[PDF] Etudes sur lenseignement des mathématiques v. 5: L

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Volume 5 mathématiques L'enseignement

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Unesco

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L'enseignement des sciences fondamentales

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Etudes sur

l'enseignement des mathématiques

L'enseignement

de la géométrie

Volume 5

préparé sous la direction de Robert Morris

Publié en 1987

par l'Organisation des Nations Unies pour l'éducation, la science et la culture

7, place de Fontenoy, 75700 Paris

Composition :

Solent Typesetting Ltd, Otterbourne, Royaume-Uni

Impression :

Imprimerie Floch, Mayenne, France

ISBN 92-3-202373-3

0 Unesco 1987

Préface

Etudes sur 1 'enseignement des ma théma tiques, comme Tendances nouvelles de l'enseignement des mathématiques, est publié dans le cadre du programme de 1'Unesco visant à améliorer l'enseignement des mathématiques en fournissant des ressources documentaires aux responsables de cet enseignement. Les lecteurs des quatre premiers volumes des Etudes ont fait savoir combien la publication d'informa- tions en provenance de toutes les régions du monde leur paraissait utile. Il n'y a pas de consensus sur le contenu des programmes scolaires de géométrie. En vue de faciliter les décisions à prendre dans ce domaine, le présent volume est donc consacré à l'enseignement de la géométrie à l'école. Il présente un panorama de la pratique actuelle dans le monde et suggère des orientations pour l'avenir. La question est abordée sous deux angles : certains chapitres traitent de cet enseignement aux divers niveaux et d'autres rendent compte de la situation dans diverses régions. L'Unesco tient à remercier le directeur de la publication, Robert Morris, les nombreux spécialistes de pédagogie des mathématiques qui ont fourni des renseignements sur le programme de géométrie de leur pays, ainsi que les auteurs de ce volume des Etudes sur l'enseigne- ment des mathématiques. Les idées et les opinions exprimées dans cet ouvrage sont celles des auteurs et ne reflètent pas nécessairement les vue de 1'Unesco ou du directeur de la publication.

Table des matières

Introduction

Evolution de l'enseignement de la géométrie dans trois Etats arabes Hicham Bannout et Mansour Hussain 9 13 La géométrie pour les enfants de 13 ans au Canada et aux

Etats-Unis d'Amérique David F. Robitaille et

Kennet?z J. Travers 23

L'enseignement de la géométrie en Amérique latine

Emilio Lluis 33

La géométrie en Asie du Sud-Est Lee Peng-yee et Lim

Chong-keang 45

La géométrie des transformations : rétrospective D. K. Sinha 49 La géométrie au niveau secondaire en Sierra-Leone Adonis

F. Labor 53

La géométrie à l'école primaire : le possible et le souhaitable

Jan de Lange Jzn 61

Quelques problèmes relatifs à l'enseignement de la géométrie aux élèves de dix à quatorze ans Milan Koman, FrantiSek h'urina et Marie Tichà L'enseignement de la géométrie en Union soviétique L. Yu. Chernysheva, V. V. Firsov et S. A. Teljakovskii La crise de l'éducation géométrique G. Glaeser Analyse de l'enseignement de la géométrie au Royaume-Uni

D. S. Fielker 83

101
113
129
Quelques obstacles à l'apprentissage de la géométrie Alun

J. Bishop 149

La formation des enseignants et l'enseignement de la géométrie

Bruce E. Meserve et Dorothy T. Meserve 171

Les cours de géométrie plane sur micro-ordinateur au niveau du secondaire Max S. Bell 187

