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Analyse Asymptotique 2 :

Les D´eveloppements Limit´es

MPSI Prytan´ee National Militaire

Pascal Delahaye

24 janvier 2018

1 D´efinitions

D´efinition 1 :DL

Soitf:I?→RavecIun intervalle et un pointx0?

I(fn"est donc pas n´ecessairement d´efinie enx0). On dit que la fonctionfadmet und´eveloppement limit´eenx0`a l"ordren(que l"on noteraDL(x0,n)) si?x?I,f(x) peut s"´ecrire sous la forme : f(x) =a0+a1(x-x0) +···+an(x-x0)n+o?(x-x0)n?au voisinage dex0 Le polynˆomeF(x) =a0+a1(x-x0) +···+an(x-x0)nest lapartie r´eguli`eredu DL. La diff´erenceR(x) =o?(x-x0)n?=f(x)-F(x) est lerestedu DL.

Remarque1.On peut interpr´eterF(x) comme le polynˆome de degr´enqui donne lameilleureapproximation def(x) au

voisinage dex0.

Forme normalis´ee

Tout d´eveloppement limit´e `a l"ordren+pau voisinage d"un pointx0s"´ecrit sous la forme : f(x) =hp(a0+a1h+···+anhn+o(hn)) avec???a 0?= 0 p, n?N h=x-x0

On a alors :f(x)≂x

0a0(x-x0)petf(x) est donc du signe dea0(x-x0)pau voisinage dex0.

Exemple 1.(?)Fonction non nulle dont tous les DL en0sont nuls

Soit la fonctionfd´efinie surR?parf(x) =e-1

x2etf(0) = 0.

1. Montrer que pour toutn?N, on af(x) =o(xn) au voisinage de 0.

2. Conclure.

Th´eor`eme 1 :Caract´erisation de la Continuit´e et de la d´erivabilit´eenx0

Soitfune fonction d´efinie surIcontenantx0.

1.fest continue enx0ssifadmet unDL(x0,0). Dans ce cas,f(x) =f(x0) +o(1)

2.fest d´erivable enx0ssifadmet unDL(x0,1). Dans ce cas,f(x) =f(x0)+f?(x0).(x-x0)+o(x-x0)

1 Cours MPSI-2017/2018 Les D´eveloppements Limit´es http://pascal.delahaye1.free.fr/

Preuve 1 :Les deux ´equivalences proviennent de la traduction des limites sousforme d"´egalit´es.

Remarque2.

1. Ce th´eor`eme prouve que toute fonction n"admet pas n´ecessairement unDL(x0,n).

En effet, si une fonction d´efinie enx0n"est pas d´erivable enx0, elle ne pourra pas admettre unDL(x0,n) lorsque

n?N?.

2. Attention, ces deux caract´erisations ne se g´en´eralisent pas!...

La fonctionftelle quef(x) =x+x3cos1

xetf(0) = 0 montre en effet qu"une fonction peut admettre unDL(0,2) sans pour autant ˆetre deux fois d´erivable en 0. Th´eor`eme 2 :Unicit´e d"un DL et applications

Soit une fonctionfadmettant unDL(0, n). Alors :

1. la partie r´eguli`ere est unique

3. Sifest paire (resp. impaire) sur un voisinage de 0, alorsFest un polynˆome pair (resp. impair).

Preuve 2 :

1. Imm´ediat par l"absurde!

2. En effet, le reste obtenu ainsi est bien uno(xk).

3. Facile par l"absurde!

Remarque3.Soitfune fonction qui admet un DL `a l"ordre (2n+ 2), alors son DL s"´ecrit :

1. Si la fonctionfest paire :f(x) =a0+a2x2+a4x4+···+a2nx2n+

o(x2n+1)

2. Si la fonctionfest impaire :f(x) =a1x+a3x3+a5x5+···+a2n+1x2n+1+

o(x2n+2) Remarque4.Par un changement de variablesh=x-x0, on peut toujours se ramener au cas o`ux0= 0. Dor´enavant, nous nous int´eresserons donc essentiellement aux DL en 0.

Exercice : 1

(?) D´eterminer les DL(0,3) des fonctionsfde classeC3au voisinage de 0 v´erifiant l"´equation fonctionnellef(x) =x2+f(2x)

pour toutx?R.

2 M´ethodes de recherche d"un DL(x0,n)

Pour obtenir des DL sous Python, vous pourrez utiliser la fonctionseries()de la biblioth`equesympy.

