[PDF] Devoir dentraˆ?nement sur les développements limités





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Formule de Taylor développements limités

http://www.gm.univ-montp2.fr/spip/IMG/pdf/mathsTD4.pdf



DEVELOPPEMENTS LIMITÉS USUELS Le développement limité de

Le développement limité de MAC LAURIN au voisinage de x = 0 à l'ordre "n" pour une fonction "f" indéfiniment dérivable s'écrit : /(x) = /(0) + x/'(0) +x2.



Développements limités

Le second se déduit de la formule du binôme de Newton et est démontré dans fonction f admet un développement limité d'ordre n en a si et seulement si g ...



1 La formule de Taylor-Young

Pour n = 1 la formule n'est autre que le développement limité de f `a l'ordre 1 au point a



CHAPITRE 16 - Formules de Taylor et Développements Limités

On en déduit donc par passage à la limite la formule de la série exponentielle : On dit que f admet un développement limité d'ordre n au voisinage de 0 ...



Développements limités

faire un développement limité à l'ordre 2 de la fonction f . Nous commencerons par la formule de Taylor avec reste intégral qui donne une expression.



I) Développements limités usuels

I) Développements limités usuels Les développements limités se regroupent presque tous en deux familles. ... Pas de formule générale.



Devoir dentraˆ?nement sur les développements limités

Pour guider les calculs on rappelle le développement limité de tangente en 0 `a Exercice 2 : Développement limité de tan par la formule de Taylor.



Formules de Taylor. Applications. 1 Formule de Taylor avec reste

Elle donne une condition suffisante pour qu'une fonction f poss`ede un développement limité `a l'ordre n en un point a : il suffit qu'elle admette en ce point a 





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Le développement limité de MAC LAURIN au voisinage de x = 0 à l'ordre "n" pour une fonction "f" indéfiniment dérivable s'écrit : /(x) = /(0) + x/'(0) +x2



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28 mar 2017 · En règle générale il faut toujours commencer un calcul avec des développement limités qui soient tous au moins de l'ordre final souhaité 



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DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS 1 FORMULES DE TAYLOR 2 La partie polynomiale f (0) + f ?(0)x + ··· + f (n)(0) xn n! est le polynôme de degré n qui approche le 



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Formule de Taylor-Young Rappels Énoncé Comparaison Taylor-Lagrange/Taylor-Young Cas des fonctions usuelles 2 Développements limités DL en un point



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Chapitre 4 : Les développements limités Nous avons vu au chapitre précédent qu'une fonction dérivable peut être ap- prochée par une droite (sa tangente) 



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Ces formules permettent de calculer très efficacement des valeurs approchées de l'exponentielle Ainsi e peut-il être approché par 1 + 1 + 1 2 + 1 3! +



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Développements limités usuels en 0 Développements en série entière usuels 4 Formule de Moivre (cosa + i sin a)n = cosna + i sin na



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En pratique pour trouver un développement limité on utilise souvent la formule de Taylor Young si la fonction est “simple” (et réguli`ere) ou l'une des 



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17 mar 2021 · La formule de Taylor-Lagrange garantit l'existence d'un développement limité à l'ordre n ? 1 pour une application f de classe Cn III 2 2



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22 avr 2013 · Les développements limités constituent un outil telle- ment fondamental pour les calculs de limites autres études locales de fonctions que 

  • Comment calculer le DL ?

    En pratique. Si je veux calculer le DL de f à l'ordre n en x0, je calcule le DL de g(h) = f(x0+h) à l'ordre n en 0, ensuite je remplace dans le DL trouvé h par (x ? x0). 2 + h) et on calcule son DL à l'ordre 3 au point 0.

  • Comment choisir l'ordre d'un DL ?

    On prend le DL du sinus à l'ordre 1 : sinx=x+o(x), pour obtenir à l'ordre 2 : xsinx=x2+o(x2).

    1Tu dis que le développement à une précision insuffisante te donne un autre résultat. 2"Pour moi l'ordre est le degré du polynôme du DL".

  • Comment faire le développement limité ?

    La formule de Taylor donne une réponse simple `a ces deux probl`emes. La rêgle de l'Hôpital* est un moyen simple de calculer certaines limites de la forme indéterminée 0/0 ou ?/?. On peut rendre l'argument plus rigoureux en utilisant la formule du chapitre 2 : f(a + ?x) = f(a) + f (a)?x + o(?x) .
Devoir dentraˆ?nement sur les développements limités

Universite Rene Descartes - Paris 5

UFR de Mathematiques et Informatique

45, rue des Saints-Peres 75270 Paris cedex 06Licence 1ere annee, 2011-2012,Mathematiques et Calcul 1 (MC1)

Devoir d'entra^nement sur les developpements limites

NB:Ce devoir a pour but de completer la feuille de TD6. Il s'agit d'un devoir d'entra^nementfacultatif.

Un corrige detaille sera distribue ulterieurement pour permettre unecorrection autonome.

