DEVELOPPEMENTS LIMITÉS USUELS Le développement limité de
DEVELOPPEMENTS LIMITÉS USUELS. Le développement limité de MAC LAURIN au voisinage de x = 0 à l'ordre "n" pour une fonction "f" indéfiniment dérivable
Développements limités
Cas des fonctions usuelles. 2. Développements limités. DL en un point. DL en l'infini. Cas particulier des DL0 et DL1. Quelques propriétés. Opérations.
Développements limités I Généralités
I.C Développements limités usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 On dit f admet un développement limité à l'ordre n au voisinage de l'infini.
Développements limités
fonction f admet un développement limité d'ordre n en a si et seulement si g admet développements limités des fonctions usuelles. 1.4 Développement des ...
FICHE : LIMITES ET ÉQUIVALENTS USUELS
FICHE : LIMITES ET ÉQUIVALENTS USUELS. Limites usuelles lnx x. ?????? x?+?. 0 x lnx ?????? Comparaison des fonctions usuelles.
Feuille dexercices 10 Développements limités-Calculs de limites
à l'ordre 5 donne le polynôme de Taylor du développement limité de tan( ) à e) Il faut factoriser par le terme qui tend le plus vite vers l'infini.
Développements limités
Cas des fonctions usuelles. 2. Développements limités. DL en un point. DL en l'infini. Cas particulier des DL0 et DL1. Quelques propriétés. Opérations
Chapitre 11. Formules de Taylor et développements limités
4.2 Développements limités usuels . Un tel développement de la fonction quand la variable tend vers l'infini
Développements limités usuels en 0
Développements limités usuels en 0 Développements en série entière usuels ... III Puissances et inverses de fonctions usuelles. Fonction. Primitive.
1.3 Quelques techniques de calcul des DL
(DL de fonctions usuelles à retenir absolument) Les formules ci-dessous concernent des développements limités de fonction usuelles en 0. Ces formules sont
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Les développements limités ci-dessous sont valables quand x tend vers 0 et uniquement dans ce cas Formule de Taylor-Young en 0 f(x) =
[PDF] developpements limités usuels
DEVELOPPEMENTS LIMITÉS USUELS Le développement limité de MAC LAURIN au voisinage de x = 0 à l'ordre "n" pour une fonction "f" indéfiniment dérivable
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Développements limités usuels en 0 Développements en série entière usuels III Puissances et inverses de fonctions usuelles Fonction Primitive
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Cas des fonctions usuelles 2 Développements limités DL en un point DL en l'infini Cas particulier des DL0 et DL1 Quelques propriétés Opérations
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28 mar 2017 · Nous verrons que toutes les fonctions usuelles admettent un développement limité pour lequel Pn est le polynôme de Taylor
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On dit f admet un développement limité à l'ordre n au voisinage de l'infini (noté DLn(+?) ou DLn(??)) si f peut s'écrire sous la forme : f(x) = a0 + a1 x +
Développement limité à linfini - Gilles Dubois
Soit f une fonction définie 'au voisinage de l'infini' c'est à dire dans un intervalle du type ]a+?[ ou bien du type ]-?a[ ou leur réunion
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Tous les DL usuels suivants sont au voisinage de x = 0 Les développements limités se regroupent presque tous en deux familles A) Famille exponentielle
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Développements limités Définition Soient n ? N et f : I ?? R une fonction continue en x0 ? I f possède un développement limité à l'ordre n en x0 s'il
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polynômes de Taylor des fonctions usuelles de calculer le polynôme de Taylor pour une large classe de fonctions 17 1 Développements limités
Quel est le développement limité ?
En mathématiques, les développements limités permettent de trouver plus simplement des limites de fonctions, de calculer des dérivées, de prouver qu'une fonction est intégrable ou non, ou encore d'étudier des positions de courbes par rapport à des tangentes. Ils permettent également l'obtention d'équivalents.Comment choisir l'ordre d'un développement limité ?
