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Martine Queff´elec (analyse r´eelle, analyse complexe)Les sujets d"examens sont de :
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Gijs Tuynman (analyse r´eelle et complexe : AR et ARC)Table des mati`eres2Table des mati`eres
I Topologie4
1 Notions de topologie I4
1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Topologie g´en´erale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Adh´erence, int´erieur, fronti`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Espaces m´etriques, espaces vectoriels norm´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Notions de topologie II8
2.1 Topologie s´epar´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Topologie induite, topologie produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Fonctions continues surR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 Continuit´e dans les espaces topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.5 Topologie des espaces m´etriques, norm´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.6 Comparaison de topologies et de m´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.7 Suites, limites et valeurs d"adh´erence, points d"accumulation et points isol´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Notions de topologie III15
3.1 Hom´eomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Dualit´e, isom´etrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3 Prolongement de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.4 M´etrique de la convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.5 Th´eor`eme de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4 Connexit´e18
4.1 Connexit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2 Connexit´e par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5 Compacit´e21
5.1 Espaces topologiques compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.2 Compacit´e dans les espaces m´etriques, norm´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
II Analyse r´eelle 27
6 Applications lin´eaires born´ees27
6.1 Applications lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6.2 Formes lin´eaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
7 Espaces m´etriques complets, Banach29
7.1 Espaces m´etriques complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7.2 Espaces norm´es, Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
8 Th´eor`eme du point fixe32
9 Applications uniform´ement continues34
9.1 Applications uniform´ement continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
9.2´Equicontinuit´e, th´eor`eme d"Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
10 Applications diff´erentiables37
10.1 Applications diff´erentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
10.2 Th´eor`eme des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
11 Th´eor`eme d"inversion locale et des fonctions implicites 41
11.1 Th´eor`emes d"inversion; diff´eomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
11.2 Th´eor`eme des fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
11.3 Sous-vari´et´es deRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
12 Diff´erentielles d"ordre sup´erieur, formule de Taylor, extremums 46
12.1 Diff´erentielles d"ordre sup´erieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
12.2 Fonctions harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
12.3 Formule de Taylor, extremums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
13 Equations diff´erentielles48
13.1 Equations diff´erentielles : rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
13.2 Solutions maximales d"´equations diff´erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
13.3 Th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
13.4 Syst`emes `a coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
13.5 R´esolvantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
13.6 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
III Alg`ebre et g´eom´etrie 57
Table des mati`eres314 G´en´eralit´es sur les groupes5715 Groupes et actions59
16 Isom´etries euclidiennes60
17 G´eom´etrie diff´erentielle ´el´ementaire deRn62
18 G´eom´etrie et trigonom´etrie sph´erique62
19 Le groupe orthogonal et les quaternions63
20 G´eom´etrie projective I64
21 G´eom´etrie projective II : homographies deCP164
21.1 Applications conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
21.2 Propri´et´es des homographies deCP1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
22 G´eom´etrie et trigonom´etrie hyperbolique66
IV Analyse complexe 67
23 S´eries enti`eres67
24 Fonctions holomorphes69
25 Fonctions logarithmes et fonctions puissances71
26 Formule de Cauchy73
27 Cons´equences de la formule de Cauchy76
28 Singularit´es80
29 Int´egrales curvilignes82
30 Th´eor`eme des r´esidus84
31 Fonctions Zeta et autres...86
31.1 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
31.2 Transformations deC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
V Alg`ebre et th´eorie des nombres 89
32 Groupes89
33 Sous-groupes, morphismes91
34 Groupes finis93
35 Anneaux, corps95
36 Polynˆomes97
37 Extension de corps99
38 Extension d"anneau100
VI Sujets d"examens 101
39 Examen AR janvier 1994101
40 Examen AR juin 1994102
41 Examen AR septembre 1994103
42 Examen AR janvier 1995104
43 Examen AR juin 1995105
44 Examen AR septembre 1995106
45 Examen AR juin 1996107
46 Examen ARC d´ecembre 1998108
1 Notions de topologie I447 Examen ARC janvier 1999110
48 Examen ARC septembre 1999111
49 Examen ARC novembre 1999112
50 Examen ARC janvier 2000114
51 Examen ARC septembre 2000115
52 Examen ARC d´ecembre 2000116
53 Examen ARC janvier 2001117
54 Examen ARC septembre 2001118
55 Examen VC janvier 96119
56 Examen VC avril 96120
57 Examen VC juin 96121
58 Examen VC septembre 96123
59 Examen VC janvier 98125
VII Corrections 127
Premi`ere partie
Topologie
1 Notions de topologie I
1.1 Rappels
Exercice 11. Rappeler les d´efinitions d"une borne sup´erieure (inf´erieure) d"un ensemble de nombres r´eels.