2.1 Premiers DL

Proposition 3 :DL de11-x

La fonction

f:R\{1} -→R x?→1

1-xadmet un DL(0, n) pour toutn?N?:

1. 1

1-x= 1 +x+x2+···+xn+xn+11-xavecxn+11-x=o(xn)

Pour cette fonction, on connaˆıtexplicitementle reste du DL. Preuve 3 :On applique la formule bien connue : 1 +x+x2+···+xn=...

Remarque5.En rempla¸cantxpar-x,x2ou-x2dans l"expression pr´ec´edente, on en d´eduit lesDL(0, n) des fonctions

suivantes : 2 Cours MPSI-2017/2018 Les D´eveloppements Limit´es http://pascal.delahaye1.free.fr/ 2.1

1+x= 1-x+x2-x3+···+ (-1)nxn+o(xn)

3. 1

1-x2= 1 +x2+x4+···+x2n+o(x2n)

4. 1

1+x2= 1-x2+x4+···+ (-1)nx2n+o(x2n)

2.2 Obtention par primitivation

Th´eor`eme 4 :Primitivation d"un DL

Soit un intervalleIcontenant 0 et une fonctionf:I?→Rde classeC0surI. On suppose que la fonctionfadmet unDL(0, n) de la forme f(x) =a0+a1x+···+anxn+o(xn) Alors toute primitiveFdefsur un voisinage de 0 admet unDL(0, n+ 1) obtenu en primitivant la partie r´eguli`ere et en ajoutantF(0) :

F(x) = F(0)

+a0x+a1x22+···+anxn+1n+ 1+o(xn+1) Preuve 4 :Il s"agit de prouver queg(x) =F(x)-(F(0) +a0x+a12x2+···+anxn+1n+1) est uno(xn+1). On a en ´evidenceg?(x) =o(xn), c"est `a direg?(x) xn---→x→00. On mq g(x)

xn+1---→x→00 en prenantx?Vuet en appliquant l"in´egalit´e des accroissements finis entre 0 etx?Vu.

Remarque6.AuV(x0), le th´eor`eme appliqu´e `af(x) =a0+a1(x-x0) +···+an(x-x0)n+o((x-x0)n) donne :

F(x) =F(x0) +a0(x-x0) +a1

2(x-x0)2+···+an(x-x0)n+1n+ 1+o((x-x0)n+1)

Ainsi, on obtient facilement :

5. ln(1 +x) =x-x22+x33-x44+···+ (-1)n+1xnn+o(xn) 6. arctanx=x-x33+x55+···+ (-1)nx2n+12n+1+o(x2n+2)

2.3 Obtention par Taylor-Young

Th´eor`eme 5 :Taylor-Young au voisinage dex0

Soit une fonctionfest de classeCnsur un intervalleIavecx0?I. Alorsfposs`ede unDL(x0, n) donn´e par

la formule de Taylor-Young : f(x) =f(x0) +f?(x0)(x-x0) +f??(x0)2!(x-x0)2+···+f(n)(x0)n!(x-x0)n+o((x-x0)n)

Preuve 5 :On d´emontre ce r´esultat par r´ecurrence en utilisant le th´eor`eme de primitivation d"un DL.

Remarque7.Ce th´eor`eme est en particulier un th´eor`eme d"existence que l"onpourra utiliser pour justifier l"existence d"un

DL `a l"ordren.

Remarque8.Au voisinage de 0 la formule de Taylor-Young est alors : f(x) =f(0) +f?(0)x+f??(0)2!x2+···+f(n)(0)n!xn+o(xn) 3 Cours MPSI-2017/2018 Les D´eveloppements Limit´es http://pascal.delahaye1.free.fr/

En appliquant le th´eor`eme de Taylor-Young, on obtient lesDL(0, n) suivants valables pour toutn?N?:

7. ex= 1 +x+x22!+···+xnn!+o(xn) 8. 9. chx= 1 +x22!+x44!+···+x2n(2n)!+o(x2n+1) 10. sinx=x-x33!+x55!+···+ (-1)nx2n+1(2n+1)!+o(x2n+2) 11. cosx= 1-x22!+x44!+···+ (-1)nx2n(2n)!+o(x2n+1) 12.

(1 +x)α= 1 +αx+α(α-1)2x2+α(α-1)(α-2)3!x3+···+α(α-1)...(α-n+1)n!xn+o(xn) o`uα?R

Deux cas particuliers lorsqueα=1

2etα=-12:

13. ⎷1 +x= 1 +x2-x28+o(x2) 14.

