LIMITES ET CONTINUITÉ (Partie 1)
On parle de limite à gauche de 0 et de limite à droite de 0. Déterminer graphiquement des limites d'une fonction : Vidéo https://youtu.be/9nEJCL3s2eU. III
Limites – Corrections des Exercices
Déterminer les limites des fonctions suivantes aux valeurs demandées (en distinguant si besoin
LIMITES DES FONCTIONS
( ) = −∞ la droite d'équation = est appelée asymptote verticale à la courbe de la fonction . 2) Limite à gauche
Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles
Cette limite s'appelle la dérivée de f `a gauche en x0 on la note fg(x0). (2) On définit de même la dérivée `a droite
Limites et continuité
toute fonction monotone sur un intervalle admet une limite à gauche et une limite à droite en tout point de cet intervalle. La limite à gauche peut très bien ne
Corrigé du TD no 9
petites de ε quand on manipule la définition de limite d'une fonction en un point. donc les limites à droite et à gauche de f en 1 sont égales à f(1) ce qui ...
1) Limites finie en un point. { }
b) Limite à gauche limite à droite. Définition : On dit que f admet l pour limite à gauche (resp. à droite) en a si la restriction de f à. ] [
Limites de fonctions et continuité - Lycée dAdultes
11/07/2021 f(x). La fonction x ↦→. 1 x n'admet pas de limite en 0 mais admet une limite à gauche et à droite de 0. O limite à droite. Limite à gauche.
LIMITES DUNE FONCTION
N'EXISTE PAS ! Théorème (Caractérisation de la limite à l'aide des limites à gauche/à droite) Soient f : D −→.
Chapitre 2 Continuité des fonctions réelles
2.2.1 Limites `a droite et `a gauche. Définition 2.2.7. Soit f : D → R une fonction et soit x0 ∈ D. (1) On dit que f admet l pour limite `a droite en x0
LIMITES ET CONTINUITÉ (Partie 1)
Définitions : - La droite d'équation y = L est asymptote à la courbe représentative de On parle de limite à gauche de 0 et de limite à droite de 0.
Limites et continuité
Théorème 4. Soit ]a b[ un intervalle ouvert
Cours limites
on dit que f a pour limite + ? en + ? et on note : Naturellement on introduit les notions de limite à droite en a et de limite à gauche en a et on ...
Limites de fonctions
de limite en 0 car les limites à droite et à gauche ne sont pas égales. Correction de l'exercice 3 ?. 1. x2+2
Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles
Dans ce cas l'existence de la limite équivaut `a l'égalité des limites `a gauche et `a droite. C'est pourquoi on introduit les dérivées `a gauche et `a
Limites et asymptotes
1. ?x = +?. Remarque : Une fonction peut avoir une limite différente à gauche et à droite de 0 on notera alors : lim.
Corrigé du TD no 9
Donc g a des limites à droite et à gauche en n qui sont égales à g(n) ce qui montre que g est continue en n. Exercice 6. On considère la fonction f définie
LIMITES et CONTINUITE
Limite à gauche et limite à droite. Dans ce qui suit f désignera la fonction inverse. Ainsi pour tout x : f(x) = 1 x.
MATHS 110c cHAPITRE III : NOTIONS DE LIMITES Nous allons
Nous étudierons la limite à droite et à gauche quand nous aurons une limite de la forme 1. 0. (voir les exemples de calculs de limites à la fin du
livre-analyse-1.pdf - Exo7 - Cours de mathématiques
Limite à gauche et à droite. Soit f une fonction définie sur un ensemble de la forme ]a x0[?]x0
LIMITES DES FONCTIONS - maths et tiques
LIMITES DES FONCTIONS Partie 1 : Limite d'une fonction à l'infini 1) Limite infinie en ? Définition : On dit que la fonction " admet pour limite +? en +? si "(&) est aussi grand que l’on veut pourvu que & soit suffisamment grand Remarque : On a une définition analogue en ?? Exemple :
Calculez la limite de la valeur absolue de x divisée par x: lim x/x
Les limites à gauche/à droite ne sont jamais que des limites au sens initial du chapitre mais appliquées à des restrictions Cela justi?e leur unicité et la possibilité que nous avons de leur accorder une notation
Limites de fonctions
On peut aussi dé?nir la limite à gauche ou à droite de x =a lorsque la limite en x =a n’existe pas On notera alors : limite à gauche : lim x?a xa f(x) Exemple : La fonction x 7? 1 x2 a pour limite +? en 0 La fonction x 7? 1 x n’admet pas de limite en 0 mais admet une limite à gauche
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La limite à gauche et la limite à droite Author: Julie Tremblay Created Date: 2/3/2017 9:50:50 AM
Quelle est la différence entre la limite gauche et la limite droite ?