Un développement limité peut être effectué à plusieurs ordres, il permet de donner une approximation d'une fonction par un polynôme au voisinage d'un point. On a par exemple sin(x)=x+o(x) comme DL de sin en 0. Mais on peut aller à un ordre plus élevé et le DL, à l'ordre 3 par exemple : sin(x)=x?x33- On dit que f admet un développement limité à l'ordre n en x0 s'il existe des réels a0,…,an a 0 , … , a n et une fonction ? définie sur I et qui tend vers 0 quand x tend vers x0 tels que f(x)=a0+a1(x?x0)+?+an(x?x0)n+(x?x0)n?(x).
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Développements limités
Aimé Lachal
Cours de mathématiques
1 ercycle, 1reannéeSommaire1Formule de Taylor-Young
Rappels
Énoncé
Comparaison Taylor-Lagrange/Taylor-Young
Cas des fonctions usuelles
2Développements limités
DL en un point
DL en l"infini
Cas particulier des DL
0et DL1Quelques propriétés
Opérations1. Formule de Taylor-Younga) Rappels
Rappels
Soitx02R,n2Netfune fonction définie sur un voisinage dex0.1Le fait d"êtredérivable enx0x0x0pourfentraîne lacontinuitédefenx0.2Le fait d"êtrennnfois dérivable enx0x0x0pourfentraîne l"existence def(n1)sur un
voisinage dex0x0x0et a fortiori lacontinuitédefsur un voisinage dex0x0x0.Plus précisément, on a même
festnnnfois dérivable enx0x0x0=)fest declasseC(n2)C(n2)C(n2)sur un voisinage dex0x0x0et declasseC(n1)C(n1)C(n1)enx0x0x0.3L"écrituref(x) =x!x0g(x) +oh(x)signifie qu"il existe une fonction"telle que,
au voisinage dex0, on aitf(x) =g(x) +"(x)h(x)aveclimx0"=0. En particulier, l"écrituref(x) =x!x0g(x) +o(xx0)nsignifie qu"il existe une fonction"telle que, au voisinage dex0, on aitf(x) =g(x) +"(x)(xx0)n aveclimx0"=0.11. Formule de Taylor-Youngb) ÉnoncéThéorème 1.1 (Formule de Taylor-Young à l"ordrennn)Soitx02Retfune fonction définie sur un voisinage dex0.
Sifestnnnfois dérivable enx0x0x0, alors
f(x) =x!x0f(x0)+f0(x0)(xx0)+f00(x0)2 (xx0)2++f(n)(x0)n!(xx0)n+o(xx0)n x!x0n X k=0f (k)(x0)k!(xx0)k+o(xx0)n:Autre formulation :en posanth=xx0,
f(x0+h) =h!0f(x0) +f0(x0)h+f00(x0)2 h2++f(n)(x0)n!hn+ohn h!0n X k=0f (k)(x0)k!hk+ohn:Exemple 1.2 (Formule de Taylor-Young aux ordres 1 et 2)1Ordre1:sifestdérivable enx0x0x0, alors
f(x) =x!x0f(x0) +f0(x0)(xx0) +o(xx0):2Ordre2:sifestdeux fois dérivable enx0x0x0, alors f(x) =x!x0f(x0) +f0(x0)(xx0) +f00(x0)2 (xx0)2+o(xx0)2:21. Formule de Taylor-Youngc) Taylor-LagrangeversusTaylor-Young Remarque 1.3 (Comparaison Taylor-Lagrange/Taylor-Young) Comparons les deux énoncés des formules de Taylor-Lagrange et Taylor-Young : Taylor-Lagrange :sifest declasseCnCnCnsur[x0;x][x0;x][x0;x]et(n+1)(n+1)(n+1)fois dérivable sur]x0;x[]x0;x[]x0;x[(ou plus simplement sifest(n+1)(n+1)(n+1)fois dérivable sur[x0;x][x0;x][x0;x]), alors
9t2]0;1[;f(x) =nX
k=0f Taylor-Young :sifestnnnfois dérivable enx0x0x0, alors il existe une fonction"telle que, au voisinage dex0, f(x) =nX k=0f (k)(x0)k!(xx0)k+"(x)(xx0)naveclimx0"=0: Les hypothèses portant surfsontplus fortesavec la formule de Taylor-Lagrange (f(n+1)(n+1)(n+1)fois dérivable sur un intervalle fermé) qu"avec celle de Taylor-Young (f nnnfois dérivable en un point). Mais la nature du résultat n"est pas la même : la formule de Taylor-Lagrange a un caractèreglobal(les réelsxetx0peuventêtre "très» éloignés);
