[PDF] Mathématiques Nombres et algèbre II Inéquations : théorie générale

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Mathématiques

Nombres et algèbre II

Pierre Mathonet

Département de Mathématique

Faculté des Sciences

Liège, printemps 2016Inéquations : théorie générale

Uneinégalitéest une assertion :

M

1?M2ouM1?M2ouM1M2.

Elle est soit vraie soit fausse.

M1etM2sont les membres de l"inégalité, fomés à partir de nombres et opérations.

3×8+5?2×8+13 est vraie, 3×7+5?2×7+13 est fausse.

Uneinéquationest une inégalité dans laquelle l"un des deux membres ou les deux dépendent de nombres inconnus (notés,x,y,...) Unesolutionest une valeur prise par la ou les inconnue(s) qui rend vraie l"inégalité. Exemple :10 est une solution de 3ξ+5?2ξ+13, mais pas 7.

Résoudre

l"inéquation consiste à déterminer l"ensemble de toutesses solutions. 2

Université de Liège, Faculté des Sciences, Département de Mathématique.Réduction du problème et exemple

Les inégalités larges se ramènent aux inégalités strictes et inversement : M

1?M2≡(M1

L"inégalitéM1?M2est equivalente àM2?M1.

Un exemple : résoudre l"inéquation

1x ?13

Cette inéquation

n"est pas

équivalente à

3 ?x!

Elle est

équ ivalente

à 3-x3x?0.

On a doncS=]- ∞,0[?[3,+∞[.

On peut toujours se ramener à une

étude du signe

M

1?M2?M1-M2?0.4

Université de Liège, Faculté des Sciences, Département de Mathématique.

Inéquations du premier degré

Elles sont de la forme

ax+b>0ou ax+b<0 ouax+b?0 ouax+b?0.

Cas 1 :a>0.On aax+b>0?x>-ba

. On aS=]-ba

Cas 2 :a<0.On aax+b>0?x<-ba

. On aS=]- ∞,-ba Nous avons donc étudié le signe deax+ben fonction dex:

Cas 1 :

a>0 : x-∞- ba+∞ax+b-0+

Cas 2 :

a<0 : x-∞- ba+∞ax+b+0- En résumé :L"expressionax+best de signe constant dans chaque région déterminée par-ba .x-∞- ba+∞ax+bsigne de-a0signe dea•

Remarque :-ba

est la solution de l"équationax+b=0. 5 Université de Liège, Faculté des Sciences, Département de Mathématique.Exemples

1Résoudre l"inéquation 2x-7?0.•

Par équivalences, cette inéquation est équivalente àx?72

On a doncS= [72

On peut utiliser le tableau de signes :x-∞7/2+∞2x-7-0+

2Résoudre l"inéquation

(x-⎷3)(-4x+2)2x+4<0.•

On étudie le signe de chaque facteur.

On fait attention au dénominateur.

On utilise la règle "moins par moins donne plus". •Sous forme de tableau (en ordonnant les nombres utiles) :x-∞-21

2⎷3+∞x-⎷3-----0+

-4x+2+++0---

2x+4-0+++++

(x-⎷3)(-4x+2)2x+4+?-0+0-

On a doncS=]-2,12

[?]⎷3,+∞[.6

Université de Liège, Faculté des Sciences, Département de Mathématique.Inéquations du second degré

On veut étudier le signe deax2+bx+c, oua?=0. On a ax

2+bx+c=?a(x-x1)(x-x2)siΔ?0

a?(x+b2a)2-Δ4a2?siΔ<0, oùx1?x2sont les racines (éventuellement égales) du trinôme.

Cas 1 :Δ>0:on a alo rsx-∞x

1x

2+∞asigne deasigne deasigne deax-x1-0+++

x-x2---0+ ax

2+bx+csigne dea0signe de-a0signe deaCas 2 :Δ<0: ax2+bx+ca toujours le même signe quea.

En résumé :Le trinôme du second degréax2+bx+ca le même signe queadans la région extérieure aux racines du trinôme. 7

Université de Liège, Faculté des Sciences, Département de Mathématique.Systèmes linéaires : exemples I

Exemple 1:Dans un restaurant italien, nous avons commandéquatre pizzas identiques et deux cafés . Cela nous a coûté

38 euros

. La table voisine a commandé cinq pizz asidentiques aux n ôtreset quatre cafés . Leur addition

était

50,5 euros

. Quel est le p rixd"un caf é , et le p rixd"une pizza Exemple 2:Nous commandons encorequa trepizzas identiques et deux cafés .

