[PDF] Exploration de la géométrie hyperbolique. - Radio

Est-ce que la géométrie hyperbolique est valable ?

En géométrie hyperbolique, la plupart des propriétés métriques de la géométrie euclidienne ne sont plus valables ; en particulier le théorème de Pythagore n'est plus vérifié, et la somme des angles d'un triangle est toujours inférieure à 180°.

Qu'est-ce que l'espace hyperbolique ?

Comme dans le modèle de Klein-Beltrami, l'espace hyperbolique est représenté dans ce modèle par une boule ouverte euclidienne (et donc par un disque en dimension 2), mais les droites de cet espace hyperbolique sont des arcs de cercles perpendiculaires au bord de la boule ; la distance est définie par la métrique de Poincaré.

Comment calculer la géométrie hyperbolique ?

On obtient la géométrie hyperbolique à partir de la géométrie absolue en remplaçant l'axiome des parallèles (ou plus exactement la version qu'en a donné Proclus note 3) par un axiome affirmant par exemple que « il existe au moins deux droites concourantes parallèles à une même troisième ».

Quelle est là droite d'un espace hyperbolique ?

Les droites de cet espace hyperbolique sont des arcs de cercles perpendiculaires à l'hyperplan (ou à la droite en dimension 2) limitant le demi-espace ; la distance est définie à l'aide de la métrique La représentation est là aussi conforme.