Formule de Taylor développements limités
http://www.gm.univ-montp2.fr/spip/IMG/pdf/mathsTD4.pdf
Chapitre 4 Formules de Taylor
La formule de Taylor du nom du mathématicien Brook Taylor qui l'établit en 1715
Chapitre 2: Séries de Maclaurin et de Taylor
Introduction : Soit une fonction f qui peut être dérivée n fois sur un intervalle. I. Notre objectif est de trouver une fonction polynomiale.
Formule de Taylor
limités au voisinage de 0 connus : formules dites de. Taylor-Mac Laurin et on applique un changement de variable : / X = x ? x0 pour ramener le calcul du.
Corrigé (des exercices 1-8) du TD no 9 — Formules de Taylor
3. La formule de Taylor-Young en 2 à l'ordre 4 pour la fonction polynomiale P(x)=1+ x + x2 + x3.
CHAPITRE 16 - Formules de Taylor et Développements Limités
Par récurrence la formule est donc bien montrée pour n'importe quel n ? N. Exemple : Prenons la fonction exponentielle f(x) = exp(x) qui est bien de classe C
Formules de Taylor et applications
12.3.1 Formules de Taylor — Rappels et préliminaires . sera appelé polynôme de Maclaurin d'ordre n associé à f au point x = 0.
Untitled
Les différentes formules de Taylor. Soit ƒ une fonction à valeurs réelles Lorsque a = 0 en posant ?= x
DEVELOPPEMENTS LIMITÉS USUELS Le développement limité de
Le développement limité de MAC LAURIN au voisinage de x = 0 à l'ordre "n" pour une fonction "f" indéfiniment dérivable s'écrit : /(x) = /(0) + x/'(0) +x2.
The Euler–Maclaurin and Taylor Formulas: Twin Elementary
which is Taylor's formula of order p with remainder. Euler–Maclaurin formula. To obtain this formula it suffices to take for v in the identity (1) a function
[PDF] Chapitre 4 Formules de Taylor
4 1 Les trois formules de Taylor Notations 4 1 1 Soient I un intervalle de R x0 un point intérieur `a I et f : I ? R une fonction
[PDF] Chapitre 2: Séries de Maclaurin et de Taylor
LES SÉRIES DE MACLAURIN ET DE TAYLOR 17 3MSPM – JtJ 2022 Exercice 2 6 : Développer en série de Maclaurin la fonction f définie par: f (x) = ln(2x +1)
[PDF] Formules de Taylor Applications
1 Formule de Taylor avec reste intégral 1 1 Théor`eme Théor`eme 1 1 Soit f : [a b] ? IR une fonction de classe Cn+1 On a: f(b) = f(a) +
[PDF] Chapitre 4 LA FORMULE DE TAYLOR ET SES APPLICATIONS
La formule de Taylor donne une réponse simple `a ces deux probl`emes 1 LA REGLE DE L'HOPITAL La rêgle de l'Hôpital* est un moyen simple de calculer certaines
[PDF] Formules de Taylor et développements limités
Le théor`eme 4 1 (Taylor-Lagrange) donne une information locale plus précise (car il donne une précision sur la fonction h(x) de la formule de Taylor-Young)
Formule de Taylor Formule de Mac-Laurin Développements limités
Formule de Taylor Formule de Mac-Laurin Développements limités usuels Tableau des DL usuels de Mac Laurin ( 1 + x ) ? = 1 + ? x + ? ( ? ? 1 ) 2 ! x
[PDF] Chapitre 11 Formules de Taylor et développements limités - Unisciel
1 Formule de Taylor avec reste intégral 2 2 Inégalité de Taylor-Lagrange En remplaçant Rn par sa valeur on obtient la formule à l'ordre n + 1
[PDF] Formules de Taylor et Développements Limités
La formule est donc bien vérifiée au rang n = 0 Soit n ? 0 Supposons que la propriété soit vraie si f est une fonction de classe Cn+1 sur I Prenons à
[PDF] Chapitre10 : Formules de Taylor - Melusine
INÉGALITÉ DE TAYLOR–LAGRANGE CHAPITRE 10 FORMULES DE TAYLOR II Inégalité de Taylor–Lagrange Théorème : Soit f une fonction de classe cn+1 sur un segment
[PDF] Formule de Taylor - Fun MOOC
(x) = 2 ln(x + 1) + 4 x x + 1 ? x2 (x + 1)2 2 / 10 Isabelle Gil - Formule de Taylor Taylor-Mac Laurin et on applique un changement de variable :
Comment appliquer la formule de Taylor Lagrange ?