La limite gauche = -1 tandis que la limite droite = 1. Lorsque la limite gauche et la limite droite ne sont pas égales, on dit que la limite n'existe pas. Par contre il existe bien une limite gauche et une limite droite. Observons à présent le graphique de la fonction f (x) = |x|/x :
Comment pouvez-vous déterminer une limite à gauche ou à droite graphiquement ?
Pour distinguer cela des limites à droite ou à gauche, on appelle parfois la limite d’une fonction sa limite bilatérale. Avec la notation des limites, il n’y a pas de signe + ou - en exposant sous la limite bilatérale.
Comment calculer la limite à gauche ou à droite d'une fonction ?
On rappelle que la limite à droite ou à gauche d’une fonction est égale à la limite bilatérale d’une fonction si cette dernière existe. Si on peut montrer que la limite de ???? ( ????) existe en ???? = ? ???? 6 et calculer sa valeur, elle correspondra également à la valeur de la limite à droite que nous recherchons.
Comment calculer la limite en venant de la droite ?
Calcul de la limite en venant de la droite, c'est-à-dire qu'on s'approche de x = 0 en venant des x positifs : La limite gauche = -1 tandis que la limite droite = 1. Lorsque la limite gauche et la limite droite ne sont pas égales, on dit que la limite n'existe pas. Par contre il existe bien une limite gauche et une limite droite.
DERNIÈRE IMPRESSION LE9 octobre 2014 à 9:32
Limites de fonctions
Table des matières
1 Limite finie ou infinie à l"infini2
1.1 Limite finie à l"infini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Limite infinie à l"infini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Limite infinie en un point3
3 Limites des fonctions élémentaires4
4 Opérations sur les limites4
4.1 Somme de fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4.2 Produit de fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4.3 Quotient de fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.4 Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
5 Limite d"une fonction composée6
6 Théorèmes de comparaison8
PAULMILAN1 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
1 Limite finie ou infinie à l"infini
1.1 Limite finie à l"infini
Définition 1 :Dire qu"une fonctionf
a pour limite?en+∞, signifie que tout intervalle ouvert contenant?, contient toutes les valeurs def(x)pourxassez grand - c"est à dire pour lesxd"un in- tervalle]A;+∞[. On note alors : lim x→+∞f(x) =? A xOC fΔ La droiteΔd"équationy=?est diteasymptote horizontaleàCf Remarque :On définit de façon analogue limx→-∞f(x) =?. Exemple :Les fonctions de référence :x?→1 x,x?→1xnetx?→1⎷xont des limites nulles en+∞et-∞pour les deux premières. Leurs courbes admettent alors l"axe des abscisses comme asymptote horizontale.1.2 Limite infinie à l"infini
Définition 2 :Dire qu"une fonction
fa pour limite+∞en+∞, signifie que tout intervalle]M;+∞|contient toutes les valeurs def(x)pourxassez grand - c"est à dire pour lesxd"un intervalle ]A;+∞[. On note alors : lim x→+∞f(x) = +∞ A]M Cf O Remarque :Cela implique que la fonctionfn"est pas majorée On définit de façon analogue limx→-∞f(x) = +∞. Ainsi que : limx→+∞f(x) =-∞et limx→-∞f(x) =-∞ Exemple :Les fonctions de référence :x?→x,x?→xnetx?→⎷ xont pour limite +∞en+∞. La fonction de référence :x?→xna pour limite+∞en-∞sinest pair et-∞en -∞sinest impair.PAULMILAN2 TERMINALES
2. LIMITE INFINIE EN UN POINT
Une fonction peut tendre vers+∞en
