Mathématiques PDF Mathématiques pour l'informatique.

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Anis Ben Aïssa

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Chercheur à l'École Nationale d'Ingénieurs de Tunis (LAMSIN), il enseigne actuellement à l'Institut

Supérieur des Arts du Multimédia de la Manouba (Tunisie). Il est également Maître assistant et

Directeur des Études et des Stages à l'ISAMM.

Maître assistant à l'Institut Supérieur des Sciences Appliquées et de Technologie de Sousse (Tunisie),

Anis Ben Aïssa est spécialiste des probabilités et statistiques.

ISBN 978-2-311-01241-5

WWW.VUIBERT.FR

Mathématiques pour l'informatique

Cours & exercices corrigésSommaire

Partie I. Analyse

1. Nombres réels, nombres complexes et suites numériques

2. Étude des fonctions réelles d'une variable réelle

3. Séries numériques

4. Intégration des fonctions réelles d'une variable réelle

5. Équations différentielles

Partie II. Algèbre

6. Espaces vectoriels et applications linéaires

7. Matrices, déterminant et systèmes linéaires

8. Diagonalisation des endomorphismes - matrices

9. Polynômes et fractions rationnelles

10. Applications bilinéaires et formes quadratiques

Partie III. Probabilités

11. Notion de probabilité

12. Variables Aléatoires Discrètes - Lois Discrètes13. Variables Aléatoires Continues - Lois Continues

14. Notions de convergence

Partie IV. Statistiques

15. Statistique descriptive

16. Échantillonnage et estimation

17. Tests d'hypothèse et tests de comparaison

Partie V. Analyse numérique

18. Introduction à l'analyse numérique

19. Méthodes directes de résolution des systèmes linéaires

20. Méthodes itératives de résolution des systèmes linéaires

21. Résolution des équations non linéaires

22. Méthodes d'intégration numérique

Corrigés des exercices

Annexe9 782311 012415

Mathématiques

pour l'informatiqueLICENCE 1 & 2

INFORMATIQUE

Cours complet

Méthodes et applications fondamentales

Exercices d'entraînement corrigés

Skander Belhaj & Anis Ben Aïssa

Mathématiquespour l'informatique

CV_MathsInformatique:EP 30/09/13 14:43 Page 1

ii "belhajBenaissa" - 2013/9/30 - 15:57 - page VIII - #6 ii i ii i ii "belhajBenaissa" - 2013/9/30 - 15:57 - page III - #1 ii i ii iTable des matières

Analyse 1

1 Nombres réels, nombres complexes et suites numériques 3

1.1 L"ensemble des réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 L"ensemble des complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3 Les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Étude des fonctions réelles d"une variable réelle 21

2.1 Limite d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5 Complément sur les fonctions classiques . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.7 Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.8 Fonctions équivalentes, définition et opérations . . . . . . . . . . . . .

2.9 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Séries numériques 51

3.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4 Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5 Série quelconque. Convergence absolue. . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Intégration des fonctions réelles d"une variable réelle 57

4.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2 Techniques de calcul d"une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3 Calcul pratique des intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63
ii "belhajBenaissa" - 2013/9/30 - 15:57 - page IV - #2 ii i ii iIVTable des matières

5 Équations différentielles 65

5.1 Équations différentielles linéaires du premier ordre . . . . . . . . . . .

5.2 Étude de l"équation avec second membre . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3 Équations différentielles linéaires du second ordre . . . . . . . . . . . .

5.4 Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Algèbre 71

6 Espaces vectoriels et applications linéaires 73

6.1 L"espace vectorielRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73

6.2 Espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3 Combinaisons linéaires, sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . .

6.4 Indépendance linéaire, base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.5 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 Matrices, déterminant et systèmes linéaires 89

7.1 Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2 Systèmes d"équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

101

7.3 Le déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

107

7.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

113

8 Diagonalisation des endomorphismes - matrices 117

8.1 Valeurs propres et vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

117

8.2 Caractéristique d"une valeur propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

118

8.3 Diagonalisation d"une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

120

8.4 Application de la diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

123

8.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

124

9 Polynômes et fractions rationnelles 127

9.1 Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

127

9.2 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

132

9.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

137

10 Applications bilinéaires et formes quadratiques 139

10.1 Applications bilinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

139

10.2 Formes quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

142

10.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

145

Probabilités 149

11 Notion de probabilité 151

11.1 Modèle probabiliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

151

11.2 Probabilités conditionelles et indépendance . . . . . . . . . . . . . . .

157
ii "belhajBenaissa" - 2013/9/30 - 15:57 - page V - #3 ii i ii iTable des matièresV

