Cinématique et dynamique du point matériel (Cours et exercices
forces centrales. À la fin de ce polycopié nous proposons quelques exercices corrigés. Page 6. Calcul vectoriel.
Polycopié dexercices et examens résolus: Mécanique du point
9) Retrouver ( ) par calcul direct. Corrigé : I-Etude de la cinématique de M par décomposition de mouvement : 1. la vitesse relative
CAHIER COURS SIMPLIFIES 100 EXERCICES CORRIGES
MECANIQUE DU POINT MATERIEL Corrigés des exercices 1.7 à 1.12: Exercice1.7 : ... La cinématique est l'étude des mouvements sans se préoccuper des causes.
Exercices et Contrôles Corrigés de Mécanique du Point Matériel
Cinématique du point matériel. 2.1.2 Exercice : Pendule en mouvement. On consid`ere un point matériel M suspendu `a un fil inextensible de longueur l.
L1 L2
des cours résumés suivis d'exercices corrigés pas à pas. Optique géométrique exercices de la partie cinématique ont une motivation physique même si.
Phy 12a/12b Cinématique : corrections 2013-2014
CINÉMATIQUE : CORRECTIONS. Exercices prioritaires : Vrai ou faux ? ?. Exercice n° 1. Justifiez vos réponses. 1. L'accélération d'un point matériel dont la
Cours et Exercices de mécanique du point matériel
Les objectifs sont la détermination des grandeurs cinématiques tels que les vecteurs d'accélération vitesse
SERIE DEXERCICES N° 10 : MECANIQUE : CINEMATIQUE DU
CINEMATIQUE DU POINT (début). Les grandeurs en caractère gras sont des grandeurs vectorielles. Mouvement rectiligne. Exercice 1.
Stratégie de résolution dexercice en mécanique du point matériel
21 sept. 2007 (la dynamique du point la cinématique
Polycopié dexercices et examens résolus: Mécaniques des
d'en étudier successivement les aspects cinématique cinétique puis dynamique. Corrigé. 1- Soit deux points Aet B du solide indéformableS ...
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Maître de conférences classe « B » ENSO Année Universitaire : 2018/2019 Cinématique et dynamique du point matériel (Cours et exercices corrigés)
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Ces exercices couvrent les quatres chapitres du polycopié de cours de la mécanique du point matériel : Outil mathématique : vecteurs et systèmes de coordonnées
Exercice corrigé cinématique du point matériel pdf - ETUSUP
28 jan 2021 · Mécanique du point matériel cours et exercices corrigés pdf pour les étudiants ayant les filières: mpsi smp smi smp ensa
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Cinématique du point matériel 2 1 2 Exercice : Pendule en mouvement On consid`ere un point matériel M suspendu `a un fil inextensible de longueur l
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MECANIQUE DU POINT MATERIEL Moment d'un vecteur par rapport à un point de l'espace 26 Corrigés des exercices 1 7 à 1 12: Exercice1 7 :
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1- Déterminer les grandeurs cinématiques : (a) vecteur position (b) vecteur vitesse et son module et (c) vecteur accélération et son module 2- Trouver les
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Les coordonnées du point M dans R sont données par : x(t) = t + 1 ; y(t) = t2 + 1 et z(t) = 0 (t étant le temps) 1- Donner l'équation de la trajectoire de M
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CHAPITRE1
Rappels et compléments mathématiques
1.1 Exercices
1.1.1Opérations sur les vecteurs
On donne trois vecteurs?A(3,2⎷2,⎷3),?B(2,⎷3,⎷2) et?C(1,2,2).1. Calculer les normes??A?,??B?et??C?. En d´eduire les vecteurs unitaires?uA,?uB
et?uCdes directions, respectivement, de?A,?Bet?C.2. Calculer cos(
??uA,?uB), cos(??uB,?uC) et cos(??uC,?uA), sachant que les angles sont com- pris entre 0 etπ.3. Calculer les composantes des vecteurs?e1=?uB??uC,?e2=?uC??uAet?e3=?uA??uB.
4. En d´eduire sin(
??uA,?uB), sin(??uB,?uC) et sin(??uA,?uC). V´erifier ces r´esultats en utili- sant la question 2.5. Montrer que?e1,?e2,?e3peuvent constituer une base. Cette base est-elle orthogo-
nale, norm´ee?1.1.2Différentielle et dérivée d"un vecteur unitaire
SoitR(O,?i,?j,?k) un rep`ere cart´esien et consid´erons la base sph´erique (?er,?eθ,?e?).