Developpement limite de la fonction tangente

Le but de ce devoir est d'etablir le developpement limite de la fonction tangente en zero de plusieurs

manieres dierentes. Pour guider les calculs, on rappelle le developpement limite de tangente en 0 a l'ordre 8 :tanx=x+x33 +215
x5+17315 x7+o(x8)Exercice 1 : Preambule On rappelle que la fonction tangente est denie par tanx=sinxcosx (1) Preciser quel est l'ensemble de denitionDde tan. (2) Justier que tan est de classeC1surD. (3) Demontrer que tan

0(x) = 1 + tan2x=1cos

2x:

Correction de l'exercice 1 :

(1) Les fonctions sin et cos sont denies surR, donc le quotient tanx=sinxcosxest deni pour tous les reelsxtels que cosx6= 0. Or cosx= 0()x=2 ou32 [2]()x2n2 +k; k2Zo

DoncD=Rn2

+k; k2Z. (2) sin et cos sont des fonctions de classeC1surR(et donc surDR) et cos ne s'annule pas sur

D, doncx7!tanx=sinxcosxest de classeC1surD.

(3) En appliquant la formule de derivation d'un quotient on a : tan

0x=cos2x+ sin2xcos

2x:

Comme cos

2x+ sin2x= 1, on a bien tan0(x) =1cos

2x. Par ailleurs,

tan

0x=cos2x+ sin2xcos

2x=cos2xcos

2x+sin2xcos

2x= 1 + tan2x:

Exercice 2 : Developpement limite detanpar la formule de Taylor

On posef(x) = tan(x).

(1) Calculer la derivee secondef00et la derivee troisiemef(3)def(on utilisera l'expressionf0(x) = 1cos

2xpour simplier les calculs).

(2) Appliquer la formule de Taylor pour obtenir le developpement limite de tan en 0 a l'ordre 3. (3) Determiner egalement le developpement limite de tan en 4 a l'ordre 3.

Correction de l'exercice 2 :

1 2 (1) On calcule les derivees successives : f(x) = tan(x) f

0(x) =1cos

2x f

00(x) = (cos2)0(x) =2(sinx)(cosx)3=2sinxcos

3x f (3)(x) =2cos4x+ 6sin2xcos2xcos

6x=2cos2x+ 6sin2xcos

4x=2 + 4sin2xcos

4x (2) Pour appliquer la formule de Taylor en 0 a l'ordre 3 il faut calculerf(k)(0) pourk= 0;1;2 et 3.

D'apres la question precedente, on trouve

f(0) = 0 ;f0(0) = 1 ;f00(0) = 0 ;f(3)(0) = 2:

La formule de Taylor en 0 a l'ordre 3 est

f(x) =f(0) +f0(0)x+f00(0)2 x2+f(3)(0)6 x3+o(x3) soit ici f(x) =x+13 x3+o(x3): (3) On calcule les valeurs des derivees en 4 . Comme sin4 = cos4 =1p2 , on a f 4 = 1 ;f04 = 2 ;f004 = 4 ;f(3)4 =2 + 412 1 4 = 16:

Ainsi, la formule de Taylor donne

f(x) =f4 +f04 x4 +f004 2 x4

2+f(3)4

6 x4 3+o x4 3 soit f(x) = 1 + 2 x4 + 2 x4 2+83 x4 3+o x4 3

Exercice 3 : Developpement limite du quotient

sinxcosx (1) Rappeler les developpements limites en 0 a l'ordre 5 des fonctions sin et cos. (2) Rappeler le developpement limite de

11 +xen 0 a l'ordre 5.

(3) Developpement limite a l'ordre 5 en 0 du quotient

1cosx: En utilisant le fait quex7!1cosxest

la composee dex7!cosx1 et dex7!11 +x, demontrer que

1cosx= 1 +12

x2+524 x4+o(x5): (4) En deduire le developpement limite de tan en 0 a l'ordre 5.

Correction de l'exercice 3 :

(1) D'apres les formules du cours sinx=xx36 +x5120 +o(x5) et cosx= 1x22 +x424 +o(x5): (2) On a

11 +x= 1x+x2x3+x4x5+o(x5):

3 (3) Comme cosx1 =x22 +x424 +o(x5) et11 +x= 1x+x2x3+x4x5+o(x5); d'apres la regle de composition des developpements limites,

11 + (cosx1)= 1

x22 +x424 x22 +x424 2 x22 +x424 3 x22 +x424 4 x22 +x424 5 +o(x5): On developpe ensuite les expressions ci-dessus en ne gardant que les mon^omes de degre inferieur a

5. On remarque alors que seul les deux premiers termes

x22 +x424 et x22 +x424

2contiennent

des mon^omes de degre inferieur a 5. Ainsi

1cosx= 1

x22 +x424 x22 +x424 2 +o(x5) et, en developpant le carre,

1cosx= 1 +12

x2+ 124
+14 x

4+o(x5):

Au nal,

1cosx= 1 +12

x2+524 x4+o(x5): (4) Comme tanx= sinx1cosxet que sinx=x16 x3+1120 x5+o(x5) et

1cosx= 1 +12

x2+524 x4+o(x5); d'apres la regle de multiplication des developpements limites, tanx= x16 x3+1120 x5 1 +12 x2+524 x4 +o(x5): On developpe ensuite le produit ci-dessus en regroupant les termes selon leur degre (et en \mettant dans leo(x5)" les termes de degre strictement superieur a 5). tanx=x+12 16 x 3+524quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39
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