Feuille dexercices 10 Développements limités-Calculs de limites
Développements limités-Calculs de limites. Exercice 1. Etablir pour chacune des fonctions proposées ci-dessous un développement limité de en 0 à l'
1.3 Quelques techniques de calcul des DL
(DL de fonctions usuelles à retenir absolument) Les formules ci-dessous concernent des développements limités de fonction usuelles en 0. Ces formules sont
Développements limités
fonction f admet un développement limité d'ordre n en a si et seulement si g mettent de calculer les développements limités de toutes les fonctions que ...
Développements limités et asymptotiques
Il est évidemment possible d'utiliser directement la fonction taylor. L'unité nomade TI-Nspire CAS peut calculer des développements limités de fonctions plus
Développements limités
1 Calculs. Exercice 1. Donner le développement limité en 0 des fonctions : Calculer un développement à l'ordre 1 en ??. Indication ?. Correction ?.
Les Développements Limités
(Dans les calculs le terme g(0) disparaît). Exemple. Calculer le DL de ecos x à l'ordre 3 en 0. Comme cos 0 = 1 on calcule le DL
Développements limités équivalents et calculs de limites
le développement limité de à l'ordre 5. 2. Calculer le développement limité à l'ordre 2 au voisinage de 0 de la fonction définie par. ( ) =.
calcul-asymptotique.pdf
Donner les trois premiers termes de ce développement limité. Exercice 28 [ 00318 ] [Correction]. Pour n ? 2 on considère le polynôme. Pn
Fonctions de plusieurs variables
1 nov. 2004 Calculer un développement limité de c en 0 c'est calculer des développements limités des fonctions coordonnées x(t) = a0 +.
Chapitre 1 - Dérivation développements limités et intégration
Calculs de limite Calculons la limite quand x tend vers 0 de la fonction sin 3x?sin 2x x . On utilise le développement limité à l'ordre 2 des fonctions sin
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Le développement limité de MAC LAURIN au voisinage de x = 0 à l'ordre "n" pour une fonction "f" indéfiniment dérivable s'écrit : /(x) = /(0) + x/'(0) +x2
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28 mar 2017 · mettent de calculer les développements limités de toutes les fonctions que vous rencon- trerez à condition de connaître un petit nombre de
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Calcul du DL de h(x) = sin ln(1 + x) en 0 à l'ordre 3 • On pose ici f (u) = sinu et g(x) = ln(1 + x) (pour plus de clarté il
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Développements limités équivalents et calculs de limites Pascal Lainé 3 Exercice 12 Déterminer le développement limité à l'ordre 4 au voisinage de
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En effet c'est le seul moyen de calculer les valeurs d'une fonction puisque les additions et multiplications sont les seuls calculs que l'on peut vraiment
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Les périodicités et les symétries des fonctions trigonométriques introduisent une difficulté pour résoudre les équations du type sin x = ?
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k! Ces formules permettent de calculer très efficacement des valeurs approchées de l'exponentielle Ainsi e peut-il être approché par 1 + 1
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La formule de Taylor-Young sert assez peu en pratique En effet elle nécessite le calcul de dérivées successives ce qui peut s'avérer fastidieux dès que les
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22 avr 2013 · Exemple : Trois méthodes différentes pour calculer le DL5(0) de la fonction tangente • Première possibilité faire le DL du quotient sin(x) cos
Comment calculer un développement limité ?
La rigueur en mathématiques s'organise par la genèse du concept de «limite» et c'est d'Alembert qui a donné un nouvel aspect à l'analyse.Comment choisir l'ordre d'un DL ?
On dit que f admet un développement limité à l'ordre n en x0 s'il existe des réels a0,…,an a 0 , … , a n et une fonction ? définie sur I et qui tend vers 0 quand x tend vers x0 tels que f(x)=a0+a1(x?x0)+?+an(x?x0)n+(x?x0)n?(x).
![Développements limités Développements limités](https://pdfprof.com/Listes/17/59432-17fic00163.pdf.pdf.jpg)
Développements limités
Corrections d"Arnaud Bodin.
1 Calculs
Exercice 1Donner le développement limité en 0 des fonctions : 1. cos xexpxà l"ordre 32.(ln(1+x))2à l"ordre 4
3. shxxx3à l"ordre 6
4. e xp sin(x)à l"ordre 4 5. sin6(x)à l"ordre 9
6. ln cos(x)à l"ordre 6 7.1cosxà l"ordre 4
8. tan xà l"ordre 5 (ou 7 pour les plus courageux)9.(1+x)11+xà l"ordre 3
10. arcsin ln(1+x2)à l"ordre 6 1. Dév eloppementlimité en 1 à l"ordre 3 de f(x) =px. 2. Dév eloppementlimité en 1 à l"ordre 3 de g(x) =epx 3.Dév eloppementlimité à l"ordre 3 en
p3 deh(x) =ln(sinx).Donner un développement limité à l"ordre 2 def(x) =p1+x21+x+p1+x2en 0. En déduire un développement à
l"ordre 2 en+¥. Calculer un développement à l"ordre 1 en¥.2 Applications
Exercice 4Calculer les limites suivantes
lim x!0e x2cosxx2limx!0ln(1+x)sinxx
limx!0cosxp1x2x 4Étudier la position du graphe de l"applicationx7!ln(1+x+x2)par rapport à sa tangente en 0 et 1.