la formule de Taylor-Young donne un résultatlocal(elle n"a de sens qu"au voisinage d"un point).31. Formule de Taylor-Youngd) Cas des fonctions usuelles Voici une liste d"exemplesqu"il faut connaître.Exemple 1.4 (Fonctions usuelles au voisinage de0) ex=x!01+x+x22!+x33!+x44!++xnn!+o(xn) ch(x) =x!01+x22!+x44!++x2n(2n)!+ox2n+1 sh(x) =x!0x+x33!+x55!++x2n+1(2n+1)!+ox2n+2 cos(x) =x!01x22!+x44! + (1)nx2n(2n)!+ox2n+1 sin(x) =x!0xx33!+x55! + (1)nx2n+1(2n+1)!+ox2n+2Pour tout2R,
(1+x)=x!01+x+(1)2 x2++(1)(n+1)n!xn+o(xn)11+x=x!01x+x2 + (1)nxn+o(xn)
11x=x!01+x+x2++xn+o(xn)
ln(1+x) =x!0xx22 +x33 + (1)n1xnn +o(xn) ln(1x) =x!0xx22x33 xnn+o(xn)42. Développements limitésa) DL en un pointDéfinition 2.1 (Développement limité enx0x0x0)Soitfune fonction définie au voisinage dex0(pas nécessairement enx0).
On dit quefadmet undéveloppement limité d"ordrennnenx0x0x0(notéDLn(x0)) lorsqu"il existe des coefficientsa0;:::;antels que f(x) =x!x0a0+a1(xx0) +a2(xx0)2++an(xx0)n+o(xx0)n: Le polynômea0+a1X+a2X2++anXnest appelépartie régulièreduDLn(x0).Autre formulation : en posanth=xx0,
f(x0+h) =h!0a0+a1h+a2h2++anhn+ohn:On peut également définir desdéveloppements limités à droite et à gaucheenx0.Remarque 2.2 (Formule Taylor-Young et DL)
La formule de Taylor-Young fournit pour toute fonctionf nnnfois dérivable enx0x0x0un DL n(x0)de coefficientsak=f(k)(x0)k!, 06k6n. Mais en pratique, pour établir des développements limités enx0, on utilisera rarement cette formule qui nécessite le calcul des dérivées successives de la fonction. On s"appuiera sur les développements limités obtenus en 0 par cette formule pour les fonctions usuelles et on utilisera lechangement de variableh=xx0ainsi que lespropriétés des DL qui seront énoncées ultérieurement.52. Développements limitésb) DL en l"infini
Remarque 2.3 (Développement limité en l"infini) Étant donnée une fonctionfdéfinie au voisinage de1, le changement de variable X=1=xpermet d"obtenirun développement limité defffen l"infinià partir d"un DL n(0)def(1=x), c"est-à-dire une écriture valable au voisinage de l"infini de la forme f(x) =x!1a0+a1x +a2x2++anx
n+o1x n :Exemple 2.4 (Développement asymptotique et asymptote) Si une fonctiongdéfinie au voisinage de l"infini est telle queg(x)=xadmette un DL2(1)de la formea0+a1x
+a2x 2+o1x 2 , on peut écrire g(x) =x!1a0x+a1+a2x +o1x Cette écriture est appeléedéveloppement limité généraliséoudéveloppement asymptotiqueet met en évidence uneasymptotepourgd"équationy=a0x+a1. De plus le signe du coefficienta2indique laposition localeau voisinage de1de la courbe représentative degpar rapport à cette asymptote. Par exemple, au voisinage de+1, sia2>>>0 (resp.a2<<<0), alors la courbe estau-dessus(resp.au-dessous) de son asymptote.62. Développements limitésc) Cas particulier des DL
0et DL1Proposition 2.5 (DL
0et DL1)Soitfune fonction définie au voisinage dex0.1fadmet unDL0(x0)ssifadmet unelimite finie enx0x0x0. Plus précisément :
f(x) =x!x0a0+o(1)()limx!x0x6=x0f(x) =a0:fest alorsprolongeable par continuité enx0x0x0. On poseraf(x0) =a0.2fadmet unDL1(x0)ssifestdérivable enx0x0x0(après prolongement par
