[PDF] Exercices de mathématiques - Exo7





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Corrigé (des exercices 1-8) du TD no 9 — Formules de Taylor

Corrigé (des exercices 1-8) du TD no 9 — Formules de Taylor. Corrigé de l'exercice 1. 1. (a) Formule de Taylor-Young : supposons que f soit de classe Cn sur.



Exercices de mathématiques - Exo7

Indication pour l'exercice 8 ?. 4. Page 5. 1. La formule à appliquer est celle de Taylor-Lagrange à l'ordre 2. 2. Étudier la fonction ?(h) = h.



Formule de Taylor-Lagrange

Exercice 2. Soit un réel strictement positif. 1. Ecrire la formule de Taylor-Lagrange pour la fonction cosinus hyperbolique sur l'intervalle [0



TD no 9 — Formules de Taylor

TD no 9 — Formules de Taylor. Exercice 1. Soient I un intervalle ouvert de R f : I ? R une fonction sur I



Feuille 3 Analyse Formules de Taylor Exercice 1. Soit :? ? ? une

Exercice 2. Soit un réel strictement positif. 1. Ecrire la formule de Taylor-Lagrange pour la fonction cosinus hyperbolique sur l'intervalle [0



Chapitre 4 - Formules de Taylor et développements limités

Démonstration : Cette proposition est démontrée dans l'exercice (corrigé) 3.11. 4.3 Fonctions analytiques (hors programme).



Corrigé TD 3 Exercice 1.

Exercice 13. Rappel. La formule de Taylor–Lagrange est une sorte de généralisation du théorème des accroissements finis plus fine pour les fonctions 



Feuille dexercices 10 Développements limités-Calculs de limites

Correction exercice 1. à l'ordre 5 donne le polynôme de Taylor du développement limité de tan( ) à ... car pour appliquer cette formule il faut que .



Université de Marseille Licence de Mathématiques 1ere année

29?/07?/2015 4 Formules de Taylor et développements limités. 68. 4.1 Taylor-Lagrange . ... Exercice 1.18 (Corrigé de l'exercice 1.11).



Université de Marseille Licence de Mathématiques 1ere année

03?/05?/2010 1.5 Exercices corrigés . ... 4 Formules de Taylor et développements limités ... 5.5 Intégration par parties formule de Taylor .



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Corrigé (des exercices 1-8) du TD no 9 — Formules de Taylor Corrigé de l'exercice 1 1 (a) Formule de Taylor-Young : supposons que f soit de classe Cn sur



[PDF] Formule de Taylor-Lagrange - Licence de mathématiques Lyon 1

Exercice 2 Soit un réel strictement positif 1 Ecrire la formule de Taylor-Lagrange pour la fonction cosinus hyperbolique sur l'intervalle [0 



[PDF] Correction Feuille 6 : Formules de Taylor ? ?

Semestre de printemps 2019-2020 Correction Feuille 6 : Formules de Taylor Exercice 1 Dans les graphes des fonctions suivantes identifier x ??



[PDF] Feuille 3 Analyse Formules de Taylor Exercice 1 Soit

Exercice 2 Soit un réel strictement positif 1 Ecrire la formule de Taylor-Lagrange pour la fonction cosinus hyperbolique sur l'intervalle [0 



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Démonstration : Cette proposition est démontrée dans l'exercice (corrigé) 3 11 4 3 Fonctions analytiques (hors programme )



Exercices corrigés sur la formule de Taylor

Exercices corrigés sur la formule de Taylor Exercice 1 Calculez le développement de Taylor avec le reste de Peano d'ordre n à x0 pour les fonctions 



[PDF] Exercices du chapitre VI avec corrigé succinct - UTC - Moodle

Exercice VI 2 Ch6-Exercice2 Montrer que la formule de Taylor-Lagrange `a l'ordre 0 n'est autre que la formule des accroissements finis



[PDF] Chapitre 4 LA FORMULE DE TAYLOR ET SES APPLICATIONS

Ici nous n' étudierons que l'approximation d'une fonction au voisinage d'un point (ce point peut être ±?) C'est ce qu'on appelle l'approximation locale de 



[PDF] Feuille dexercices no 4 — Formules de Taylor

Feuille d'exercices no 4 — Formules de Taylor Exercice 1 Soient I un intervalle ouvert de R f : I ? R une fonction sur I et x0 un point de I

  • Comment utiliser la formule de Taylor ?