g(n+1)(t) = fn+1(t). On peut alors appliquer le théor`eme de Taylor-Lagrange `a g, qui vérifie l'hypoth`ese restrictive sous laquelle il est déj`a connu. On obtient l'existence d'un c tel que : g(b) = g(a) + g(n+1)(c)(b ? a)n+1 (n + 1)Quel est la formule de Taylor ?
La formule de Taylor, du nom du mathématicien Brook Taylor qui l'établit en 1712, permet l'approximation d'une fonction plusieurs fois dérivable au voisinage d'un point par un polynôme dont les coefficients dépendent uniquement des dérivées de la fonction en ce point.Comment utiliser la formule de Taylor ?
La formule de Taylor donne une réponse simple `a ces deux probl`emes. La rêgle de l'Hôpital* est un moyen simple de calculer certaines limites de la forme indéterminée 0/0 ou ?/?. On peut rendre l'argument plus rigoureux en utilisant la formule du chapitre 2 : f(a + ?x) = f(a) + f (a)?x + o(?x) .Pour calculer le développement limité d'une fonction réciproque f?1 au voisinage de f(a) :
1on calcule le développement limité de f en a .2on écrit de façon formelle le développement limité de f?1 en f(a) : f?1(f(a)+h)=a+a1h+?+anhn+o(hn). 3on écrit que f?f?1(x)=x f ? f ? 1 ( x ) = x .
Formules de Taylor et applications
B. Aoubiza
IUT Belfort-Montbéliard
Département GTR
13 janvier 2003
Table des matières
12.1Préliminaires:NotationdeLandau................................... 2
12.2Fonctionséquivalentes.......................................... 2
12.2.1 Fonctions équivalentes - Définition............................... 2
12.2.2Fonctionséquivalentes - Propriétés............................... 2
12.2.3 Fonctions équivalentes - Equivalents usuels au voisinage de0................ 3
12.2.4Fonctionséquivalentes - Applicationaucalculdeslimites .................. 3
12.3FormulesdeTaylor............................................ 4
12.3.1FormulesdeTaylor - Rappelsetpréliminaires......................... 4
12.3.2FormulesdeTaylor - Enoncédesformules........................... 4
12.4Approximationd'unefonctionparlepolynômedeTaylor ...................... 5
12.5Développementslimitésd'unefonction................................. 7
12.5.1 Développements limités - Définition.............................. 7
12.5.2Développementslimités - Propriétés.............................. 7
12.6Développementslimitésdesfonctionsusuelles............................. 8
12.6.1 Développements limités des fonctions usuelles - d.l. de()=
au voisinage de0.... 812.6.2 Développements limités des fonctions usuelles - d.l. desinetcosau voisinage de0.. 8
12.6.3 Développements limités des fonctions usuelles - d.l. de(1 +)
au voisinage de0..... 812.7Opérationssurlesdéveloppementslimités............................... 9
12.7.1Opérationssurlesdéveloppementslimités - Addition .................... 9
12.7.2Opérationssurlesdéveloppementslimités - Multiplication ................. 10
12.7.3Opérationssurlesdéveloppementslimités - Division..................... 10
12.7.4Opérationssurlesdéveloppementslimités - Composéedefonctions ............ 11
12.7.5Opérationssurlesdéveloppementslimités - Intégration ................... 11
12.7.6Opérationssurlesdéveloppementslimités - Développementslimitésusuels ........ 12