continuité enx0). Plus précisément :f(x) =x!x0a0+a1(xx0) +o(xx0)()limx!x0f(x) =a0etf0(x0) =a1:Remarque 2.6 (DL et dérivabilité d"ordre supérieur)
Sin>2, pour une fonctionfdéfinie sur un voisinageIdex0, le fait d"êtrenfois dérivable enx0est unecondition suffisantepour admettre un DLn(x0)(donné par la formule de Taylor-Young) maisnon nécessaire. Autrement dit, l"existence d"un DL n(x0)avecn>2ne garantit pasl"existence de la dérivéenedefenx0.Exemple :la fonctionx7!x3sin1x
admet un DL2(0)maisn"estpas2 fois
dérivable en 0.72. Développements limitésd) Quelques propriétés
Proposition 2.7 (Diverses propriétés)
1Sifadmet unDLn(x0)alorsfadmet unDLp(x0)pour toutp6nobtenu par
"troncature» au degrépduDLn(x0).2Si une fonction admet unDLn(x0)alors celui-ci estunique(i.e. les coefficients
a ksont uniques).Conséquences :
Sifadmet unDLn(x0)et estnnnfois dérivable enx0x0x0, alors la formule deTaylor-Young fournitleDLn(x0)def:
8k2 f0;:::;ng;ak=f(k)(x0)k!:
Sifestpaireet admet unDLn(0)alors sa partie régulière estpaire(i.e. uniquement avec des exposants pairs). Sifestimpaireet admet unDLn(0)alors sa partie régulière estimpaire (i.e. uniquement avec des exposants impairs).Exemple 2.81Les fonctionscoset ch sontpaireset admettent des DL de partie régulièrepaire.2Les fonctionssinet sh sontimpaireset admettent des DL de partie régulièreimpaire.82. Développements limitése) Opérations
Proposition 2.9 (Addition, multiplication, division) Soitfetgdeux fonctions admettant desDLn(x0)de la forme f(x) =x!x0P(xx0) +o(xx0)netg(x) =x!x0Q(xx0) +o(xx0)n oùPetQsont des polynômes de degré au plusn. Alors :1f+gadmet pourDLn(x0): (f+g)(x) =x!x0(P+Q)(xx0) +o(xx0)n;2fgadmet pourDLn(x0): (fg)(x) =x!x0(PQ)(n)(xx0) +o(xx0)n où(PQ)(n)est le polynôme déduit dePQen ne conservant que les termes de degré au plusn;3si de plusg(x0)6=0,fg admet pourDLn(x0): fg (x) =x!x0R(xx0) +o(xx0)n oùRest le quotient de la division suivant les puissancescroissantesdePparQ à l"ordren.92. Développements limitése) OpérationsExemple 2.10 (Autour des fonctions cos et ch)
CalculonslesDL
On part des DL
7(0)decosxet chx:
cosx=x!0112 x2+124 x41720 x6+o(x7)et chx=x!01+12 x2+124 x4+1720 x6+o(x7):Somme :cosx+chx=x!02+112
x4+o(x7):Produit :(cosx)(chx) =x!0116
x4+o(x7): Remarque :si on développe complètement le produit des parties régulières, on trouve 112x2+124 x41720 x6 1+12 x2+124 x4+1720 x6 =116 x4+12880 x81518400 x12:
Les termes
12880x8et1518400 x12sont inutiles puisque l"on doit tronquer ce produit à l"ordre 7. De plus, ces termesne sont pas significatifs.Si l"on pousse les DL decoset ch à l"ordre 12, on trouve en effet(cosx)(chx) =x!0116 x4+12520 x8+17484400 x12+o(x12):
Autre produit :(cosx1)(chx1) =x!014
x4+o(x7): Remarque :ici, il est suffisant de prendre des DL decoset ch d"ordre 5 :cosx1=x!012x2+124x4+o(x5)et chx1=x!012x2+124x4+o(x5):102. Développements limitése) Opérations
Exemple 2.11 (Tangente/cotangente)
Calculons le DL
3(0)de la fonctiontan. On part des DL3(0)decosxetsinx:
cosx=x!0112 x2+o(x3)etsinx=x!0x16 x3+o(x3):Division desinxsinxsinxparcosxcosxcosx.