Mais les

4 convives ont également eu un ap éritif identique, p ourun total de 50
euros . La table voisine a commandé cinq pizzas identiques aux nôtres et q uatre cafés et cinq ap éritifs (identiques) p our

65,5 euros

. Quel est le p rix d"un café d"une pizza et d"un ap éritif Exemple 3:Le lendemain, on commande toujours quatre pizzas identiques et deux cafés, pour 44 euros. La table voisine commande cinq pizzas identiques aux nôtres et quatre cafés pour 58 euros. Une troisième table commande deux pizzas et un café pour une somme de 25 euros.On se pose la question habituelle. 8 Université de Liège, Faculté des Sciences, Département de Mathématique.

Mise en équations

On s"attaque à l"exemple 1 :1Choix et dénomination des inconnues : Appelonsple prix d"une pizza etcle prix d"un café.2Mise en équations : pour notre table on a

4p+2c=38

Celle de la table voisine donne

5p+4c=50,5.

On les rassemble ces équations "{", comme ceci : ?4p+2c=38

5p+4c=50,5.3Résolution de cesystème linéaired"équations : on trouvera un seul

couple de nombres(p;c)qui rend vraies ces deux égalités, à savoir p=8,5 etc=2, ce que l"on écrit(p;c) = (8,5;2).4Vérification des solutions. 9

Université de Liège, Faculté des Sciences, Département de Mathématique.Les exemples 2 et 3

Pour l"exemple 2 :1Soitple prix d"une pizza,cle prix d"un café etale prix d"un apéritif.2Mise en équations : on a deux conditions vérifiées simultanément

par les inconnues :

Pour notre table, on a :

4 p+2c+4a=50.

Pour la table voisine, on a :

5 p+4c+5a=65,5.

On écrit le système?4p+2c+4a=50

5p+4c+5a=65,5.3On résout, et on vérifie. Il y a une infinité de solutions.

Pour l"exemple 3 :1On appelleple prix de la pizza etcle prix d"un café, on obtient :?? ?4p+2c=44

5p+4c=58

2p+c=25.2Il s"agit ici d"un système de 3 équations linéaires à 2 inconnues.

3On résout : il n"y a pas de solutions :S=∅.10

Université de Liège, Faculté des Sciences, Département de Mathématique.Systèmes linéaires : un exemple triangulaire

Exemple

Déterminer tous les couples de nombres(x;y)qui vérifient les conditions ?2x+y=7

2y=6.(1)•

C"est aussi un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues;

Il est plus simple car il est

triangulaire : la deuxiè meéquation ne fait pas intervenir le nombre inconnux.

Le système d"équations (1) est

équivalent

à ?2x+y=7

y=3.(2)

Cela veut dire qu"il a les mêmes solutions.

On a la valeur deydans la deuxième équation, on peut lasubstituer dans la première, que l"on peut résoudre On aS={(2;3)}. 11

Université de Liège, Faculté des Sciences, Département de Mathématique.Systèmes linéaires : Définition

Juste pour avoir une définition formelle :Définition Unsystème linéairedepéquations àninconnues (p,n?N?) est un ensemble d"équations de la forme ?a a p1x1+ap2x2+···+apnxn=bp, où les nombres{a11,...,apn}sont donnés et appelés coefficients du système et où les nombres{b1,...,bp}sont donnés et forment le "terme indépendant".Définition Une solution du système est un n-uplet(x1;...;xn)de nombres qui satisfont toutes les équations.12 Université de Liège, Faculté des Sciences, Département de Mathématique.

Types de systèmes et équivalences

Définition

Un système linéaire (S) est

incompatibles"il n"a pas de solution; déterminés"il a une seule solution;

indéterminés"il admet une infinité de solutions.Il n"y a pas d"autre possibilité. Je vous passe la démonstration.

Définition

Deux systèmes linéaires(S1)et(S2)sont ditséquivalents si ils admettent le même ensemble de solutions. On note alors(S1)?(S2). Si toute solution de(S1)est solution de(S2), on dit que(S1)implique(S2)et on note(S1)?(S2).Idée de résolution :transfo rmerun système en un s ystèmeéquivalent, mais plus simple. Répéter l"opération jusqu"à pouvoir résoudre le dernier système. Ses solutions seront alors exactement les solutions du premier.13 Université de Liège, Faculté des Sciences, Département de Mathématique.Exemples

1Le système d"équations en les inconnuesx,y?5x+4y=2

y=3 est déterminé puisqu"on aS={(-2;3)}.2Le système d"équations enx,ydonné par?5x+4y=2

10x+8y=4

est équivalent au système 5x+4y=2 et est indéterminé puisqu"il admet comme ensemble de solutions

S=??2-4y5

;y? :y?R? .3Le système ?5x+4y=2

10x+8y=5

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