Déterminer:
1. (a) lim x!+¥px2+3x+2+x
(b) lim x!¥px2+3x+2+x
2. lim x!0+(arctanx)1x 2 3. lim x!0(1+3x)131sinx1cosx
Exercice 7Soitfl"application deRdansRdéfinie parf(x) =x31+x6:Calculerf(n)(0)pour toutn2N:Soitaun nombre réel etf:]a;+¥[!Rune application de classeC2. On supposefetf00bornées ; on pose
M 0=sup x>ajf(x)jetM2=sup x>ajf00(x)j. 1. En appliquant une formule de T aylorreliant f(x)etf(x+h), montrer que, pour toutx>aet touth>0, on a :jf0(x)j6h2 M2+2h M0. 2.En déduire que f0est bornée sur]a;+¥[.
3.Établir le résultat sui vant: soit g:]0;+¥[!Rune application de classeC2à dérivée seconde bornée et
telle que limx!+¥g(x) =0. Alors limx!+¥g0(x) =0.4 DL implicite
Exercice 9tan(x) =x1.Montrer que l"équation tan x=xpossède une unique solutionxndansnpp2 ;np+p2 (n2N). 2.Quelle relation lie xnet arctan(xn)?
3. Donner un DL de xnen fonction denà l"ordre 0 pourn!¥. 4.En reportant dans la relation trouvée en
2 , obtenir un DL dexnà l"ordre 2.Exercice 10Recherche d"équivalentsDonner des équivalents simples pour les fonctions suivantes :
1.2 exp1+4xp1+6x2, en 0
2.(cosx)sinx(cosx)tanx, en 0
3. arctan x+arctan3x 2p3 , enp3 4. px2+123px
3+x+4px
4+x2, en+¥
5. ar gch1cosx, en 0
cosx1+ax21+bx2 soit uno(xn)en 0 avecnmaximal.Calculer
`=limx!+¥ ln(x+1)lnx xDonner un équivalent de
ln(x+1)lnx x lorsquex!+¥.Indication pourl"exer cice1 N1.cos xexpx=1+x13
x3+o(x3)2.(ln(1+x))2=x2x3+1112
x4+o(x4) 3. shxxx 3=13! +15! x2+17! x4+19! x6+o(x6) 4. e xp sin(x)=1+x+12 x218 x4+o(x4) 5. sin6(x) =x6x8+o(x9)
6. ln (cosx) =12 x2112 x4145 x6+o(x6) 7.1cosx=1+12
x2+524 x4+o(x4) 8. tan x=x+x33 +2x515 +17x7315 +o(x7)9.(1+x)11+x=exp11+xln(1+x)=1+xx2+x32
+o(x3) 10. arcsin ln(1+x2)=x2x42 +x62+o(x6)Indication pourl"exer cice2 NPour la première question vous pouvez appliquer la formule de Taylor ou bien poserh=x1 et considérer un
dl au voisinage deh=0.Indication pourl"exer cice3 NEnx=0 c"est le quotient de deux dl. Enx= +¥, on poseh=1x
et on calcule un dl enh=0.Indication pourl"exer cice4 NIl s"agit bien sûr de calculer d"abord des dl afin d"obtenir la limite. On trouve :
1. lim x!0ex2cosxx 2=32 2. lim x!0ln(1+x)sinxx =0 3. lim x!0cosxp1x2x 4=16Indication pour
l"exer cice5 NFaire un dl enx=0 à l"ordre 2 cela donnef(0),f0(0)et la position par rapport à la tangente donc tout ce qu"il
faut pour répondre aux questions. Idem enx=1.Indication pourl"exer cice6 NIl s"agit de faire un dl afin de trouver la limite.
1. (a) lim x!+¥px2+3x+2+x= +¥
(b) lim x!¥px2+3x+2+x=32
2. lim x!0+(arctanx)1x 2=0 4 3.lim x!0(1+3x)131sinx1cosx=2Indication pourl"exer cice7 NCalculer d"abord le dl puis utiliser une formule de Taylor.
Indication pour
l"exer cice8 N1.La formule à appliquer est celle de T aylor-Lagrangeà l"ordre 2.
2.Étudier la fonction f(h) =h2
M2+2hM0et trouver infh>0f(h).
3.Il f autchoisir un a>0 tel queg(x)soit assez petit sur]a;+¥[; puis appliquer les questions précédentes
àgsur cet intervalle.Indication pourl"exer cice11 NIdentifier les dl de cosxet1+ax21+bx2enx=0.Indication pourl"exer cice12 NFaites un développement faisant intervenir desxet des lnx. Trouvez`=1.5
Correction del"exer cice1 N1.cos xexpx(à l"ordre 3).Le dl de cosxà l"ordre 3 est
cosx=112! x2+e1(x)x3:Le dl de expxà l"ordre 3 est
expx=1+x+12! x2+13! x3+e2(x)x3: Par convention toutes nos fonctionsei(x)vérifieronsei(x)!0 lorsquex!0.On multiplie ces deux expressions
cosxexpx= 112x2+e1(x)x3
1+x+12!
x2+13! x3+e2(x)x3 =11+x+12!
x2+13! x3+e2(x)x3 on développe la ligne du dessus 12 x21+x+12!
x2+13! x3+e2(x)x3 +e1(x)x31+x+12!
x2+13! x3+e2(x)x3 On va développer chacun de ces produits, par exemple pour le deuxième produit : 12! x21+x+12!
x2+13! x3+e2(x)x3 =12 x212 x314 x4112 x512 x2e2(x)x3: Mais on cherche un dl à l"ordre 3 donc tout terme enx4,x5ou plus se met danse3(x)x3, y compris x2e2(x)x3qui est un bien de la formee(x)x3. Donc
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