Notices biographiques 209

Introduction

"De toutes les décisions à prendre dans le cadre d'un projet d'aménagement des programme scolaires quant au choix des contenus, la plus controversée et la plus difficile à défendre est généralement celle qui concerne la géométrie" ' . Ces mots ont été écrits en 1970. Ils figurent dans le rapport d'une conférence sur l'enseignement de la géométrie organisée par les membres de l'équipe responsable du Comprehensive School Mathematics Project (CSMP) - projet relatif à l'enseignement des mathématiques dans les écoles polyvalentes - aux Etats-Unis d'Amérique. Depuis lors, deux autres grandes conférences ont eu lieu sur le même thème : l'une à Bielefeld (République fédérale d'Allemagne) en 1974, et l'autre à Mons (Belgique) en 1982. Les conclusions de ces conférences et de diverses réunions tenues ces dernières années en Afrique, en Asie, en Europe, en Amérique du Nord et en Amérique du Sud se recoupent, mais seulement de façon négative. Il n'y a pas de consensus sur ce que devrait être le contenu de l'enseignement scolaire de la géométrie et beaucoup de pédagogues accueilleraient favorablement une étude générale de la question. C'est pourquoi il a été jugé bon de consacrer la totalité du présent volume des Etudes à la géométrie. Le projet a suscité des réactions extrêmement encourageantes et 1'Unesco renouvelle ses remerciements aux auteurs (originaires de plus de 20 pays différents) qui - on le constatera en lisant les pages ci-après - ont permis de brosser le tableau de la situation qui est actuellement celle de l'enseignement de la géométrie dans le monde, au niveau des établissements du premier et du second degrés ainsi que de la formation des maîtres. Le volume commence par une étude de la pratique actuelle dans divers régions et pays du monde. Cette étude comprend six parties : quatre études régionales et deux études nationales. La première étude régionale rend compte des incidences qu'a eues le projet régional de réforme de l'enseignement des mathématiques lancé par 1'Unesco en

1. The CSMP staff, The CSMP development in geometry, Educational Studies in Mathematics

@ordrecht/Boston),

Vol. 3, No. 3/4, juin 1971, p. 281.

9

Introduction

1967 sur l'enseignement de la géométrie dans trois Etats arabes. La

deuxième, qui a trait à l'enseignement de la géométrie au Canada et aux Etats-Unis d'Amérique, est fondée sur les conclusions de la deuxième étude internationale sur les mathématiques réalisée sous les auspices de l'Association internationale pour l'évaluation du rendement scolaire (International Association for the Evaluation of Educational Achievement, IEA). Vient ensuite un résumé des tendances et des faits nouveaux enregistrés dans les pays d'Amérique latine depuis les bouleversements liés au mouvement de réforme des années 60. La quatrième étude régionale concerne le groupe de pays d'Asie du Sud-Est formé des membres de I'ANASE et de Hong Kong, pays qui ont des mathématiques des conceptions voisines, s'exprimant dans les activités de la Southeast Asian Mathematical Society (Société mathématique d'Asie du Sud-Est). Les deux études nationales émanent de l'Inde et de la Sierra-Leone. Dans la première, le professeur Sinha jette un regard rétrospectif sur la géométrie des transformations et montre qu'on peut lui trouver des antécédents indéniables dans la géométrie euclidienne, dont il présente une défense brève mais éloquente. L'article d'Adonis Labor qui suit, sur la géométrie enseignée dans les écoles de la Sierra-Leone, indique quelles sont les connaissances exigées des candidats aux examens dans les pays anglophones de l'Afrique de l'ouest. Après cet aperçu de la situation actuelle de l'enseignement de la géométrie, le professeur de Lange, des Pays-Bas, s'interroge dans sa contribution sur ce qu'il est possible et ce qu'il est souhaitable de faire en géométrie au niveau de l'école primaire. Pour l'auteur, les réponses résident dans la méthode plutôt que dans le contenu de l'enseignement. Et cette méthode devrait avoir pour but, en bref, d'aider les enfants à "percevoir l'espace", idée qu'il expose de façon très vivante et illustre abondamment. Les problèmes que soulève l'enseignement de la géométrie dans le cas d'enfants un peu plus âgés - ceux des grandes classes de l'école primaire ou du premier cycle du secondaire - sont évoqués par Milan Koman et ses collègues tchécoslovaques. Cet article passionnant repose sur un travail expérimental réalisé avec des élèves de 10 à 14 ans dans sept établissements scolaires de Prague. La géométrie enseignée à ces enfants est liée à leur environnement, est fondée sur la résolution de problèmes, fait appel à l'algorithmisation et au mouvement, inclut la démonstration mais rejette toute axiomatique. De nombreux exemples montrent comment ces principes sont appliqués. La géométrie dans le second cycle de l'enseignement secondaire n'est pas abordée en tant que telle dans le présent volume, mais trois études de cas illustrent la pratique réelle en URSS, en France et au Royaume- Uni. La première de ces études traite avec objectivité du problème qui consiste à concilier un enseignement de conception logique avec 10

