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Proprietes_des_Quadrilateres.pdf

Propriété : Si un quadrilatère est un carré alors il possède toutes les propriétés d'un rectangle et d'un losange (et donc d'un parallélogramme).



Rectangle - Losange - Carré - Cours

Un rectangle est un parallélogramme qui possède un angle droit. Propriétés du rectangle : Un rectangle est d'après la définition



Chapitre 1 9 : Rectangle losange

https://collegeclotildevautier-rennes.ac-rennes.fr/sites/collegeclotildevautier-rennes.ac-rennes.fr/IMG/pdf/cours_chapitre_19_rectangle_losange_carre.pdf



FICHE METHODE sur les FONCTION CARREE I) A quoi sert la

Propriété 2 : SENS DE VARIATION DE LA FONCTION CAREE . Pour la fonction carrée on a le tableau de variations suivant : Valeurs de x -?. 0. + ?.



Nombre pair - Nombre impair

Propriété : Un nombre élevé au carré conserve sa parité. Exercice : Démontrer la propriété précédente ( cas général ).



FONCTIONS DE REFERENCE

Propriété : La fonction racine carrée est strictement croissante sur l'intervalle 0;+????? . Démonstration : Soit a et b deux nombres réels positifs tels 



Quelques propriétés des carrés parfaits

9 juin 2011 Voici une première propriété des carrés parfaits ... Le -ième nombre carré est donc la somme des premiers nombres impairs.



Séance 3 : les propriétés du carré du rectangl

http://blogs.ac-amiens.fr/ecoledemorienval/public/CP-CE1/lundi_6_et_mardi_7_avril/ce1__seance_3_angles__proprietes_carre_rectangle_triangle.pdf



Les propriétés du carré

Mais sa caractérisation nécessite de prendre en compte les deux propriétés (angles et longueurs). ?MOTS-CLÉS. Carré côté



CHAPITRE 6 : LES PARALLÉLOGRAMMES I.- PROPRIÉTÉS DES

5.333 [S] Construire un parallélogramme en utilisant ses propriétés. 5.334 [S] Connaître et utiliser une définition du rectangle/losange/carré.



Les propriétés du carré

qu’un aspect du carré : soit ses côtés soit ses angles Ainsi on le voit comme un losange ou un rectangle Mais sa caractérisation nécessite de prendre en compte les deux propriétés (angles et longueurs) æ MOTS-CLÉS Carré côté angle droit quadrilatère gabarit d’angle droit æ ÉLÉMENTS STRUCTURANTS



Chapitre 19 : Rectangle losange carré

III - Carré 1) Définition et propriétés Définition : Un carré est un quadrilatère dont les quatre côtés ont la même longueur et les quatre angles sont droits Propriété : Un carré est à la fois un losange et un rectangle il possède donc toutes les propriétés du losange et du rectangle IV – Synthèse



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Propriétés du carré : Un carré est d’après la propriété précédente un rectangle particulier et un losange particulier Par conséquent un carré a toutes les propriétés du rectangle et toutes les propriétés du rectangle Les côtés opposés sont parallèles ( propriété du parallélogramme )

Quels sont les propriétés d’un carré?

Le carré, puisqu’il a 4 côtés de la même longueur, est un losange. Il a donc toutes les propriétés du losange. * Les côtés opposés du carré sont parallèles. * Ses diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires. * Ses diagonales sont des axes de symétrie. * Le point d’intersection des diagonales est le centre de symétrie.

Quelle est la définition du carré?

Définition du carré. Le quadrilatère ABCD a 4 côtés de la même longueur et 4 angles droits: C’est un carré. Définition : Un carré est un quadrilatère qui a ses quatre côtés de la même longueur et ses quatre angles droits.

Quels sont les côtés consécutifs d’un carré?

* Les côtés consécutifs du carré sont perpendiculaires. * Ses diagonales se coupent en leur milieu et sont de même longueur. * Ses médiatrices sont des axes de symétrie. * Le point d’intersection des diagonales est le centre de symétrie. Les diagonales du carré se coupent en leur milieu, sont perpendiculaires et ont la même longueur.

Quels sont les côtés opposés d’un carré?

