[PDF] ALG`EBRE LIN´EAIRE Module 2 PAD - Exercices

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ALG `EBRE LIN´EAIRE

Module 2

PAD - Exercices

S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satg´e

January 4, 2009

Table des Mati`eres

1 Espaces euclidiens 1

1-1 Exercices corrig´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1-1.1 Exercice 1a - Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1-1.2 Exercice 2a. Orthogonalisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1-1.3 Exercice 3a - Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1-2 Exercices avec indications seulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1-2.1 Exercice 1b - Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1-2.2 Exercice 2b - Orthogonalit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1-2.3 Exercice 3b - Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1-3 Devoir `a rendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1-3.1 Exercice 1c - Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1-3.2 Exercice 2c - Orthogonalit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1-3.3 Exercice 3c - Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2 Formes bilin´eaires et quadratiques 13

2-1 Exercices corrig´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2-1.1 Exercice 4a - Formes bilin´eaires et quadratiques . . . . . . . . . .

15

2-1.2 Exercice 5a - R´eduction en somme de carr´es . . . . . . . . . . . .

19

2-1.3 Exercice 6a - Forme quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2-2 Exercices avec indications seulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2-2.1 Exercice 4b - Forme quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2-2.2 Exercice 5b - Forme quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2-2.3 Exercice 6b - Diagonalisation des endomorphismes sym´etriques .

24

2-3 Devoir `a rendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2-3.1 Exercice 4c - Forme bilin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2-3.2 Exercice 5c - Forme quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2-3.3 Exercice 6c - Diagonalisation des endomorphismes

sym´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3 Projecteurs, sym´etries - Optimisation 27

3-1 Exercices corrig´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

3-1.1 Exercice 7a - Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . .

29

3-1.2 Exercice 8a - R´egression lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

3-1.3 Exercice 9a - Polynˆomes de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . .

32
i iiTABLE DES MATI`ERES

3-2 Exercices avec indications seulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

3-2.1 Exercice 7b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

3-2.2 Exercice 8b - Moindres carr´es pond´er´es . . . . . . . . . . . . . . .

38

3-2.3 Exercice 9b - D´ecomposition spectrale . . . . . . . . . . . . . . .

40

3-3 Devoir `a rendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

3-3.1 Exercice 7c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

3-3.2 Exercice 8c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

3-3.3 Exercice 9c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

Chapitre 3

Projecteurs, sym´etries -

Optimisation

27

28CHAPITRE 3. PROJECTEURS, SYM´ETRIES - OPTIMISATION

3-1. EXERCICES CORRIG´ES29

3-1

Exercices corrig´es

3-1.1

Exercice 7a - Projection orthogonale

SoitE=R2[X] l"ensemble des polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 2. Soit?le produit

scalaire d´efini surE2par : ?(P;Q) =P(0)Q(0) +P(1)Q(1) +P(2)Q(2) Soit f la projection orthogonale sur le sous espaceE=R1[X] 1. D´eterminer un polynˆomeP1orthogonal `a la famille :{1;X}. 2.

EcrireAla matrice defdans la base{1;X;P1}.

3. En d´eduireBla matrice defdans la base canonique deE. 4. D´eterminer alors le projet´e orthogonal du polynˆome 2X2+ 3X+ 4. 5. V´erifier de deux fa¸cons queX2-1 est un polynˆome annulateur def.

Corrig´e :

1. D´eterminer un polynˆomeP1=aX2+bX+corthogonal `a la famille{1;X}:

Il faut donc que?(P1;1) = 0 et que?(P1;X) = 0

Soit 5a+3b+3c= 0 et 9a+5b+3c= 0. Ce qui correspond `aP1=a(X2-2X+1 3 et on peut choisira= 1. 2.

La matrice defdans la base{1;X;P1}est

A=0 @1 0 0 0 1 0

0 0 01

A puisque les composantes dans l"espace sur lequel on projette sont conserv´ees (valeur propre 1) et celles dans l"espace selon lequel on projette (son orthogonal,Vect{P1}) sont annul´ees (valeur propre 0). 3. La matriceBdefdans la base canonique deEest donn´ee par la relation de similitude suivante:

B=PAP-1=0

@1 01 3 0 1-2

0 0 11

A0 @1 0 0 0 1 0

0 0 01

A0 @1 0-1 3 0 1 2

0 0 11

A =0 @1 0-1 3 0 1 2

0 0 01

A issue du changement de base pour passer de la base canonique `a la base{1;X;P1} dans laquelle l"op´erateurfestnaturellementdiagonalis´e.

30CHAPITRE 3. PROJECTEURS, SYM´ETRIES - OPTIMISATION

4. Le projet´e orthogonal du polynˆome 2X2+3X+4 s"obtient facilement par le produit matriciel: 0 @1 0-1 3 0 1 2

0 0 01

A0 @4 3 21
A =0 @10 3 7 01 A qui donne ses composantes dans la base canonique. C"est donc le polynˆome 10 3 +7X. 5. V´erifier de deux fa¸cons queX2-Xest un polynˆome annulateur def.