SiAetBsont deux ensembles born´es deR, comparer avec supA, infA, supBet infBles nombres suivants : (i) sup(A+B), (ii) sup(A?B), (iii) sup(A∩B), (iv) inf(A?B), (v) inf(A∩B).2. Pourx?RnetA?Rnon d´efinitd(x,A) = infa?A||x-a||. Trouverd(0,R-Q),d(⎷2,Q),d(M,D) o`u
M= (x,y,z)?R3etDest la droite de vecteur unitaire (a,b,c).3. PourA,B?Rnon d´efinitd(A,B) = infa?A,b?B||a-b||. Trouverd(A,B) lorsqueAest une branche de
l"hyperbole{(x,y)?R2;xy= 1}etBune asymptote.4. On d´efinit diamA= supa,b?A||a-b||. Quel est diam([0,1]∩Q)? diam([0,1]∩R-Q)?
Exercice 2Montrer que tout ouvert deRest union d´enombrable d"intervalles ouverts deux `a deux disjoints.
(Indication :six?Oouvert, consid´ererJx=?des intervalles ouverts,?Oet?x). D´ecrire de mˆeme les
ouverts deRn.Exercice 3On va montrer que l"ensembleDdes r´eels de la formep+q⎷2 o`upetqd´ecriventZ, est dense
dansR.1. Remarquer queDest stable par addition et multiplication.
2. Posonsu=⎷2-1; montrer que pour tousa < b, on peut trouvern?1 tel que 0< un< b-a, puism
v´erifianta < mun< b.En d´eduire le r´esultat.
1.2 Topologie g´en´erale
Exercice 41. SoitX={0,1}muni de la famille d"ouverts{∅,{0},X}. Cette topologie est-elle s´epar´ee?
2. SoitXun ensemble non vide. D´ecrire la topologie dont les singletons forment une base d"ouverts.
1 Notions de topologie I53. D´ecrire la topologie surRdont la famille des intervalles ferm´es forme une base d"ouverts; mˆeme question
avec les intervalles ouverts sym´etriques.4. SoitXun ensemble infini. Montrer que la famille d"ensembles constitu´ee de l"ensemble vide et des parties
deXde compl´ementaire fini d´efinit une topologie surX. Exercice 5SoitXun espace topologique, etfune application quelconque deXdans un ensembleY. On ditqu"une partieAdeYest ouverte, sif-1(A) est un ouvert deX. V´erifier qu"on a d´efini ainsi une topologie sur
Y.Exercice 6Montrer qu"on peut construire surR? {∞}une topologie s´epar´ee en prenant comme ouverts, les
ouverts deRet les ensembles de la forme{x/|x|> a} ? {∞}o`uaest r´eel. Comment construire une topologie
s´epar´ee surR? {+∞} ? {-∞}?Exercice 7SoitXun ensemble non vide et Σ une famille de parties deXstable par intersection finie et
contenantX. Montrer que la plus petite topologieTcontenant Σ (la topologie engendr´ee par Σ) est constitu´ee
des unions d"ensembles de Σ, ou, de fa¸con ´equivalente,A? T ?? ?x?A?S?Σ ;x?S?A.
Montrer que l"on peut affaiblir l"hypoth`ese de stabilit´e par intersection finie en : (?)?S1,S2?Σ,?x?S1∩S2,?S3?Σ ;x?S3?S1∩S2.Exercice 8SoitCl"ensemble des fonctions continues r´eelles sur [0,1]. Pour toutef?Cetε >0 on d´efinit
M(f,ε) ={g/?