    La formule de Taylor donne une réponse simple `a ces deux probl`emes. La rêgle de l'Hôpital* est un moyen simple de calculer certaines limites de la forme indéterminée 0/0 ou ?/?. On peut rendre l'argument plus rigoureux en utilisant la formule du chapitre 2 : f(a + ?x) = f(a) + f (a)?x + o(?x) .

  • Comment appliquer la formule de Taylor Lagrange ?

    g(n+1)(t) = fn+1(t). On peut alors appliquer le théor`eme de Taylor-Lagrange `a g, qui vérifie l'hypoth`ese restrictive sous laquelle il est déj`a connu. On obtient l'existence d'un c tel que : g(b) = g(a) + g(n+1)(c)(b ? a)n+1 (n + 1)
  • La formule de Taylor, du nom du mathématicien Brook Taylor qui l'établit en 1712, permet l'approximation d'une fonction plusieurs fois dérivable au voisinage d'un point par un polynôme dont les coefficients dépendent uniquement des dérivées de la fonction en ce point.
Exercices de mathématiques - Exo7 Exo7

Développements limités

Corrections d"Arnaud Bodin.

1 Calculs

Exercice 1Donner le développement limité en 0 des fonctions : 1. cos xexpxà l"ordre 3

2.(ln(1+x))2à l"ordre 4

3. shxxx

3à l"ordre 6

4. e xp sin(x)à l"ordre 4 5. sin

6(x)à l"ordre 9

6. ln cos(x)à l"ordre 6 7.

1cosxà l"ordre 4

8. tan xà l"ordre 5 (ou 7 pour les plus courageux)

9.(1+x)11+xà l"ordre 3

10. arcsin ln(1+x2)à l"ordre 6 1. Dév eloppementlimité en 1 à l"ordre 3 de f(x) =px. 2. Dév eloppementlimité en 1 à l"ordre 3 de g(x) =epx 3.

Dév eloppementlimité à l"ordre 3 en

p3 deh(x) =ln(sinx).

Donner un développement limité à l"ordre 2 def(x) =p1+x21+x+p1+x2en 0. En déduire un développement à

l"ordre 2 en+¥. Calculer un développement à l"ordre 1 en¥.

2 Applications

Exercice 4Calculer les limites suivantes

lim x!0e x2cosxx

2limx!0ln(1+x)sinxx

limx!0cosxp1x2x 4

Étudier la position du graphe de l"applicationx7!ln(1+x+x2)par rapport à sa tangente en 0 et 1.

Déterminer:

1. (a) lim x!+¥px

2+3x+2+x

(b) lim x!¥px

2+3x+2+x

2. lim x!0+(arctanx)1x 2 3. lim x!0(1+3x)13

1sinx1cosx

Exercice 7Soitfl"application deRdansRdéfinie parf(x) =x31+x6:Calculerf(n)(0)pour toutn2N:

Soitaun nombre réel etf:]a;+¥[!Rune application de classeC2. On supposefetf00bornées ; on pose

M 0=sup x>ajf(x)jetM2=sup x>ajf00(x)j. 1. En appliquant une formule de T aylorreliant f(x)etf(x+h), montrer que, pour toutx>aet touth>0, on a :jf0(x)j6h2 M2+2h M0. 2.

En déduire que f0est bornée sur]a;+¥[.

3.

Établir le résultat sui vant: soit g:]0;+¥[!Rune application de classeC2à dérivée seconde bornée et

telle que limx!+¥g(x) =0. Alors limx!+¥g0(x) =0.

4 DL implicite

Exercice 9tan(x) =x1.Montrer que l"équation tan x=xpossède une unique solutionxndansnpp2 ;np+p2 (n2N). 2.

Quelle relation lie xnet arctan(xn)?

