[PDF] Centre de masse. Considérons une plaque comme é

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Centredemasse.

Considérons une plaque comme étant un secteur circulaire d"angle (en radian) et de rayon :

L"élément de surface vaut ds=dr.r.d

Le centre de gravité d"un solide homogène est donné par : dvOAOGV vi∫∫∫= avec V = Volume du solide L"épaisseur étant constante, on peut écrire : dsOAOGS si∫∫= avec S = Surface de la plaque La position du centre de gravité de l"élément de surface ds est donné par : z.sin.rx.cos.rOAirrq+q= donc : ∫∫∫∫q+q= ss z.ds.sin.rx.ds.cos.rOGSrr aaqq+qq=0R 00R

0z.d.r.dr.sin.rx.d.r.dr.cos.rOGSrr

aaqq+qq=0R 02 0R

02z.d.sindr.rx.d.cosdr.rOGSrr

[ ][ ][ ][ ]z.3)cos1(Rx.3sinRz.cos.r31x.sin.r31OGS 33
0R 03 0R

03rrrra-+a=q-+q=aa

Si α=p alors 2R.2

1Sp=donc 2R.2

1Sa= z.R3 )cos1(R2x. R3 sinR2OG 23
23rr
aa-+aa= donc : z.3 )cos1(R2x. 3 sinR2OGrr aa-+aa= Pour une plaque ayant la forme d"un quart de cercle : 2 p=a z.3 R4x. 3

R4OGrr

p+p=

Vérification avec le théorème de Guldin

pour 2 p=a, la surface est un quart de cercle de surface 4

RS2p=. Par rotation autour de

l"axe zr, le volume engendré est une demi-sphère de volume 3

R2V3p=.

Le second théorème de Guldin nous donne la relation :

Gr.S..2Vp= où rG est la distance du

centre de gravité du quart de cercle par rapport à l"axe zr.

On obtient :

p=pp=p3

R4roù"dr.

4 R..2 3 R2 GG23

ce qui correspond au résultat trouvé par application de la définition du centre de gravité.

Soit un cône de révolution d"axe z , d"angle au somment 2a ayant une masse m.

Le centre de gravité G est défini par :

dm.OPm1OG

P∫=

On a h R z rtan==a donc h R.zr= 222
2h dzR.zdzrdv.dmrp=rp=r= et 3 hR.v.m2rp=r= (voir calcul d"un volume) Et z.zOPr=

D"où

[ ]z.h4h3z.zh43z.dz.zh3z.hdzR.z.zhR3z.dm.zhR3OG34 h 04 3h 0 3 3222h
02h 0 2 rrrrr===rp rp=rp=∫∫∫

On a finalement :

z.4 h3OGr=

On applique les définitions suivantes :

iii G iii

Gmymyetmxmx

Avec M = masse totale du système =

∑im

Ici )Rl.L.(S.M

2p-r=r=

xr yr Appelons S1 la plaque rectangulaire de dimensions L x l Et S

2 le cercle de rayon R

On cherche les coordonnées du

centre de gravité G de la plaque. GGyxG 22
22

2G21G1

iii

GRl.LaR

)Rl.L.(aR0. Mxmxm mxmxp-p-=p-rrp-r=-==∑ donc

2222Rl.LbRRl.LaR

G p-p-p-p- 22
22

2G21G1

iii

GRl.LbR

)Rl.L.(bR0. Mymym mymyp-p-=p-rrp-r=-==∑quotesdbs_dbs24.pdfusesText_30

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