* Les côtés opposés du carré sont parallèles. * Ses diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires. * Ses diagonales sont des axes de symétrie. * Le point d’intersection des diagonales est le centre de symétrie. Le carré a quatre angles droits ... Le carré, puisqu’il a 4 angles droits, est un rectangle.

? Le rectangle :

Considérons un jouet d"enfant constitué de 4 pièces métalliques ( ou en bois ) ; deux ont même longueur

et les deux autres ont également même longueur. En les assemblant comme indiqué sur la figure ci-contre, nous obtenons un quadrilatère. Ce quadrilatère a ses côtés opposés de la même longueur, donc ce quadrilatère est un parallélogramme ( Cf. les propriétés du parallélogramme )

Comment obtenir un rectangle ?

Il suffit de " redresser » un côté de ce parallélogramme afin d"obtenir un angle droit.

Définition :

Un rectangle est un parallélogramme qui possède un angle droit.

Propriétés du rectangle :

Un rectangle est, d"après la définition, un parallélogramme particulier. Par conséquent, un rectangle a

toutes les propriétés du parallélogramme ? Les côtés opposés sont parallèles. ? Les côtés opposés ont même longueur. ? Les diagonales ont même milieu

? Les angles opposés ont même mesure. ( et les angles consécutifs sont supplémentaires ).

Autres propriétés propres au rectangle :

Considérons un rectangle ABCD . Nous savons que ce rectangle a un angle droit ( par exemple, l"angle

DABˆ ).

THEME :

PARALLELOGRAMMES PARTICULIERS

RECTANGLE - LOSANGE - CARRE

Rappelons une propriété établie en classe de Sixième : Si deux droites sont parallèles, toute droite

perpendiculaire à l"une est perpendiculaire à l"autre

Dans le rectangle ABCD,

? Les droites ( AD) et (BC) sont parallèles ( Un rectangle a des côtés opposés parallèles, puisqu"un rectangle est un parallélogramme. ) ? La droite (AB) est perpendiculaire à la droite (AD) ( L"angle DABˆ est un angle droit ) Donc d"après la propriété énoncée ci-dessus, la droite (AB) est perpendiculaire à la droite (BC) et par suite, l"angle

CBAˆ est un angle droit .

Remarque :

Il était également possible d"utiliser le fait que, dans un parallélogramme, deux angles consécutifs sont supplémentaires. Nous pouvons réutiliser cette démarche ( utilisation de la propriété établie en Sixième ) pour démontrer que l"angle

DCBˆ est également

un angle droit , puis recommencer pour démontrer que l"angle

ADCˆest également un angle droit.

Autre façon de démontrer que les deux autres angles sont droits :

Le rectangle étant un parallélogramme ( particulier ), les angles opposés ont même mesure.

Les angles

DAB et DCBˆˆ sont, dans la quadrilatère ABCD, des angles opposés , donc : DAB DCBˆˆ== 90° , donc DCBˆ est un angle droit

De même

CBA et ADCˆˆ sont, dans la quadrilatère ABCD, des angles opposés , donc °==

90 CBA ADCˆˆ , donc ADCˆ est un angle droit .

Propriété :

Dans un rectangle, les quatre angles sont droits .

Autre propriété :

Dans un parallélogramme, les diagonales ont même milieu, appelé le centre du parallélogramme. Cette propriété est donc vérifiée pour le rectangle. Nous constatons ( sans démonstration ) que les diagonales ont

également même longueur.

AC = BD

Propriété :

Dans un rectangle, les diagonales ont même mesure .

Remarque :

Comme les diagonales ont même milieu et ont même longueur , nous avons :

OA = OB = OC = OD

Il existe donc un cercle de centre O et de rayon cette valeur commune ( OA ou OB ou OC ou OD ) qui passe par les quatre sommets du rectangle.

Ce cercle s"appelle le

cercle circonscrit au rectangle. A noter que ce cercle est le plus petit cercle qui contienne le rectangle.

Remarque :

Un parallélogramme non rectangle n"a pas de cercle circonscrit.

Comment démontrer qu"un quadrilatère est un

rectangle ?

Nous disposons de trois méthodes

( trois outils ) Méthode 1 : ( utilisation de la définition )

Il suffit de démontrer que :

? le quadrilatère est un parallélogramme . ? le quadrilatère a un angle droit . ? Attention , il est nécessaire de démontrer que le quadrilatère est un parallélogramme. Démontrer uniquement que le quadrilatère a un angle droit ne suffit pas.