3. Donner un DL de xnen fonction denà l"ordre 0 pourn!¥. 4.

En reportant dans la relation trouvée en

2 , obtenir un DL dexnà l"ordre 2.

Exercice 10Recherche d"équivalentsDonner des équivalents simples pour les fonctions suivantes :

1.

2 exp1+4xp1+6x2, en 0

2.(cosx)sinx(cosx)tanx, en 0

3. arctan x+arctan3x 2p3 , enp3 4. px

2+123px

3+x+4px

4+x2, en+¥

5. ar gch

1cosx, en 0

cosx1+ax21+bx2 soit uno(xn)en 0 avecnmaximal.

Calculer

`=limx!+¥ ln(x+1)lnx x

Donner un équivalent de

ln(x+1)lnx x lorsquex!+¥.

Indication pourl"exer cice1 N1.cos xexpx=1+x13

x3+o(x3)

2.(ln(1+x))2=x2x3+1112

x4+o(x4) 3. shxxx 3=13! +15! x2+17! x4+19! x6+o(x6) 4. e xp sin(x)=1+x+12 x218 x4+o(x4) 5. sin

6(x) =x6x8+o(x9)

6. ln (cosx) =12 x2112 x4145 x6+o(x6) 7.

1cosx=1+12

x2+524 x4+o(x4) 8. tan x=x+x33 +2x515 +17x7315 +o(x7)

9.(1+x)11+x=exp11+xln(1+x)=1+xx2+x32

+o(x3) 10. arcsin ln(1+x2)=x2x42 +x62

+o(x6)Indication pourl"exer cice2 NPour la première question vous pouvez appliquer la formule de Taylor ou bien poserh=x1 et considérer un

dl au voisinage deh=0.Indication pourl"exer cice3 NEnx=0 c"est le quotient de deux dl. Enx= +¥, on poseh=1x

et on calcule un dl enh=0.Indication pourl"exer cice4 NIl s"agit bien sûr de calculer d"abord des dl afin d"obtenir la limite. On trouve :

1. lim x!0ex2cosxx 2=32 2. lim x!0ln(1+x)sinxx =0 3. lim x!0cosxp1x2x 4=16

Indication pour

l"exer cice

5 NFaire un dl enx=0 à l"ordre 2 cela donnef(0),f0(0)et la position par rapport à la tangente donc tout ce qu"il

faut pour répondre aux questions. Idem enx=1.Indication pourl"exer cice6 NIl s"agit de faire un dl afin de trouver la limite.

1. (a) lim x!+¥px

2+3x+2+x= +¥

(b) lim x!¥px

2+3x+2+x=32

2. lim x!0+(arctanx)1x 2=0 4 3.lim x!0(1+3x)13

1sinx1cosx=2Indication pourl"exer cice7 NCalculer d"abord le dl puis utiliser une formule de Taylor.

Indication pour

l"exer cice

8 N1.La formule à appliquer est celle de T aylor-Lagrangeà l"ordre 2.

2.

Étudier la fonction f(h) =h2

M2+2h

M0et trouver infh>0f(h).

3.

Il f autchoisir un a>0 tel queg(x)soit assez petit sur]a;+¥[; puis appliquer les questions précédentes

àgsur cet intervalle.Indication pourl"exer cice11 NIdentifier les dl de cosxet1+ax21+bx2enx=0.Indication pourl"exer cice12 NFaites un développement faisant intervenir desxet des lnx. Trouvez`=1.5

Correction del"exer cice1 N1.cos xexpx(à l"ordre 3).

Le dl de cosxà l"ordre 3 est

cosx=112! x2+e1(x)x3:

Le dl de expxà l"ordre 3 est

expx=1+x+12! x2+13! x3+e2(x)x3: Par convention toutes nos fonctionsei(x)vérifieronsei(x)!0 lorsquex!0.

On multiplie ces deux expressions

cosxexpx= 112
x2+e1(x)x3

1+x+12!

x2+13! x3+e2(x)x3 =1

1+x+12!

x2+13! x3+e2(x)x3 on développe la ligne du dessus 12 x2

1+x+12!

x2+13!quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39
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