Introduction

l'immaturité mentale des jeunes enfants et avec la nécessité, dans le monde moderne, de comprendre les transformations géométriques, les méthodes analytiques et l'algèbre vectorielle. L'auteur est ainsi amené à s'interroger sur le rôle des axiomes, des définitions, de l'heuristique, des théorèmes et des exercices d'application et à se demander si la géométrie doit faire l'objet d'un cours séparé ou si son enseignement doit être intégré à celui de l'algèbre. L'expérience soviétique reflète à bien des égards celle de beaucoup d'autres pays. Les solutions trouvées en URSS sont donc d'autant plus intéressantes. L'expérience française est analysée en relation avec la crise de société qu'engendre l'évolution rapide des connaissances. En France, les mathématiques et la géométrie, en particulier, sont considérées comme étant d'une importance primordiale, localement inutiles et globalement indispensables. La géométrie joue, à l'égard de la société et de l'industrie, un quintuple rôle : elle est la science de l'espace ; elle est un modèle de précision et d'argumentation logique ; elle est un moyen de stimuler et de développer le raisonnement ; elle est un langage heuristique ; elle est l'art des transformations. L'article du Royaume-Uni rend compte clairement d'une situation confuse. Il est rédigé sur le mode historique car, dans ce pays, l'enseigne- ment de la géométrie peut être décrit comme une guerre de 100 ans contre les Eléments d'Euclide. De cette guerre, qui s'est déroulée hors de la contrainte de tout programme scolaire arrêté de concert, s'est dégagé un consensus sur les "processus" plutôt que sur les "contenus". Les études de cas sont suivies d'une analyse des obstacles à l'appren- tissage de la géométrie, qui sont rangés sous trois grandes rubriques : apprentissage de l'espace, apprentissage de la mathématisation de l'espace (classement, description, établissement des relations) et appren- tissage de la géométrie proprement dite. L'analyse est particulièrement pénétrante et pose un certain nombre de questions importantes qui demandent à être étudiées de façon approfondie pour pouvoir ensuite être prises en considération dans la pratique de la formation des maîtres. Vient ensuite un chapitre sur la formation des enseignants, rédigé par un couple de professeurs et fondé sur l'expérience acquise au cours de longues années de travail aux Etats-Unis d'Amérique dans le domaine de la formation pédagogique. Les auteurs y passent en revue les besoins des étudiants et les techniques qu'ils doivent apprendre à utiliser pour pouvoir adapter leur enseignement aux différents niveaux de développe- ment mental qu'ils rencontreront dans leur pratique enseignante. Les conséquences à tirer de cette analyse sont ensuite précisées et nombre d'approches utiles sont suggérées. Le volume se termine par une incursion dans un avenir que nous vivons déjà. Il est question d'un cours de géométrie conçu par une entreprise commerciale, qui fait appel au micro-ordinateur et est destiné aux écoles secondaires des Etats-Unis d'Amérique. Ce cours vise à 11