1⎷1+x= 1-x2+38x2+o(x2)

Par primitivation on obtient aussi les deux DL auV(0) suivants : 15. arcsinx=x+x36+o(x3) 16 . arccosx=π2-arcsinx=π2-x-x36+o(x3)

Exercice : 2

(?) D´eterminer un DL `a l"ordre 4 enx0= 2 de la fonction exp.

Exercice : 3

(?) D´emontrer que au voisinage de 0, on a : arctan(1x) =επ2-x+13x3+o(x3) o`u?ε= 1 six >0

ε=-1 six <0

R´eciproquement :

Un d´eveloppement limit´e enx0`a l"ordrend"une applicationCnsurI(avecx0?I) permet de d´eterminer

les valeurs def(x0),f?(x0) ...f(n)(x0). D"apr`es la formule de Taylor-Young et l"unicit´e duDL(0, n) on obtient : ?k?[[0,n]], f(k)(x0) =k!ak Exemple 2.(?) L"applicationfd´efinie parf(x) = ch(ln(1 +x)) admet pourDL(0,3) :f(x) = 1 +1

2x2-12x3+o(x3).

D´eterminer les valeurs def(0),f?(0),f??(0) etf(3)(0).

Exercice : 4

(??) D´eterminer les valeurs de arcsin(n)(0).

2.4 D´erivation d"un DL

Remarque9.On a vu qu"on pouvait primitiver sans soucis les d´eveloppements limit´es. En revanche, il faudra ˆetre tr`es prudent

avant de d´eriver un DL. 4 Cours MPSI-2017/2018 Les D´eveloppements Limit´es http://pascal.delahaye1.free.fr/ Th´eor`eme 6 :Soitfune fonctionC1au voisinage de 0.

Si?fadmet unDL(0, n)

f ?admet unDL(0, n-1),alors le DL def?s"obtient en d´erivant celui def. Preuve 6 :On exprime le DL(0, n-1) def?est on lui applique le th´eor`eme de primitivation.

Remarque10.Le th´eor`eme pr´ec´edent pourra par exemple s"appliquer dans lecas des fonctions de classeCnouC∞.

Remarque11.Le th´eor`eme pr´ec´edent sous-entend quefpeut admettre unDL(0, n) sans quef?admette unDL(0, n-1).

V´erifiez cela en consid´erant la fonction d´efinie par :f(x) =x2+x4.cos(1 x).

2.5 Op´erations sur les DL

2.5.1 Combinaison lin´eaire de DL

Th´eor`eme 7 :Combinaison lin´eaire de DL

Soient deux fonctionsfetgqui admettent desDL(0, n) de partie r´eguli`ere respectivesF(x) etG(x).

Soient deux scalaires (λ, μ)?R2.

La fonctionλf+μgadmet alors unDL(0, n) de partie r´eguli`ereλF(x) +μG(x).

Preuve 7 :Pas de difficult´e.

Exemple 3.(?) D´eterminer un DL(0, n) de la fonction d´efinie parf(x) =x2+3 x-1. Exemple 4.(?) Soitn?N. Retrouver les DL(0, 2n) des fonctions ch et sh.

2.5.2 Produit de DL

Th´eor`eme 8 :Produit de DL

Si deux fonctionsfetgadmettent desDL(0, n) de parties r´eguli`eresF(x) etG(x), alors la fonctionfgadmet

unDL(0, n) de partie r´eguli`ere obtenue en ne gardant que les termes de degr´e inf´erieur `andans le polynˆome

F(x)G(x).

Preuve 8 :Il suffit de l"´ecrire ...

Remarque12.Dans un produit de DL d"ordren, les termes de degr´e> nn"ont aucune signification!

Exercice : 5

(?) Prouver qu"au voisinage de 0 on a les DL suivants :

1. cos(x)⎷

1 +x= 1 +x2-58x2+o(x2)

2. sin(x)exp(x) =x+x2+x3

3+o(x3)3.

ln(1+x)

1-x=x+12x2+56x3+o(x3)

4. sinxshx ⎷1-x2=x2+12x4+o(x5)

Remarque13.

Pour obtenir unDL(0, n) d"un produitf.g, il n"est par toujours n´ecessaire de rechercher unDL(0, n) defet deg. En effet,

si par exemple le DL defpeut se factoriser parxk, on pourra se contenter pourgd"un DL `a l"ordren-k.