1. Exprimer les vecteurs de la base sph´erique dans la base cart´esienne.
2. Calculer
∂?e r 3Rappels et compl´ements math´ematiques
3. En d´eduired?er,d?eθetd?e?dans la base sph´erique.
4. Montrer que les diff´erentielles des vecteurs de la base sph´erique peuvent se mettre
sous la forme d?e en pr´ecisant l"expression du vecteur rotation ?Ω des vecteurs de la base sph´erique par rapport `aR. D´eduire les d´eriv´ees par rapport au temps des vecteurs de la base sph´erique par rapport `aR.5. On consid`ere la base cylindrique (?eρ,?e?,?k) . Quel est son vecteur rotation par
rapport `aR? En utilisant les r´esultats pr´ec´edents, calculer la d´eriv´ee par rapport
au temps des vecteurs de la base cylindrique par rapport `aR.6. Consid´erons un vecteur
?V=Vr?er+Vθ?eθ+V??e?. En utilisant les r´esultats pr´ec´e- dents, calculer la d´eriv´ee par rapport au temps de ?Vpar rapport `aR1.1.3Déplacement élémentaire
On se propose de traiter dans cet exercice le d´eplacement ´el´ementaire dans les troissyst`emes de coordonn´ees, cart´esiennes, cylindriques et sph´eriques et ce en utilisant les
r´esultatsde l"exercice 2Consid´erons un rep`ere cart´esienR(O,?i,?j,?k). Soient (?eρ,?e?,?k) et (?er,?eθ,?e?) respective-
ment les bases cylindrique et sph´erique. SoitMun point rep´er´e par--→OMpar rapport `a
R. On consid`ere un d´eplacement infinit´esimal deMenM?tel queM?est tr`es proche deM. On note alors le d´eplacement ´el´ementaire par--→OM?---→OM=d---→MM?=d--→OM
1. Dans le rep`ere cart´esien,--→OM=x?i+y?j+z?k. Calculer le d´eplacementd--→OMpar
rapport `aRdans la base cart´esienne.2. Rappeler le vecteur rotation de la base cylindrique par rapport `aR. Partant de--→OM=ρ?eρ+z?k, calculer le d´eplacementd--→OMpar rapport `aRdans la base
cylindrique.3. Rappeler le vecteur rotation de la base sph´erique par rapport `aR. Dans la base
sph´erique--→OM=r?er, calculer le d´eplacementd--→OMpar rapport `aRet ce dans cette base.1.1.4Tube cathodique
On ´etudie le mouvement des ´electrons dans le tube cathodique d"un osilloscope. Les ´electrons arrivent enOavec une vitesse?v0=v0?iet traversent les plaques de d´eviation P1etP2de longueurl. Les ´electrons sont soumis entre les plaques de d´eviation`a une
acc´el´eration uniforme?γ0=γ0?jet sont d´evi´es, figure ci-dessous. L"´ecran est `a la distance
D= 5lde la sortie des plaques. On exprime dans le reste de l"exercice les grandeurs vectorielles dans la base cart´esienne. la vitesse de la particule `a la sortie des plaques est?vAet fait un angleαavec?i. L"acc´el´eration des ´electrons entre les pointsAetEest nulle. Contact: elkacimi@uca.maD´epartement de Physique - FSSM 2015/20161.1 Exercices5
1. Etablir les ´equations horaires du mouvement
des ´electrons entre les plaques de d´eviation, x(t) ety(t). En d´eduire l"´equation de la tra- jectoirey=f(x).2. Calculer la vitesse des ´electrons au pointA,
?vA, en fonction dev0,letγ0. En d´eduire
l"angleα=?(?i,?vA).3. Quelle est la nature de la trajectoire des ´elec-
trons entreAetE? En d´eduire les ´equations horairesx(t) ety(t). D´eterminer la d´eviationδen fonction dev0,letγ0.
y xO j i 1P 2 P l D=5lδ E Aα1.1.5Exercice
Un v´ehicule, que l"on peut consid´erer comme un point mat´erielM, se d´eplace parrapport `a un r´ef´erentielR(O,xyz) avec un mouvement de translation uniforme de vitesse?V(M/R) telle que|?V(M/R)|=v. Le v´ehicule roule sur une bosse dont le profil peut
ˆetre repr´esent´e pary=f(x). On s"int´eresse au segment de la route [A,B].1. Calculer la vitesse?V(M/R) en fonction
de xet de la d´eriv´ee premi`eref?(x) = df(x)/dxpar rapport `ax.2. Calculer l"acc´el´eration?γ(M/R). En d´e-
duire que la composante de l"acc´el´eration selonOypeut se mettre sous la forme y(M/R) =v2f??(x) (f?2+ 1)2 f ??(x) ´etant la d´eriv´ee seconde def(x) par rapport `ax. AB M y x O y=f(x)1.1.6Opérations sur les vecteurs : une autre approche
L"objectif de cet exercice est de reformuler les expressions des op´erations vectorielles en utilisant la
fonction de Kroneckerδij1et le tenseur de Levi-Civita?ijk2.Les indicesi,j,k? {1,2,3}´etant donn´e
que l"on travaille dans un espace vectoriel de dimension 3.1. la fonction de Kronecker est d´efinie par
ij=?1 sii=j0 si non
2. Le tenseur de Levi-Civita est d´efini par
ijk=???0 si au moins deux indices sont ´egaux1 si (i,j,k)?{(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)} -1 si (i,j,k)?{(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1)}. Contact: elkacimi@uca.maD´epartement de Physique - FSSM 2015/2016Rappels et compl´ements math´ematiques
On consid`ere un rep`ereRmuni de la base orthonorm´ee (?e1,?e2,?e3). La propri´et´e d"or- thonormalit´e de la base se traduit par?ei·?ej=δij, qui seront utilis´es dans la suitede l"exercice, sauf mention contraire. Soient trois vecteurs?A(a1,a2,a3),?B(b1,b2,b3) et?C(c1,c2,c3).