12.8 Développements limités au voisinage de............................... 12
12.9 Développement au voisinage de l'................................... 14
12.10Applicationsdesd.l. ........................................... 14
12.10.1Applicationsdesd.l. - Recherched'équivalent......................... 14
12.10.2Applicationsdesd.l. - Recherchedeslimites ......................... 15
12.11Etudedefonctions............................................ 16
12.11.1Applications des d.l. - Concavité et point d'inflexion .................... 16
12.11.2Applications des d.l. - Etude des branches infiniesàl'aidededl............... 17
12.12Annexe .................................................. 20
12.12.1Erreurd'approximationparlepolynômedeTaylor...................... 20
12.12.2Applicationauxcalculsapprochés ............................... 21
112.1 Préliminaires : Notation de Landau
Notation de Landau
Si pour tout0, il existe un voisinage
de 0 tel que on écrit et on dit queest négligeable devantau voisinage de 0PropriétésDans un voisinage de
0 fini, on compare souvent une fonctionàlafonction7( 0 avecN. Dans ce cas on a les propriétés suivantes : (On prend 0 =0pour simplifier l'écriture) )siet( )si )R 1 )si12.2 Fonctions équivalentes
12.2.1 Fonctions équivalentes - Définition
Dèfinition 1Soientetdeux fonctions définies sur un intervalle I, sauf éventuellement en 0 0I). On
suppose que()et()ne s'annulent pas surI{ 0 }.Onditqueetsont équivalentes au voisinage de 0 silim 0 ()=1.Notation 1On note :
0 ou() 0 ()ou() 0 Exemple 1La fonctionsinest équivalente àau voisinage de0,car lim 0 sin {=1 On peut définir de la même manière la notion de fonctions équivalentes au voisinage de.Exemple 2La fonction()=
4 2 +1est équivalente à 4 au voisinage de+,car lim 4 2 +1 4 =112.2.2 Fonctions équivalentes - Propriétés
- Si 0 et 0 ,alors 0 - Si 0 alors 0 - Si 1 0 1 et 2 0 2 alors 1 2 0 1 2 et 1 2 0 1 2Remarque 1La relationest une relation d'équivalence. C'est-à-dire que cette relation est reflexive, symétrique
et transitive. Remarque 2Les équivalents ne s'additionnent pas. Exemple 3 0 0 2 si on soustrait : 3 0 2 donc 3 0 2 ce qui est impossible! Calculerlim 0 3 2 212.2.3 Fonctions équivalentes - Equivalents usuels au voisinage de0
Voici quelques équivalents usuels au voisinage de0 sinarcsin1cos 22arctan
tan1ln(1 +)cosh()1+
2 2Preuve de certains équivalents :
1car lim 0 1 = lim0 0 0= 0 =1 - arcsincar lim 0 arcsin {=lim0 arcsinarcsin00=arcsin
0 (0) =1 10 2 =1 - Pour la preuve du reste on peut utiliser la règle de L'Hospital.12.2.4 Fonctions équivalentes - Application au calcul des limites
La propriété suivante est très importante pour le calcul des limites et aux calculs approché. Ce qui justifie
l'introduction de fonctions équivalentes.Proposition 1Silim
0 ()=et 0 alorslim 0 Remarque 3Lors de la recherche de limites on peut (quand c'est possible) remplacer une fonction par son équivalent avant de passer à la limite.Exemple 3Calculonslim
0 sinSolution 1On sait quesin
0 ,d'où lim 0 sin {= lim0 {=lim0 0 =0Exemple 4Calculerlim
0 1cos sin 2 Solution 2Au voisinage de0, on a les équivalences :1cos 22etsinet doncsin
2 2 .D'où 1cos sin 2 0 2 2 2 =1 2 et donc lim 0 1cos sin 2 =12Remarque 4Attention encore!