Introduction

inculquer aux élèves à la fois des notions intuitives de géométrie et la capacité de reproduire des démonstrations géométriques de type formel à la manière euclidienne. Le système s'articule autour de deux programmes fondamentaux, "Geodraw" et "Proofchecker", aux noms évocateurs. L'auteur affirme qu'il permet d'atteindre les deux principaux objectifs visés et présente en outre l'avantage inestimable de préparer les élèves à la vie qui les attend en cette ère nouvelle de l'informatique. 12

Hicham Bannout et Mansour Hussain

Evolution de l'enseignement de la

géométrie dans trois Etats arabes Dans cette brève étude nous allons relever les principaux caractères des processus de développement de l'enseignement de la géométrie dans trois Etats arabes : le Koweit, la Tunisie et le Liban. Notre étude traitera, d'une part, des changements des programmes des sections scientifiques qui ont eu lieu dans ces pays au cours des dernières décennies, et d'autre part, des idées pédagogiques qui ont accompagné ces changements et certains aspects de la pratique enseignante. Première partie : Etude des programmes antérieurs au mouvement de réforme des années 60 Dans cette partie nous analysons les caractères de l'étape qui a précédé le mouvement international de réforme des années 60. En consul- tant les tableaux du nombre d'heures consacrées à l'enseignement des mathématiques (Unesco, 1969), nous constatons que cet enseignement venait au deuxième rang, après l'enseignement de la langue arabe, et qu'on lui accordait une place aussi importante que dans les pays développés. Quant aux contenus et aux méthodes d'enseignement utilisées, ils peuvent être qualifiés de classiques et traditionnels. 11 s'agissait d'un enseignement incapable de développer les capacités de l'élève à découvrir les mathématiques, car il s'intéressait à la résolution mécanique des problèmes, sans apporter une vraie compréhension de la notion mathématique sous-jacente ni une maîtrise valable du raisonne- ment utilisé. L'importance qui était accordée à l'enseignement de la géométrie variait d'un pays à l'autre. Au Koweit, et dans les Etats du Golfe en général, on n'accordait pas beaucoup d'importance à cet enseignement, la matière dominante dans l'éducation mathématique étant l'algèbre. A l'école élémentaire (4 ans d'enseignement), on ne faisait pas de géométrie, et à l'école moyenne (4 ans) on s'intéressait peu à l'enseignement de cette matière. Au début de l'enseignement secondaire (4 ans), on enseignait, parfois d'une façon imprécise, certaines notions de la géométrie classique (droite, triangle, cercle). En première année, trois heures hebdomadaires sur six de l'en- 13

Hicham Bannout et Mansour Hussain

seignement des mathématiques étaient consacrées à la géométrie, et deux heures sur cinq en deuxième année. Mais il semble que ces heures étaient en fait une perte de temps pour les élèves, et le rendement de l'enseignement était insatisfaisant. En troisième année, trois heures d'enseignement de géométrie sur sept heures hebdomadaires étaient insuffisantes pour l'étude d'une partie de la géométrie dans l'espace (plans et droites) et de quelques notions préliminaires de la géométrie analytique. En dernière année on faisait en trois heures, sur huit heb- domadaires, de la trigonométrie, de la géométrie dans l'espace (volumes de quelques solides), et de la géométrie analytique (équations de droite et de cercle, longueurs de segments de droite). En Tunisie, on estimait que "la géométrie reste le stimulant par excellence de l'esprit de recherche et de l'intuition" (Tunisie, 1959, p. 3), mais on se référait à l'expérience pour conclure qu'elle était difficile. L'algèbre et l'analyse étaient considérées comme les "éléments de base dans la recherche mathématique moderne et sont plus facilement accessibles à la majorité des élèves" (ibid.). Aussi lisons-nous qu'on a jugé utile de réduire l'importance qu'on doit accorder à la géométrie, sans pour autant négliger sa valeur formative, et qu'on a mis l'accent sur l'algèbre et l'analyse (ibid. ).quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

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