Exemple 5.(?) DL(0,5) def(x) = sin2x.arcsin(2x)

2.5.3 Composition de DL

Th´eor`eme 9 :Compos´ee de DL

Si???la fonctionfadmet unDL(0, n) de partie r´eguli`ereF la fonctionuadmet unDL(0, n) de partie r´eguli`ereUavec u(x)---→x→00 alors

f◦uadmet unDL(0, n) de partie r´eguli`ere obtenue en ne gardant que les termes de degr´e inf´erieur ou

´egal `andans le polynˆomeF◦U(x).

5 Cours MPSI-2017/2018 Les D´eveloppements Limit´es http://pascal.delahaye1.free.fr/ Preuve 9 :L`a encore, il suffit de l"´ecrire ...

D´etermination du DL(0,n) def(u(x))

1. On commence par calculerf(u(x)) en rempla¸cantu(x) par son DL(0,n).

On obtient alors une expression de la formeh(X) o`uXest un DL(0,n) sans terme constant.

2. On utilise alors le DL(0,n) deh(X) pour finir le calcul...

Exemple 6.(?) Trouver les DL(0, 3) des fonctions :

1.f(x) = ln(1 + sinx) 2.g(x) = sin(shx) 3.h(x) =e⎷

1+x4.i(x) = ch(ln(1 +x))

Exercice : 6

(?) Prouver qu"au voisinage de 0 on a les DL suivants :

1. ln(1 +x+⎷

1 +x) = ln2 +34x-1132x2+o(x2)

2. arctan?

2+x 1+x? = arctan2-15x+325x2+o(x2)3.?

1 +⎷1 +x=⎷2 +18⎷2x-5128⎷2x2+o(x2)

4. ln(1 + sin

2x) =x2-5

6x4+o(x4)

2.5.4 Inverse d"un D´eveloppement Limit´e

Th´eor`eme 10 :Sifadmet un DL(0, n) et sif(0)?= 0 , alors1fadmet un DL(0, n). Preuve 10 :On commence par ´ecrirefsous la forme :f(x) =f(0)(1 +u(x)).

La fonctionuadmet un DL(0, n) etu(x)---→x→00. On peut donc appliquer le th´eor`eme de composition des DL.

Pour d´eterminer un DL(0, n) ou un DA (d´eveloppement asymptotique) de1f

1. On remplacefpar son DL, puis on factorise le terme de plus bas degr´e pour obtenir la forme :1

1+...

2. On trouve alors un DL(0, n) de

1 fen utilisant le DL de11+x Remarque14.On pourra utiliser cette m´ethode pour rechercher un DL(0, n) d"un quotientf g. Exemple 7.(?) D´eterminer le DL(0, 5) def(x) =1

2-x+x2.

Exercice : 7

(?) D´eterminer le DL(0, 5) de la fonction tangente, en utilisant tanx=sinxcosx Retenir le DL suivant au moins jusqu"`a l"ordre 3 : 16. tanx=x+x33+215x5+17315x7+o(x7)

Exercice : 8

(?) D´eterminer un DL(0, 2) def(x) =sinx-xtanx-x.

Remarque15.Et sif(0) = 0?

Au lieu de trouver un DL(0,n), la m´ethode pr´ec´edente permet de d´eterminer un DA (d´eveloppement asymptotique) de1

f. Exemple 8.(?) D´eterminer un d´eveloppement symptotique de1 sinxauV(0). 6 Cours MPSI-2017/2018 Les D´eveloppements Limit´es http://pascal.delahaye1.free.fr/

2.5.5 Autres situations utilisant la composition

Ces "autres situations" sont pr´esent´ees dans les 3 exercices suivants :

Exercice : 9

(??)D´eveloppement limit´e d"une fonction v´erifiant une ED :

Retouver un DL(0,5) de la fonction tangente en utilisant la relation tan?(x) = 1 + tan2(x) valable auV(0).

Remarque16.La m´ethode pr´esent´ee dans l"exercice pr´ec´edent ne marcheque si : •fadmet bien un DL(0,n), ce que l"on montre en g´en´eral en prouvantquefestCnauV(0). •f?admet un DL(0,n-1), ce que l"on montre en g´en´eral en prouvant quefestCn-1auV(0).

Exercice : 10

(??)D´eveloppement limit´e de la bijection r´eciproque :

Soitfd´efinie surRparf(x) =xchx.