Puisquecos(0)6=0,tanadmet un DL3(0)obtenu par division suivant les puissancescroissantesdex16 x3par1 12 x2à l"ordre 3 : x16 x3112 x2(x12 x3)x+13 x3 13 x3 13 x30soittanx=x!0x+13 x3+o(x3):Division decosxcosxcosxparsinxsinxsinx.
En revanche,sin(0) =0. Pour obtenir un développement decot, on ne peut pas utiliser directement la règle, mais on peut toutefois effectuerformellementune division suivant les puissancescroissantesde1 12 x2+o(x3)parx16 x3+o(x3): 112x2+o(x3)x16 x3+o(x3)(116 x2+o(x2))1 x 13 x+o(x) 13 x2+o(x2) 13 x2+o(x2)o(x2)soitcotx=x!01x 13 x+o(x):
Il s"agit d"un DL généralisé...
112. Développements limitése) Opérations
Exemple 2.12 (Asymptote oblique)
Étude en1de la fonctionfdéfinie parf(x) =x26x+142x4.Équivalent asymptotique :on af(x)x!1x2
donclimx!1f(x) =1. La courbe représentativeCfadmet une branche infinie en1que l"on va étudier.Changement de variable :h=1x
que l"on reporte dansf(x): f(x)=16h+14h22h4h2=1h '(h) (h)avec'(h)=16h+14h2et (h)=24h:Division de'(h)'(h)'(h)par (h) (h) (h).
Puisque (0)6=0,'(h) (h)admet un DL2(0)obtenu par division suivant les puissancescroissantesde 16h+14h2par 24hà l"ordre 2 :16h+14h224h(12h)1
22h+3h2
4h+14h2(4h+8h2)6h2ce qui fournit
'(h) (h)=h!0122h+3h2+o(h2)
puisf(x) =h!012h2+3h+o(h) soitf(x) =x!1x2 2+3x +o1xIl s"agit d"un DL généralisé...
122. Développements limitése) Opérations
Exemple 2.13 (Asymptote oblique)
Étude en1de la fonctionfdéfinie parf(x) =x26x+142x4.Interprétation géométrique :
Le DLGf(x) =x!1x2
2+3x +o1x fournit l"équivalentf(x)x2 2 x!13xAinsilimx!1h
f(x)x2 2i =0etlimx!+1h f(x)x2 2i =0+. Donc la courbeCfadmet uneasymptoteDd"équationy=x22 en1.