+∞de plusieurs façons. C"est le cas par exemple des fonctionsx?→x2,x?→xet x?→⎷ x.x?→x2tend "rapidement" vers l"in-
fini. La concavité est tournée vers le haut.x?→xtend "moyennement" vers l"in-
fini. Pas de concavité.x?→⎷xtend "lentement" vers l"in-
fini. La concavité est tournée vers le basTrois façons de
tendre vers+∞ ⎷x x x2 O2 Limite infinie en un point
Définition 3 :Dire qu"une fonction
fa pour limite+∞ena, signifie que tout intervalle]M;+∞|contient toutes les valeurs def(x)pourxassez proche dea- c"est à dire pour lesxd"un inter- valle ouvert contenanta. On note alors : lim x→af(x) = +∞La droiteΔd"équationx=aest dite
asymptote verticaleàCf a[]C fM O Remarque :on définit de façon analogue limx→af(x) =-∞On peut aussi définir la limite à gauche
ou à droite dex=alorsque la limite en x=an"existe pas. On notera alors : limite à gauche : lim x→axExemple :La fonctionx?→1
x2a pour limite+∞en 0. La fonctionx?→1 xn"admet pas de limite en 0, mais admetune limite à gauche (-∞)et à droite (+∞) de 0. 1 x2 1 xO limiteà droite
Limite
à gauche
PAULMILAN3 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
3 Limites des fonctions élémentaires
Limites en l"infini
f(x)xn1 xn ⎷x1⎷x limx→+∞f(x)+∞0+∞0 limx→-∞f(x)+∞sinpair -∞sinimpair0non défininon définiLimites en 0
f(x)1 xn1⎷x
limx→0x>0f(x)+∞+∞ limx→0x<0f(x)+∞sinpair -∞sinimpairnon défini4 Opérations sur les limites
4.1 Somme de fonctions
Sifa pour limite???+∞-∞+∞
Siga pour limite??+∞-∞+∞-∞-∞ alorsf+ga pour limite?+??+∞-∞+∞-∞F. Ind.Exemples :
1) Limite en+∞de la fonctionfdéfinie surR?par :f(x) =x+3+1
x lim x→+∞x+3= +∞ lim x→+∞1 x=0?????Par somme
lim x→+∞f(x) = +∞2) Limite en+∞et-∞de la fonctionfdéfinie surRpar :f(x) =x2+x
lim x→+∞x2= +∞ lim x→+∞x= +∞???Par somme
lim x→+∞f(x) = +∞ lim x→-∞x2= +∞ lim x→-∞x=-∞???Par somme, on ne peut conclure
Forme indéterminée :+∞-∞
4.2 Produit de fonctions
Sifa pour limite???=00∞
Siga pour limite??∞∞∞
alorsf×ga pour limite?×??∞*F. ind.∞* *Appliquer la règle des signesPAULMILAN4 TERMINALES
4. OPÉRATIONS SUR LES LIMITES
Exemples :
1) Limite en-∞de la fonction précédente :f(x) =x2+x
Pour lever la forme indéterminée, on change la forme def(x). f(x) =x2+x=x2? 1+1 x?On a alors avec le produit :
lim x→-∞x2= +∞ lim x→-∞1+1 x=1?????Par produit
lim x→-∞f(x) = +∞2) Limite en+∞de la fonction définie surR+par :f(x) =x-⎷
x On ne peut résoudre par la somme car c"est une forme indéterminée,on chan- ge alors la forme def(x) f(x) =x-⎷ x=x?1-1⎷x?
lim x→+∞x= +∞ lim x→+∞1-1 ⎷x=1?????Par produit
lim x→+∞f(x) = +∞3) Limite à droite de 0 de la fonction définie surR?par :f(x) =1
xsinx lim x→0x>01 x= +∞ limPar produit, on ne peut conclure
Forme indéterminée0×∞
4.3 Quotient de fonctions
Sifa pour limite???=00?∞∞
Siga pour limite???=00(1)0∞??(1)∞
alorsfga pour limite ??∞*F. ind.0∞*F. ind. *Appliquer la règle des signes (1) doit avoir un signe constantExemples :
1) Limite en-2 de la fonction définie surR-{-2}par :f(x) =2x-1
x+2On a le tableau de signes dex+2 :
x x+2 -∞-2+∞ 0+PAULMILAN5 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
limx→-22x-1=-5 lim x→-2x>-2x+2=0+ lim lim x→-2x>-2f(x) =-∞ lim x→-2x<-2f(x) = +∞ On en déduit alors une asymptote verticale d"équationx=-2.2) Limite en+∞de la fonctionfdéfinie par :f(x) =2x+1
3x+2 Comme le numérateur et le dénominateur tendent vers l"infini en+∞, nous avons une forme indéterminée :∞ ∞. Il faut donc changer la forme def(x). f(x) =2x+13x+2=x?