1. Montrer quefadmet une r´eciproque impaire etC∞

2. Justifier l"existence d"un DL(0,6) def-1et d´eterminez le!

Remarque17.La m´ethode pr´esent´ee dans l"exercice pr´ec´edent ne marcheque si :

•f(0) = 0

•f-1admet un DL(0,n), ce que l"on montre en g´en´eral en prouvant quefest unCndiff´eomorphisme auV(0).

Exercice : 11

(??)D´eveloppement limit´e d"une fonction v´erifiant une relation fonctionnelle : D´eterminer un DL(0,3) de la fonctionfde classeC3auV(0) v´erifiant au voisinage de 0 :f(2x) =x

2f(x)-1

Remarque18.La m´ethode pr´esent´ee dans l"exercice pr´ec´edent ne marcheque sifadmet un DL(0,n), ce que l"on montre en

g´en´eral en prouvant quefestCnauV(0).

2.6 M´ethode mn´emotechnique pour retenir certains DL(0, 2ou 3)

Comment se souvenir du DL(0, 2) ou DL(0, 3) d"une fonction?

1. Les deux premiers termes de ce DL correspondent `a l"´equation de la tangente :f(0) +f?(0)x

2. Le signe du terme suivant s"obtient en comparant la position de la courbe par rapport `a sa tangente.

Pour la valeur de ce terme, il vous faudra tout de mˆeme faire un petit effort de m´emoire... On pourra cependant

retenir le tableau suivant : Fonctionsin - sh - arcsincos - chtan - arctan - th Valeur du 2i`eme terme significatif du DL(0, n)±x36±x22±x33

3 Applications des d´eveloppements limit´es

De fa¸con g´en´erale, les d´eveloppements limit´es seront utiles lorsqu"on ´etudie localement des expressions faisant intervenir des

applications deRdansK. On exclura donc l"emploi de DL pour des ´etudes globales : sens de variation, majoration sur un

intervalle, signe sur un intervalle, extremum globaux... 7 Cours MPSI-2017/2018 Les D´eveloppements Limit´es http://pascal.delahaye1.free.fr/

3.1 Recherche d"un ´equivalent

On rappelle ici que le fait de connaˆıtre un ´equivalent permet entre autre de d´eterminer la limite et le signe d"une fonction au

voisinage d"un point.

La recherche d"un ´equivalent def(x) pose parfois des difficult´es lorsquef(x) =u(x)+v(x) avec les ´equivalents

deu(x) et dev(x) qui s"annulent.

•On peut contourner cette difficult´e en calculantf(x) `a l"aide de d´eveloppements limit´es deu(x) et de

v(x) contenant au moins 2 termes significatifs (puisque les premiers termes significatifs s"annulent).

•On effectue si n´ecessaire le changement de variablesh= (x-x0) ouh=1 xpour se ramener auV(0) •Lorsque, apr`es calculs on obtientf(x) =ak(x-x0)k+o((x-x0)k) avecak?= 0 alorsf(x)≂x

0ak(x-x0)k

Exercice : 12

(?) Rechercher les limites en 0 des fonctions suivantes :

1.f(x) =sinx-shx

shx22.g(x) =sinx-shxx33.h(x) =ln(cosx)+sh2x2sin4x

Exercice : 13

(?) Trouver la limite de la suite de terme g´en´eralun=?cos1n+ch1n2? n4

Exercice : 14

(?) (CCP MP) D´eterminer le signe au voisinage de +∞de :un= sh1n-tan1n.

3.2 Tangente `a une courbe

Th´eor`eme 11 :Position locale par rapport `a la tangente Si une fonctionfd´efinie enx0, admet un DL enx0de la forme f(x) =a0+a1(x-x0) +ak(x-x0)k+o?(x-x0)k?, ak?= 0 etk≥2 Alors

1. l"´equation de la tangente enx0est :

y=a0+a1(x-x0)

2.f(x)-[a0+a1(x-x0)]≂ak(x-x0)k.

En fonction du signe deaket de la parit´e dek, on en d´eduit la position locale de la courbe par rapport

`a sa tangente •Sikest pair, alorsak(x-x0)kest de signe constant auV(x0) et donc, au voisinage dex0, la courbe est situ´ee au dessus ou au dessous de sa tangente. •Sikest impair, alorsak(x-x0)kchange de signe enx0et le pointM0(x0, f(x0)) est un point d"inflexion.

Preuve 11 :

1. On a en effeta0=f(x0) eta1=f?(x0).

2. Cela provient du fait qu"une fonction est du signe de son ´equivalent au voisinage du point consid´er´e.

Exercice : 15

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