11.3 Analyse combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

161

11.4 Formule du binôme de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

163

11.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

163

12 Variables Aléatoires Discrètes - Lois Discrètes 167

12.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16 7

12.2 Espérance, Moments et Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

172

12.3 Lois usuelles discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

176

12.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

181

13 Variables Aléatoires Continues - Lois Continues 185

13.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 85

13.2 Espérance, Moments et Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

189

13.3 Lois usuelles continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

192

13.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

198

14 Notions de convergence 201

14.1 Convergence en probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

201

14.2 Convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

206

14.3 Convergence des lois usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

207

14.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

209

Statistiques 213

15 Statistique descriptive 215

15.1 Séries statistiques à une dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

215

15.2 Séries statistiques à deux dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

223

15.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

230

16 Échantillonnage et estimation 235

16.1 Échantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

235

16.2 Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

237

16.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

241

17 Tests d"hypothèse et tests de comparaison 243

17.1 Tests de conformité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

243

17.2 Tests de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

247

17.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

251

Analyse numérique 253

18 Introduction à l"analyse numérique 255

18.1 Représentations des nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

255

18.2 Arithmétique flottante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

257

18.3 Normes de vecteurs et de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

258
ii "belhajBenaissa" - 2013/9/30 - 15:57 - page VI - #4 ii i ii iVITable des matières

18.4 Conditionnement d"une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

260

18.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

261

19 Méthodes directes de résolution des systèmes linéaires 265

19.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

265

19.2 Méthode de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

266

19.3 Méthode de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

268

19.4 DécompositionLU. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .271

19.5 Décomposition de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

272

19.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

274

20 Méthodes itératives de résolution des systèmes linéaires 279

20.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

279

20.2 Définition et convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

279

20.3 Méthodes itératives linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

280

20.4 La méthode de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

280

20.5 La méthode de Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

283

20.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

285

21 Résolution des équations non linéaires 287

21.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

287

21.2 Méthodes à base géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

288

21.3 Méthodes itératives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

293

21.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

295

22 Méthodes d"intégration numérique 297

22.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

297

22.2 Méthodes des trapèzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

298

22.3 Méthode de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

300

22.4 Méthode de Romberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

302

22.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

304

Corrigés des exercices 307

Annexe 449

ii "belhajBenaissa" - 2013/9/30 - 15:57 - page 3 - #9 ii i ii iCHAPITRE 1 Nombres réels, nombres complexes et suites numériques

1.1 L"ensemble des réels

1.1.1Ensembles ordonnésUn ensembleEnon vide est dit ordonné s"il est suivi d"une relation d"ordre, notée

totale (etEest dit un ensemble totalement ordonné).

Exemple 1.1.2

SoitEun ensemble non vide.P(E):l"ensemble des parties deEest un ensemble ordonné mais pas totalement. En effet, la relation"?"est une relation d"ordre puisqu"elle vérifie : la reflexivité ( A?A,?A? P(E)); la symétrie ( A?BetB?AalorsA=B,?A,B? P(E)); la transitivité ( A?BetB?CalorsA?C,?A,B,C? P(E)).

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INFORMATIQUE

Skander Belhaj

Anis Ben Aïssa

ISBN 978-2-311-01241-5

WWW.VUIBERT.FR

Mathématiques pour l'informatique

Cours & exercices corrigésSommaire

Partie I. Analyse

1. Nombres réels, nombres complexes et suites numériques

2. Étude des fonctions réelles d'une variable réelle

3. Séries numériques

4. Intégration des fonctions réelles d'une variable réelle

5. Équations différentielles

Partie II. Algèbre

6. Espaces vectoriels et applications linéaires

7. Matrices, déterminant et systèmes linéaires

8. Diagonalisation des endomorphismes - matrices

9. Polynômes et fractions rationnelles

10. Applications bilinéaires et formes quadratiques

Partie III. Probabilités

11. Notion de probabilité

12. Variables Aléatoires Discrètes - Lois Discrètes13. Variables Aléatoires Continues - Lois Continues

14. Notions de convergence

Partie IV. Statistiques

15. Statistique descriptive

16. Échantillonnage et estimation

17. Tests d'hypothèse et tests de comparaison

Partie V. Analyse numérique

18. Introduction à l'analyse numérique

19. Méthodes directes de résolution des systèmes linéaires

20. Méthodes itératives de résolution des systèmes linéaires

21. Résolution des équations non linéaires

22. Méthodes d'intégration numérique

Corrigés des exercices

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Exercices d'entraînement corrigés

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Mathématiquespour l'informatique

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Analyse 1

1 Nombres réels, nombres complexes et suites numériques 3

1.1 L"ensemble des réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 L"ensemble des complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3 Les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Étude des fonctions réelles d"une variable réelle 21

2.1 Limite d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5 Complément sur les fonctions classiques . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.7 Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.8 Fonctions équivalentes, définition et opérations . . . . . . . . . . . . .

2.9 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Séries numériques 51

3.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4 Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5 Série quelconque. Convergence absolue. . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Intégration des fonctions réelles d"une variable réelle 57

4.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2 Techniques de calcul d"une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3 Calcul pratique des intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Équations différentielles 65

5.1 Équations différentielles linéaires du premier ordre . . . . . . . . . . .