1. +1mais +1 2.1+ 01maisln(1 +)
0 ln(1) 312.3 Formules de Taylor
12.3.1 Formules de Taylor - Rappels et préliminaires
- FormuledeTaylorpourunpolynôme: Rappelons que tout polynôme de degré 0 1 2 2 peut s'écrire en puissance de()sous la forme : 0 1 2 2Les coecients
sont tels que 0 1!()+ 00 2!() 2 Soitune fonction définie sur un voisinage de:]+[.Rappelonsque - L'approximation linéairedeau voisinage deest donnée par : 1 0 - L'approximation quadratiquedeau voisinage deest donnée par : 2 0 1!()+ 00 2!() 2L'objectif dans la suite de cette section est la recherche d'un polynôme()de degréqui approche le
mieux()au voisinage d'un point donné.12.3.2 Formules de Taylor - Enoncé des formules
Ce sont des formules d'une grande importance en calcul diérentielle. Leur champ d'application est énorme.
Retenir ces formules est non seulement une nécessité mais une obligation.Formule de Taylor
Théorème 1Soitune fonctionfois dérivables au voisinage de.Alors, 1! 0 - Partie principale : 0 1!() 1 00 2!() 2 - Reste de Young : ()aveclim 0 ()=0Polynôme de Taylor
Dèfinition 2Le polynôme
0 1!() 1 00 2!() 2 est appelé polynôme deTaylord'ordreassocié àau point=. 4Formule de Maclaurin
En prenant=0dans la formule de Taylor, on obtientla formule de Maclaurin: ()=(0) + 0 (0) 1! 1 00 (0) 2! 2 (0)Dèfinition 3Le polynôme
()=(0) + 0 (0) 1! 1 +"(0) 2! 2 (0) sera appelé polynôme deMaclaurind'ordreassocié àau point=0.12.4 Approximation d'une fonction par le polynôme de Taylor
Rappelons que pour toutl'évaluation de()=
0 1 2 2 est facile, ce qui ne l'est pas poursin,ln, Notons tout de suite la propriété importante du polynôme de Taylor suivante : Proposition 2Le polynôme de Taylord'ordreassocié à,aupoint=a la propriété suivante : 0 0 00 00i.e. la fonctionest ses dérivées coincident avec le polynôme de Tayloretsesdérivéesjusqu'àl'ordre.
Preuve.Il sut d'écrire.
Ce résultat signifiequ'auvoisinage de=, le polynôme de Taylor()d'ordreest une bonne approx- imation de la fonction()c-à-d : 0 1!() 1 00 2!() 2Remarque 5Les polynômes de Taylor permettent d'approcher beaucoup de fonctions par des fonctions polynômes
réputés simples.1. Si=1, on retrouve l'approximation linéaire.
2. Si=2, on retrouve l'approximation quadratique.
Exemple 5Déterminer le polynôme de Taylor d'ordre4au voisinage de=0associé à()=Solution :D'après la formule de Taylor on a :
()=(0) + 0 (0) 1! 1 00 (0) 2! 2 (3) (0) 3! 3 (4) (0) 4! 4 comme 0 (4) ,etdonc 0 (0) = 1, 00 (0) = 1, ..., (4) (0) = 1,ona: ()=1+ 1!+ 2 2!+ 3 3!+ 4 4! Ci-dessous, sur la mêmefigure, les graphes des fonctions : ,1+ 1! : approximation linéaire,1+ 1! 2 2! approximation quadratique,1+ 1! 2 2! 3 3! : approximation d'ordre 3 et1+ 1! 2 2! 3 3! 4 4! : approximation 5 d'ordre 4. (Vous pouvez déterminer facilement le graphe de chaque fonction) -2024681012141620 -3 -2 -1 1 2 3 x Noter que les courbes coincident au voisinage de 0. Exemple 6Déterminer le polynôme de Taylor d'ordre3au voisinage de=0associé à()=sin.Solution :D'après la formule de Taylor on a :
()=(0) + 0 (0) 1! 1 00 (0) 2! 2 (3) (0) 3! 3Comme()=sin(0) = 0
0 ()=cos 0 (0) = 1 00 ()=sin 00 (0) = 0 (3) ()=cos (3) (0) =1On a donc
sin()= 3 3! -2-1012 -3 -2 -1 1 2 3 xCourbes desinet de()=
3quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39[PDF] philosophie du développement pdf
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