1. Montrer que le produit scalaire
?A·?B=? i=1,3aibi.2. Sachant que lai`emecomposante de?A??Bpeut s"´ecrire comme suit (?A??B)i=?3j,k=1?ijkajbk, en d´eduire que
A??B=?
i,j,k? ijkajbk?ei.3. Montrer que le produit mixte
A·(?B??C) =?
i,j,k? ijkaibjck.4. En utilisant le r´esultat de la question 2, montrer
A?(?B??C) = (?A·C)?B-(?A·B)?C
5. Montrer que
??A??B?·??C??D?
=??A·?C???B·?D? -??A·?D???B·?C?1.1.7Exercice : Opérations sur les vecteurs
On donne les trois vecteurs?V1(1,1,0),?V2(0,1,0) et?V3(0,0,2).1. Calculer les normes??V1?,??V2?et??V3?. En d´eduire les vecteurs unitaires?v1,?v2
et?v3des directions respectivement de?V1,?V2et de?V3.2. Calculer cos(
??v1,?v2), sachant que l"angle correspondant est compris entre 0 etπ.3. Calculer?v1·?v2,?v2??v3et?v1·(?v2??v3). Que repr´esente chacune de ces trois
grandeurs?1.1.8Exercice : Différentielle et dérivée d"un vecteur unitaire
Consid´erons la position d"un pointMdans le rep`ereR(O,xyz). Soient (?i,?j,?k),(?eρ,?e?,?k) et (?er, ?eθ, ?eφ) respectivement les bases cart´esienne, cylindrique et sph´erique
associ´ees `a ce rep`ere. Le tenseur poss`ede les propri´et´es suivantes, que l"on neva pas d´emontrer i,j? ijk?ijl=δklet? i? ijk?ilm=δjlδkm-δjmδkl. Contact: elkacimi@uca.maD´epartement de Physique - FSSM 2015/20161.1 Exercices7
1. Calculer
∂?e2. En d´eduired?eρetd?e?dans la base cart´esienne.
3. Montrer que les diff´erentielles des vecteurs de la base cylindrique peuvent se
mettre sous la forme d?eρ=dt?Ω??eρetd?e?=dt?Ω??e?
en pr´ecisant l"expression du vecteur rotation ?Ω des vecteurs de la base cylindrique par rapport `aR. D´eduire les d´eriv´ees par rapport au temps des vecteurs de la base cylindrique dansR.4. Quel est le vecteur rotation de la base sph´erique par rapport `aR? En utilisant
les r´esultats de la question pr´ec´edente, d´eduire les expressions de d?e r dt,d?eθdtetd?eφdt.1.1.9Exercice : Mouvement rectiligne
On effectue un test d"acc´el´eration sur une voiture arrˆet´ee au d´epart (vitesse initiale
v0= 0). La route est rectiligne.
1. La voiture est chronom´etr´ee `a 20sau bout d"une distanceD= 140m.
1-a)D´eterminer l"expression de l"acc´el´erationγ, supos´ee constante.
1-b)D´eterminer l"expression de la vitessevDatteinte `a la distanceD.
2. Calculer la distance d"arrˆetLpour une d´ec´el´eration de 8ms-2?
1.1.10Exercice : Excès de vitesse
Un conducteur roule `a une vitesse constantev0= 120 km h-1sur une route r´ecti-ligne d´epassant la limite autoris´ee. Un gendarme `a moto d´emarre `a l"instant o`u la voiture
passe `a sa hauteur et acc´el`ere uniform´ement. Le gendarme atteint la vitesse 100 km h-1 au bout de 12s.1. Quel sera le temps n´ecessaire au gendarme pour rattraperla voiture?
2. Quelle distance aura-t-il parcourue?
3. Quelle vitesse aura-t-il atteinte?
Contact: elkacimi@uca.maD´epartement de Physique - FSSM 2015/2016Rappels et compl´ements math´ematiques
1.1.11Exercice : Mouvement circulaire uniforme
Consid´erons un satellite g´eostationnaire en mouvement circulaire uniforme autour de la Terre sur une orbite de rayonr. Il est soumis `a une acc´el´erationγ=g0?R r?2, o`u
g0= 9.81m s-2etR= 6400 km , le rayon de la Terre. La p´eriode de r´evolution du
satellite est ´egale `a la p´eriode de rotation de la Terre sur elle mˆeme.1. Calculer la p´eriodeTde rotation de la Terre en secondes. En d´eduire la vitesse
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