Il suffit de v´erifier queA2=Aou queB2=B.

3-1.2

Exercice 8a - R´egression lin´eaire

un ajustement lin´eaire de cesNpoints par une droite du typey=ax+b. La m´ethode consiste donc a minimiser la somme des erreurs du mod`ele, soit la quantit´e

E(a,b) =NX

i=1e 2i=NX i=1(yi-axi-b)2. Il s"agit l`a d"une technique tr`es utilis´ee en statistique, lorsque l"on pressent (par exemple `a partir d"une repr´esentation graphique des donn´ees) une d´ependance affine entre les observations. 1. Mettre le probl`eme pr´ec´edent sous forme d"un probl`eme de moindre carr´es lin´eaires. 2. Caract´eriser la solution `a l"aide du th´eor`eme de projection orthogonale sur une vari´et´e lin´eaire `a pr´eciser, et donner l"expression de la solution. On mesure la longueurld"un barreau m´etallique chauff´e `a la temp´eratureθsous la pressionP. Les mesures conduisent `a postuler que l"allongement est r´egi par une loi de la forme l= (aθ+bθ3)e-cP o`ua,betcsont trois param`etres du mod`ele `a estimer. On effectuemmesures (θk,Pk,lk)k=1,m de longueur dans diff´erentes conditions de temp´erature et de pression. 3. On suppose connue la valeur du param`etrec. Proposer une m´ethode d"estimation par moindres carr´es lin´eaires deaetb. 4. Caract´eriser la solution `a l"aide du th´eor`eme de projection orthogonale sur une vari´et´e lin´eaire `a pr´eciser.

3-1. EXERCICES CORRIG´ES31

Corrig´e :

1. Le probl`eme de la r´egression lin´eaire est tr`es facile `a mod´eliser sous forme d"un probl`eme de moindres carr´es lin´eaire. Consid´erons par exemble que les inconnues (les coefficientsaetbde la droitey=a×x+bque l"on cherche) constituent le vecteurα?R2, que le vecteury?RNest constitu´e des composantesyi, i= 1,...,N, et que la matriceX? MN,2(R) est constitu´ee du vecteur colonne desxi,i= 1,...,N, et du vecteur colonne de tailleNavec que des 1 comme composantes : X=0 B BB@x 11 x

21......

x N11 C CCA. Avec ces notations, notre probl`eme de moindres carr´es revient en fait `a trouver α?R2tel que?y-Xα?2soit minimale (la norme ´etant la norme euclidienne classique). 2. Du point de vue g´eom´etrique, cela revient `a touver le vecteurz=Xαappartenant donc `aIm(X), sous espace vectoriel de dimension 2 dansRN, qui soit le plus proche (au sens de la distance euclidienne) du vecteurydeRN. Le th´eor`eme de projection orthogonale assure l"existence et l"unicit´e du vecteur z?Im(X). La caract´erisation g´eom´etrique de la projection orthogonale c"est que (y-z)?Im(X), ce qui revient `a ´ecrire que ?β?R2,?Xβ,y-z?= 0, ou de mani`ere ´equivalente que ?β?R2, βTXT(y-z) = 0 puisque pour deux vecteursaetb, le produit scalaire canonique?a,b?est ´egal au produitaTb(juste en remarque: c"est aussi ´egal au produitbTa- sym´etrie du produit scalaire). Pour finir, l"´egalit´e ci dessus ´etant valable quel que soitβ?R2, on peut en conclure que le vecteurXT(y-z) est nul dansR2, et donc que X

Ty=XTXα(=XTz).

On retrouve donc la caract´erisation alg´ebrique de toute solution du probl`eme aux moindres carr´es lin´eaire consid´er´e, et on peut conclure que si la matriceXest de rang maximal (´egal `a 2), alors la matrice 2×2 (XTX) est sym´etrique d´efinie positive, donc inversible, et la solution est donn´ee par

α= (XTX)-1XTy.

Pour m´emoire (justification de l"assertion pr´ec´edente): la sym´etrie deA= (XTX) est triviale, sa positivit´e r´esulte du fait queβT(XTX)β=?Xβ?2≥0, ceci quelque

32CHAPITRE 3. PROJECTEURS, SYM´ETRIES - OPTIMISATION

soit le vecteurβ?R2, et pour finirβT(XTX)β= 0? ?Xβ?2= 0?Xβ=?0, ce qui ´equivaut `aβ=?0 sous r´eserve queXsoit de rang 2, c"est `a dire que ses deux colonnes soient lin´eairement ind´ependantes. Cette derni`ere hypoth`ese m´erite une petite remarque: en effet, si jamais les deux colones deX´etaient lin´eairement d´ependantes, alors on aurait tous lesxi´egaux et verticale. Il est clair que dans ce cas il n"est pas possible de trouver une droite d"´equation (y=a×x+b) qui passe par ce nuage de points (pour avoir une droite verticale, il faudrait que la penteasoit infinie). L"hyphoth`ese queXsoit de rang maximal est donc une hypoth`esenaturellepour ce probl`eme, si on veut qu"il soit bien pos´e (cela rel`eve de la mod´elisation, en amont de la r´esolution alg´ebrique). 3. Dans cette deuxi`eme partie de l"exercice, il est clair que si le coefficientcnous est donn´e, alors on peut ramener le mod`ele `a une expression lin´eaire dans les deux seules inconnuesaetb. On pose A=0 B

BB@θ

1θ31θ

2θ32......

mθ3m1 C

CCAety=0

B BB@l 1ecP1 l 2ecP2 l mecPm1 C CCA, et on peut alors ´ecrire que le probl`eme revient `a trouverα=µa ?R2tel que

Aα=y.