2+1 x? x? 3+2x? =2+1 x 3+2xOn a alors :
limx→+∞2+1 x=2 lim x→+∞3+2 x=3???????Par quotient
lim x→+∞f(x) =234.4 Conclusion
Il existe donc quatre formes indéterminées (comme avec les limites de suites) où les opérations sur les limites ne permettent pas de conclure. Dans les cas d"indé- termination, il faudra chercher à mettre le terme du plus haut degré enfacteur (pour les polynômes et les fonctions rationnelles), à simplifier, à multiplier par la quantité conjuguée (pour les fonctions irrationnelles), à utiliser un théorème de comparaison, à effectuer un changement de variable ...5 Limite d"une fonction composée
Théorème 1 :Soit deux fonctionsf,g. Soienta,betcdes réels ou+∞ou-∞.Si lim
x→ af(x) =bet limx→bg(x) =calors limx→ag[f(x)]=cExemples :Déterminer les limites suivantes :
1) lim
x→+∞h(x)avech(x) =? 2+1x22) lim
x→+∞k(x)aveck(x) =cos?1 x2+1?PAULMILAN6 TERMINALES
5. LIMITE D"UNE FONCTION COMPOSÉE
1) On posef(x) =2+1x2etg(x) =⎷x. On a alors :h(x) =g[f(x)].
On calcule alors les limites :
lim x→+∞2+1 x2=2 lim x→2⎷ x=⎷2???????Par composition, on a :
lim x→+∞h(x) =⎷2 Remarque :On peut éventuellement rédiger en faisant un changement de variable. On pose : X=2+1 x2donch(x) =⎷XOn a alors :
lim x→+∞X=limx→+∞2+1 x2=2 limX→2⎷
X=⎷2???????
Par composition, on a :
lim x→+∞h(x) =⎷22) On posef(x) =1
x2+1etg(x) =cosx. On a alors :k(x) =g[f(x)]. lim x→+∞1 x2+1=0 lim x→0cosx=1?????Par composition, on a :
lim x→+∞k(x) =1Théorème 2 :Limites fonctions et suites
Soit une suite(un)définie par :un=f(n).fest alors la fonction réelle associée à la suite(un). Soitaun réel ou+∞ou-∞Si lim
x→+∞f(x) =aalors limn→+∞un=a Exemple :Soit la suite(un)définie pour toutn?N?par :un=?2+1n2. Soitfla fonction définie sur]0;+∞[par :f(x) =?2+1x2.
On a vu plus haut que : lim
x→+∞f(x) =⎷ 2 On en déduit que la suite(un)converge vers⎷ 2 ?La réciproque de ce théorème est fausse. On peut en effet avoir une suite(un) qui admet une limite sans que la fonction associée en admette une. Pour s"en convaincre : Soit la fonctionfdéfinie surRpar :?f(x) =2 six?N f(x) =1 sinon La limite defen+∞n"existe manifestement pas tandis que la suite(un)définie parun=f(n) =2 admet, elle, comme limite 2!PAULMILAN7 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
6 Théorèmes de comparaison
Théorème 3 :f,g, ethsont trois fonctions définies sur l"intervalleI=]b;+∞[ et?un réel.1)Théorème des " Gendarmes»Sipour toutx?I, on a :g(x)?f(x)?h(x)et si:
lim x→+∞g(x) =limx→+∞h(x) =?alors limx→+∞f(x) =?2)Théorème de comparaisonSipour toutx?Ion a :f(x)?g(x)et si:
lim x→+∞g(x) = +∞alors limx→+∞f(x) = +∞ Remarque :Énoncés analogues en-∞avecI=]-∞;b[et en un réelaavecI un intervalle ouvert contenanta.Démonstration :
1) Théorème des gendarmes : en+∞
On sait que : lim
x→+∞g(x) =limx→+∞h(x) =? D"après la définition des limites, tout intervalle ouvertJcontenant?, contient toutes les valeurs deg(x)eth(x)pourxassez grand.Commeg(x)?f(x)?h(x)il en est de même pourf(x).
Conclusion : lim
x→+∞f(x) =?2) Théorème de comparaison : en+∞
les valeurs deg(x)pourxassez grand.Commef(x)?g(x)il en est de même pourf(x).
Conclusion : lim
x→+∞f(x) = +∞Exemples :
1) Déterminer la limite def(x) =sinx
xen+∞2) Déterminer la limite deg(x) =x+cosxen+∞
PAULMILAN8 TERMINALES
6. THÉORÈMES DE COMPARAISON
1) Pour toutxpositif, on a :
-1?sinx?1, donc : ?x>0-1 x?f(x)?1x or on sait que : lim x→+∞-1 x=0 et limx→+∞1x=0D"après le théorème des Gendarmes,
on a : limx→+∞f(x) =0 1 -1101 xquotesdbs_dbs16.pdfusesText_22[PDF] calcul turnover bilan social
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