Méthode 2 : ( propriété des diagonales )

Il suffit de démontrer que :

? le quadrilatère est un parallélogramme . ? le quadrilatère a des diagonales de même longueur. ? Attention , il est nécessaire de démontrer que le quadrilatère est un parallélogramme. Démontrer uniquement que le quadrilatère a des diagonales de même longueur ne suffit pas. ? Faut-il donc nécessairement démontrer que le quadrilatère est un parallélogramme pour démontrer que cette figure est un rectangle ? Il existe une méthode qui évite de " passer » par le parallélogramme.

Méthode 3 :

Il suffit de démontrer que le

quadrilatère a

3 angles droits

Remarque :

Il est inutile de démontrer qu"il y a quatre

angles droits, trois suffisent. ? Le losange :

Définition :

Un losange est un quadrilatère qui a 4 côtés de même longueur.

Pour démontrer qu"un quadrilatère est un losange, le seul outil dont nous disposons est de prouver que les

quatre côtés ont même mesure. Existe-t-il d"autres méthodes ? ? Suffit-il d"avoir trois côtés de même longueur ? Il suffit de montrer qu"une figure qui a trois côtés de même longueur n"est pas un losange en utilisant un contre-exemple. ? Suffit-il d"avoir deux côtés de même longueur ? Tout parallélogramme a deux côtés de même mesure ( dans un parallélogramme, les côtés opposés ont même mesure ). Donc, deux côtés de même longueur ne permettent pas de définir un losange.

Par contre :

Propriété :

Un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur est un losange . Considérons un parallélogramme ABCD tel que AB = BC. Un parallélogramme a des côtés opposés de même longueur, donc AB = CD et BC = AD

Comme AB = BC , alors

AB = BC = AD = CD

Les quatre côtés ont même longueur, donc le quadrilatère

ABCD est un losange.

? Tous les nombres ( entiers ) se terminant par 5 sont divisibles par 5 .

Cette phrase est-elle vraie ? Il semble que oui, mais, encore faut-il le prouver. La preuve, c"est à dire la

démonstration, n"est pas nécessairement facile. ? Tous les nombres ( entiers ) se terminant par 3 sont divisibles par 3 .

Cette phrase est-elle vraie ? Le nombre 13 se termine par 3 , mais n"est pas divisible par 3. La phrase précédente

est donc fausse.

Un exemple n"est pas une preuve, mais un

contre-exemple est une preuve qui permet d"affirmer qu"une phrase est fausse.

Propriétés du losange :

Un losange est, d"après la propriété précédente, un parallélogramme particulier. Par conséquent, un

losange a toutes les propriétés du parallélogramme ? Les côtés opposés sont parallèles. ? Les côtés opposés ont même longueur. ? Les diagonales ont même milieu

? Les angles opposés ont même mesure. ( et les angles consécutifs sont supplémentaires ).

Autres propriétés propres au losange :

Les quatre côtés ont même longueur.

Les diagonales, comme dans tout parallélogramme, ont même milieu. Elles ne sont pas de même longueur, comme dans le rectangle . Par contre, nous constatons ( sans démonstration ) que les diagonales sont perpendiculaires.

Propriété :

Dans un losange, les diagonales sont perpendiculaires .

Propriété :

Les diagonales d"un losange sont des axes de symétrie .

Remarque :

Un losange a donc un centre de symétrie ( le point de rencontre des diagonales ) et deux axes de symétrie ( les diagonales ). Ces deux axes sont les bissectrices des angles du losange. Comment démontrer qu"un quadrilatère est un losange ?

Nous disposons de trois méthodes

( trois outils )

Méthode 1 : ( concernant les côtés )

Il suffit de démontrer que :

? le quadrilatère est un parallélogramme . ? le quadrilatère a deux côtés consécutifs de même longueur .

? Attention , il est nécessaire de démontrer que le quadrilatère est un parallélogramme. Démontrer

uniquement que le quadrilatère a deux côtés consécutifs de même longueur ne suffit pas.