4. Pour finir, on r´esoud ce probl`eme lin´eaire au sens des moindres carr´es, c"est `a dire que on chercheα?R2tel que?y-Aα?2soit minimale, la solution ´etant donn´ee par

α= (ATA)-1ATy,

sous r´eserve queAsoit de rang 2 (c"est `a dire que les temp´eratures observ´eesθine soient pas toutes ´egales). Une derni`ere remarque, du point de vue num´erique celle l`a: il sera pr´ef´erable dans les mesures de ne pas avoir des valeurs de la temp´erature qui soient trop ´etal´ees, car sinon on aura de grandes disparit´es d"´echelle dans les valeurs num´eriques de la matriceA(`a cause du terme enθ3), ce qui rendra difficile la r´esolution du probl`eme ci-dessus en arithm´etique finie (sur ordinateur). 3-1.3

Exercice 9a - Polynˆomes de Legendre

On consid`ere l"espace vectorielH=L2(-1,1) des fonctions ditesd"´energie finiesur [-1,1], muni du produit scalaire : ?f,g?=Z 1 -1f(x)g(x)dx ,

3-1. EXERCICES CORRIG´ES33

et on consid`ere les polynˆomes P n(x) =1 2 nn!d n dx n¡[x2-1]n¢, n?N. 1. V´erifier que la famille{Pn, n?N}est une famille orthogonale dansH, et en d´eduire une famille orthonorm´ee{Qn, n?N}de H. 2. meilleure approximation defau sens de la norme de H ? 3. En utilisant le d´eveloppement du binˆome, donner l"expression deP5et en d´eduire les valeurs dea,b,c,d,equi minimisent l"int´egrale : Z 1 -1(x5-ax4-bx3-cx2-dx-e)2dx . On rappelle, pour les besoins de cet exercice, la formule de Wallis : Z

π/2

0 cos2n+1θdθ=(2nn!)2 (2n+ 1)!.

Corrig´e :

1.

Consid´erons (sans perte de g´en´eralit´e) quen≥met ´etudions le produit scalaire

dePnavecPm: ?P n,Pm?=1 2 n+mn!m!Z 1 -1d n dx n¡[x2-1]n¢dm dx m¡[x2-1]m¢dx 1 2 n+mn!m!· dn-1 dx n-1¡[x2-1]n¢dm dx m¡[x2-1]m¢¸1 -1 -1 2 n+mn!m!Z 1 -1d n-1 dx n-1¡[x2-1]n¢dm+1 dx m+1¡[x2-1]m¢dx . Comme dans le polynˆome (x2-1)n,-1 et 1 sont toutes deux racines de multiplicit´e

n,-1 et 1 restent racines de multiplicit´e sup´erieure ou ´egale `a 1 dans toute d´eriv´e

d"ordre strictement inf´erieure `ande ce polynˆome. Par cons´equent, la partie prin- cipale ci-dessus, produit de 2 polynˆomes dont le premier a-1 et 1 comme racines, est nulle. On se retrouve alors avec ?P n,Pm?=-1 2 n+mn!m!Z 1 -1d n-1 dx n-1¡[x2-1]n¢dm+1 dx m+1¡[x2-1]m¢dx . On it`ere les int´egrations par partiesn-fois avec, toujours pour les mˆemes raisons, la partie principale qui est nulle, et on obtient: ?P n,Pm?= (-1)n1 2 n+mn!m!Z 1 -1¡[x2-1]n¢dm+n dx m+n¡[x2-1]m¢dx .

Deux cas se pr´esentent alors:

34CHAPITRE 3. PROJECTEURS, SYM´ETRIES - OPTIMISATION

soitn > met, dans ces conditions, le deuxi`eme polynˆome dans l"int´egrale ci- dessus est nul car on d´erive plus de 2mfois le polynˆome ([x2-1]m) de degr´e

2m, et on en conclut donc que?Pn,Pm?= 0, ce qui ´etablit l"orthogonalit´e

dePnavecPmau sens du produit scalaire consid´er´e. soitn=met on a alors ?P n,Pn?= (-1)n1 (2 nn!)2Z 1 -1¡[x2-1]n¢d2n dx

2n¡[x2-1]n¢dx

= (-1)n(2n)! (2 nn!)2Z 1 -1¡[x2-1]n¢dx . Pour finir, un argument de parit´e et un changement de variable en (x= sinθ) nous donne (d"apr`es la formule de Wallis): ?Pquotesdbs_dbs16.pdfusesText_22

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