1 0 |f-g|< ε}.Montrer que la famille M des ensemblesM(f,ε) lorsquef?Cetε >0 est une base de topologie. Mˆeme
question avec la familleU(f,ε) ={g/sup
x|f(x)-g(x)|< ε}.Exercice 9UdansNest dit ouvert s"il est stable par divisibilit´e, c.a.d. tout diviseur den?Uest encore dans
U. Montrer qu"on a d´efini ainsi une topologie surNqui n"est pas la topologie discr`ete. Exercice 10On consid`ere dansN?, la famille de progressions arithm´etiques P a,b={a+bn/n?N?}, o`uaetbsont deux entiers premiers entre eux.1. Montrer que l"intersection de deux telles progressions est soit vide, soit une progression arithm´etique de
mˆeme nature, plus pr´ecis´ement, P a,b∩Pa?,b?=Pα,β o`uαest le minimum de l"ensemblePa,b∩Pa?,b?, etβ= ppcm (b,b?).2. En d´eduire que cette famille d"ensembles (en y adjoignant∅) forme une base de topologie surN?dont on
d´ecrira les ouverts.3. Montrer que cette topologie est s´epar´ee.
1.3 Adh´erence, int´erieur, fronti`ere
Exercice 111. Montrer que siBest un ouvert de l"espace topologiqueXetA∩B=∅, alorsA∩B=∅,
mais queA∩Bn"est pas n´ecessairement vide.2. Montrer `a l"aide d"exemples que l"´egalit´e?iAi=?iAin"a pas lieu en g´en´eral pour une infinit´e d"indices.
Exercice 12D´eterminer l"adh´erence et l"int´erieur des ensembles suivants : Q;R\Q;{(x,y)?R2/0< x <1,y= 0};{(x,y,z)?R3/ x= 0} {1n,n?1}; le cercle unit´e deR2. Exercice 13SiAest une partie de l"espace topologiqueX, on poseα(A) =◦Aetβ(A) =◦A.1. Montrer queαetβsont des applications croissantes pour l"inclusion deP(X) dansP(X).
2. Montrer que siAest ouvert,A?α(A) et siAest ferm´e,β(A)?A. En d´eduire queα2=αetβ2=β.
1 Notions de topologie I63. ConstruireA?Rtel que les cinq ensembles :
A,A,◦A,α(A),β(A) soient tous distincts. Exercice 14D´eterminer l"adh´erence dansR2du grapheG={(x,y)/y= sin1x,0< x?1}.
Exercice 15Dans un espace topologique, on d´efinit la fronti`ere d"une partieAcomme ´etant∂A=A\◦A.
1. Montrer que∂A=∂(Ac) et queA=∂A??Aferm´e d"int´erieur vide.
2. Montrer que∂(A) et∂(◦A) sont toutes deux incluses dans∂A, et donner un exemple o`u ces inclusions sont
strictes.3. Montrer que∂(A?B)?∂A?∂B, et que l"inclusion peut ˆetre stricte; montrer qu"il y a ´egalit´e lorsqueA∩B=∅(´etablir◦A?B?◦A?◦B).
Montrer que
◦A?B=◦A?◦Breste vrai lorsque∂A∩∂B=∅(raisonner par l"absurde). Exercice 161. SoitXun espace topologique, etDun sous-ensemble (partout) dense dansX. Montrer qu"il est aussi ´equivalent de dire (i) Le compl´ementaire deDest d"int´erieur vide. (ii) SiFest un ferm´e contenantD, alorsF=X. (iii)Drencontre tout ouvert non vide deX. Montrer qu"un ensembleA?Xrencontre toute partie dense dansXsi et seulement si il est d"int´erieur non vide.2. SoitEetGdeux ouverts denses dansX; montrer queE∩Gest encore dense dansX. En d´eduire que
toute intersection d´enombrable d"ouverts denses est une intersection d´ecroissante d"ouverts denses.
Exercice 17Etablir les propri´et´es suivantes de l"adh´erence d"un ensemble dans un espace topologique :
1.A=A2. SiA?BalorsA?B.
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