? Attention , les deux côtés de même mesure doivent être consécutifs ( qui se suivent )

Méthode 2 : ( concernant les diagonales )

Il suffit de démontrer que :

? le quadrilatère est un parallélogramme . ? le quadrilatère a des diagonales perpendiculaires . ? Attention , il est nécessaire de démontrer que le quadrilatère est un parallélogramme. Démontrer uniquement que le quadrilatère a des diagonales perpendiculaires ne suffit pas.

Méthode 3 : Il suffit de démontrer que :

? le quadrilatère a 4 côtés de même longueur . ? Le carré :

Un carré est un rectangle particulier ( donc un parallélogramme particulier ). C"est un rectangle qui a

deux côtés consécutifs de même longueur. Mais un carré est également un losange particulier. C"est un losange qui a un angle droit.

Définition :

Un carré est un quadrilatère qui est à la fois rectangle et losange .

Propriétés du carré :

Un carré est, d"après la propriété précédente, un rectangle particulier et un losange particulier. Par

conséquent, un carré a toutes les propriétés du rectangle et toutes les propriétés du rectangle ? Les côtés opposés sont parallèles. ( propriété du parallélogramme ) ? Les côtés opposés ont même longueur. ( propriété du parallélogramme ) ? Les quatre côtés ont même longueur. ( propriété du losange ) ? Les quatre angles sont droits. ( propriété du rectangle ) ? Les diagonales ont même milieu. ( propriété du parallélogramme ) ? Les diagonales ont même longueur. ( propriété du rectangle ) ? Les diagonales sont perpendiculaires. ( propriété du losange )

Axes de symétrie et centre de symétrie :

Le carré a un centre de symétrie ( le point de rencontre des diagonales ) et quatre axes de symétrie

Comment démontrer qu"un

quadrilatère est un carré ?

Méthode :

Il suffit de démontrer que :

? le quadrilatère est un rectangle. ? le quadrilatère est un losange.

Dans la rédaction devront figurer,

après démonstration, les phrases : ? ??????? ( démonstration )

Le quadrilatère ABCD est un rectangle.

? ??????? ( démonstration )

Le quadrilatère ABCD est un losange.

? Le quadrilatère ABCD étant à la fois un rectangle et un losange, le quadrilatère ABCD est un carré.

RESUME :

COMMENT DEMONTRER QU"UN

QUADRILATERE EST UN RECTANGLE ?

Méthode 1 : ( Propriété concernant les côtés. )

Il suffit de démontrer que le quadrilatère

? est un parallélogramme. ? a un angle droit ( c"est à dire deux côtés perpendiculaires ). Méthode 2 : ( Propriété concernant les diagonales. )

Il suffit de démontrer que le quadrilatère

? est un parallélogramme. ? a des diagonales de même longueur. Méthode 3 : ( Cette méthode permet de ne pas démontrer que la figure est un parallélogramme. ) Il suffit de démontrer que le quadrilatère possède trois angles droits.

COMMENT DEMONTRER QU"UN

QUADRILATERE EST UN LOSANGE ?

Méthode 1 : ( Propriété concernant les côtés. )

Il suffit de démontrer que le quadrilatère

? est un parallélogramme. ? a deux côtés consécutifs de même longueur. Méthode 2 : ( Propriété concernant les diagonales. )

Il suffit de démontrer que le quadrilatère

? est un parallélogramme. ? a des diagonales perpendiculaires. Méthode 3 : ( Cette méthode permet de ne pas démontrer que la figure est un parallélogramme. ) Il suffit de démontrer que le quadrilatère a quatre côtés de même longueur.

COMMENT DEMONTRER QU"UN

QUADRILATERE EST UN carre ?

Méthode :

Il suffit de démontrer que le quadrilatère

? est un rectangle. ? est un losange.

NOTATIONS EN GEOMETRIE : ( rappels )

Notation d"une droite : (AB)

Notation d"un segment : [AB]

Notation d"une demi-droite : [Ax) ou [AB)

Notation de la longueur d"un segment : AB

Remarque :

Dans les notations d"une droite, d"une demi-droite ou d"un segment, le crochet " [ » (ou " ] ») indique

une extrémité ( que l"on ne franchit pas ) et la parenthèse " ( » ou " ) » indique une orientation

( l"extrémité est franchissable ).quotesdbs_dbs6.pdfusesText_11
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