De plusCfse situeau-dessousdeDau voisinage de1etau-dessusdeDau voisinage de+1.xy y=x22y=f(x)12345678910111213141234567
-1-2-3-4-5-6-7-8-9 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -70132. Développements limitése) Opérations
Proposition 2.14 (Composition)
Soitfune fonction définiesur un voisinage dex0x0x0admettant unDLn(x0)de la forme f(x) =x!x0P(xx0) +o(xx0)n etgune fonction définiesur un voisinage dey0=f(x0)y0=f(x0)y0=f(x0)admettant unDLn(y0)de la formeg(y) =y!y0Q(yy0) +o(yy0)n oùPetQsont des polynômes de degré au plusn. Alorsgfadmet pourDLn(x0): (gf)(x) =x!x0(QP1)(n)(xx0) +o(xx0)n oùP1=Py0est le polynômePprivé de son terme constant et(QP1)(n)est le polynôme déduit deQP1en ne conservant que les termes de degré au plusn. Formulation simplifiée :sifetgsont des fonctions définiessur un voisinage de 0 telles quef(0) =0f(0) =0f(0) =0admettant desDLn(0)de la forme f(x) =x!0P(x) +oxnetg(y) =y!0Q(y) +oyn alorsgfadmet pourDLn(0): (gf)(x) =x!0(QP)(n)(x) +oxn:142. Développements limitése) Opérations Exemple 2.15 (Composée d"exponentielle et de racine carrée)Déterminons le DL
3(0)de la fonction':x7!pe
4x+1. On part des DL3(0):
e u=u!01+u+12 u2+16 u3+ou3etp1+v=v!01+12 v18 v2+116 v3+ov3:On a e
4x+1=x!02+4x+8x2+323
x3+ox3=x!021+2x+4x2+163 x3+ox3 que l"on reporte dans'(x)(prendre garde au facteur 2 du DL ci-dessus) : '(x)=p2=x!0q1+2x+4x2+163 x3+ox3 x!01+122x+4x2+163
x3+ox3182x+4x2+163
x3+ox32 1162x+4x2+163
x3+ox33+o2x+4x2+163 x3+ox33 x!01+x+2x2+83 x3+ox318 (2x)1+2x+83 x2+ox22 116(2x)1+2x+83 x2+ox23+ox3 x!01+x+2x2+83 x3+ox312 x2[1+4x+o(x)]+ 12 x3[1+o1]+ ox3 x!01+x+32 x2+76 x3+ox3: Remarque:en pratique, on pourra omettre dans les calculs tous les "o» excepté le dernierox3.
La fonction'admet ainsi le DL3(0):
'(x) =x!0p2+p2x+3p22x2+7p2
6x3+ox3:152. Développements limitése) Opérations
Exemple 2.16 (Composée d"exponentielle et de racine carrée) Déterminons un développement de la fonction :x7!pe4x1.On part des DLen 0:
e u=u!01+u+12 u2+16 u3+124 u4+ou4etp1+v=v!01+12 v18 v2+116 v3+ov3:On a e
4x1=x!04x+8x2+323
x3+323 x4+ox4=x!04x1+2x+83 x2+83 x3+ox3 que l"on reporte dans (x)(prendre garde au facteur 4xdu DL ci-dessus) : (x)=(2px) = x!0+q1+2x+83 x2+83 x3+ox3 x!0+1+12 2x+83 x2+83 x3+ox318 2x+83 x2+83 x3+ox32 1162x+83 x2+83 x3+ox33+o2x+83 x2+83 x3+ox33 x!0+1+x+43 x2+43 x3+ox318 (2x)1+43 x+43 x2+ox22 116
(2x)1+43 x+43 x2+ox23+ox3 x!0+1+x+43 x2+43 x3+ox312 x2[1+83 x+o(x)]+12 x3[1+o1]+ox3 x!0+1+x+56 x2+12 x3+ox3: La fonction admet ainsi le DLgénéralisé(oudéveloppement asymptotique) : (x) = x!0+2px+2x3=2+53 x5=2+x7=2+ox7=2:16
2. Développements limitése) Opérations
Exemple 2.17 (Composée d"exponentielle et de cosinus/sinus)Considérons les trois fonctions
1:x7!ecos(2x)+e1+sin(x);' 2:x7!ecos(x)+e1+12
sin(2x);' 3:x7!ecos(x)+e1+sin(x):Déterminons leur DL4(0). Partant des DL4(0)usuels
cosu=u!0112 u2+124 u4+ou4;sinu=u!0u16 u3+ou4; e v=u!01+v+12 v2+16 v3+124 v4+ov4; on trouve (prendre garde au terme constant 1 dans les DL ci-dessus et dans'1;'2;'3): equotesdbs_dbs33.pdfusesText_39[PDF] dissertation philosophie developpement
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