangle ?
Autrement dit, les longueurs des côtés des triangles AMN et ABC sont proportionnelles. On peut donc dire que le triangle AMN est une réduction du triangle ABC ; l'échelle de réduction est égale à .
Comment calculer la réduction d’un triangle?
Le périmètre du triangle est 3 × 100. On appelle x la longueur d’un côté du carré. On a donc 4 x = 300 soit x = 75. On doit donc choisir la valeur 75. b. On obtient la figure suivante : 10 100 × 139, 90 = 13, 99. La réduction est de 13, 99 €. Par conséquent A C < 2, 4 et l’étagère ne touchera pas le plafond. a.
Comment savoir si un triangle est l'agrandissement ou la réduction d'un autre triangle ?
les angles sont conservés. Pour contrôler qu'un triangle est l'agrandissement ou la réduction d'un autre triangle, il suffit de s'assurer que l'une des deux conditions (sur les longueurs ou sur les angles) est vérifiée. Autrement dit, les longueurs des côtés des triangles AMN et ABC sont proportionnelles.
Chapitre 2 - Proportionnalité dans le triangle
1- Théorème de Thalès
a) Propriété directe On considère deux droites ( d ) et ( d' ) sécantes en O. Soit deux points A et M sur ( d ) et deux points B et N sur ( d' ) tous distincts de O.Si ( MN ) // ( AB ) alors : OM
OA=ONOB Autrement dit : deux droites parallèles découpent deux droites sécantes dans des dimensions proportionnelles.
On a alors les trois configurations ci-dessous.
b) ConséquenceAvec les conditions précédentes, on déduit que les dimensions du triangle OMN sont proportionnelles à celles
du triangle OAB, autrement dit que OMN est une réduction ou un agrandissement de OAB. Par conséquent : si ( MN ) // ( AB ) alors : OM OA=ON OB=MNAB Démonstration
* Pour les deux premières configurations, voir le cours de quatrième.* Pour la dernière configuration, il suffit de considérer les symétriques de M et N par rapport à O pour retrouver
la première ou la deuxième configuration et les égalités de rapports, la symétrie conservant les longueurs.
Remarque
Si deux des rapportsOM
OA,ON OB,MN ABsont différents alors ( MN ) et ( AB ) ne sont pas parallèles.En effet, si ces droites étaient parallèles, d'après la propriété de Thalès, les rapports seraient égaux.( d )( d' )
O M ANB( d )( d' )
OAB( d )( d' )
O ABMM NN c) Propriété réciproqueOn considère un triangle OAB.
Soit deux points M et N tels que O, M, A soient alignés dans le même ordre que O, N, B. SiOM OA=ONOB alors : ( MN ) // ( AB ).
Démonstration
On considère un triangle OAB. Soit deux points M et N tels que : O, M, A sont alignés dans le même ordre que O, N, B et OM OA=ONOB On va démontrer la propriété dans le cas où les points M et N sont sur [ OA ] et [ OB ] respectivement.
Elle se démontre de manière analogue dans les autres cas. Considérons la parallèle à ( AB ) passant par M : elle coupe [ OB ] en P.D'après la proprété de Thalès : OM
OA=OPOB. On en déduit donc que : ON
OB=OPOBpuis que : ON = OP.
Les points P et N sont donc tous les deux sur un même cercle de centre O. Mais ils sont tous deux également sur le segment [ OB ]. Or, ce cercle et ce segment ne peuvent avoir qu'un point en commun.On en déduit que N et P sont confondus donc que N est sur la parallèle à ( AB ) passant par M et enfin
que ( AB ) et ( MN ) sont parallèles.Remarques
* La propriété réciproque de Thalès permet de démontrer que des droites sont parallèles ;
elle ne permet en aucun cas de démontrer que des droites ne sont pas parallèles ! * La condition d'ordre dans l'alignement est indispensable comme le montre l'exemple ci-dessous. OAB est un triangle et les points O, M, A sont alignés, de même que les points O, N, B.D'une part : OM
OA=2 6=1 3D'autre part :
ON OB=13 On a donc bien : OM
OA=ON OB Pourtant ( MN ) et ( AB ) ne sont pas parallèles * Le troisième rapport (issu de la conséquence) ne permet pas d'établir le parallélisme. En effet pour la configuration ci-contre, on a : OM OA=MN AB.Mais on a donc aussi :
OM OA=MPABcar MP = MN.
Pourtant, les droites ( MP ) et ( AB ) ne sont pas parallèles. AOMNP( MN ) // ( AB )
B2- Triangles semblables
a) Définitions * Deux triangles semblables sont deux triangles qui ont les mêmes mesures d'angle.* Les côtés opposés aux angles de même mesure de deux triangles semblables sont dit homologues.
* Deux triangles qui ont des côtés de mêmes longueurs sont isométriques ou égaux.Exemple
Les triangles ABC et DEF sont semblables.
Les côtés [ AB ] et [ DF ] sont homologues, tout comme [ AC ] et [ EF ] ou [ BC ] et [ DE ].Remarque
Des triangles isométriques sont semblables.
b) Propriétés (admises)* Si deux triangles semblables ont deux côtés homologues de même mesure, alors ils sont isométriques.
* Si deux triangles sont semblables, alors leurs côtés homologues sont proportionnels.* Réciproquement, si deux triangles ont des côtés proportionnels, alors ils sont semblables.
Exemple
Pour les triangles ABC et DEF précédents : AB DF= AC EF= BC DE. c) Lien avec le théorème de ThalèsLes triangles obtenus dans les différentes configurations de la propriété de Thalès sont semblables.
Exemple
Si OAB et OMN sont deux triangles tels que : M Î ( OA ) ; N Î ( OB ) ; ( MN ) // ( AB ) , alors OAB et OMN sont semblables.4 cm5 cmOA
BM N3- Agrandissement-Réduction
Soit deux triangles semblables et k le quotient des côtés homologues du premier et du second triangle.
Si k < 1 , alors le second triangle est une réduction du premier. Si k > 1 , alors le second triangle est un agrandissement du premier. Si k = 1 , alors les triangles sont isométriques.Exemple
Pour les triangles ABC et DEF précédents :
* DEF est un agrandissement de ABC de coefficient k =DFAB=5cm
4cm= 5
4 * ABC est une réduction de DEF de coefficient k' = AB DF= 4cm 5cm= 45 Remarque : les coefficients k et k' sont inverses.
Effet d'un agrandissement ou d'une réduction sur les grandeurs géométriquesPropriété (admise)
Dans un agrandissement ou une réduction de coefficient k : * les mesures d'angle sont inchangées ; * les longueurs sont multipliées par k ; * les aires sont multipliées par k ² ; * les volumes sont multipliés par k ³.Exemples
1- Dans le plan
KLP est un agrandissement de RST de rapport k = 2. ^PLK = ^TSR = 45°. * KL = k l RS = 2 l 5 cm = 10 cm * Aire(KLP) = k² l Aire(RST) = 2² l 12,5 cm² = 50 cm²2- Extension dans l'espace (en 3D)Si on coupe une pyramide SABCD par un plan
parallèle à sa base, on obtient une pyramide réduite SA'B'C'D'. Soit k le coefficient de réduction. k = SA' SA= SB' SB= SC' SC= SD' SD= SH'SH Si V = 40 cm³ et si k = 0,5 :
V' = k3 l V = (0,5)3 l 40 cm³ = 5 cm³ Aire(RST) = 12,5 cm²45° 5 cmABCDA'B'C'D'S
HH'Volume(SABCD) = V
Volume(SA'B'C'D') = V'
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