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A. P. M. E. P.
?Corrigé du baccalauréat S Polynésie?5 septembre 2017
EXERCICE16 points
Commun à tous les candidats
Un parc d"attraction propose à son public un tout nouveau grand huit. Pour des raisons de sé-curité, son accès n"est autorisé qu"aux personnes dont la taille est supérieure ou égale à 1,40 m
et dont l"âge est compris entre 10 et 70 ans. Des études statistiques sont menées pour évaluer
l"affluence et la satisfaction des visiteurs pour ce manège.1. a.La taille en centimètres d"un visiteur du parc, choisi au hasard, est modélisée par la
variable aléatoireTqui suit la loi normale d"espérance 165 et d"écart-type 20. La probabilité qu"un visiteur ait la taille requise pour accéder à ce grand huit estP(140?T)≈0,8944.
b.L"âge d"un visiteur du parc, choisi au hasard, est modélisé par la variable aléatoireX qui suit la loi normale d"espérance 30 et d"écart-type 17. La probabilité qu"un visiteur ait l"âge requis pour accéderà ce grand huit estP(10?X?70)≈0,8710.
c.Lesétudesmenées permettent d"établirque89%desvisiteurs ontlatailleexigée,87% ont l"âge requis mais 8% n"ont ni la taille, ni l"âge obligatoires. On désigne par T les personnes ayant la taille requise et par Xcelles qui ont l"âge requis. On regroupe ces informations dans un tableau que l"on complète :TTTotal
X84%3%87%
X5%8%13%
Total89%11%100%
On voit ainsi que ceux qui ont à la fois la taille et l"âge requis sont 84%. moins de 30 min avant de pouvoir essayer le manège. Parmi elles, 95% sont satisfaites de l"attraction. En revanche, 22% des personnes ayant attenduplus de 30 min ne sont pas satisfaites de l"attraction. On choisit au hasard un visiteur à sa sortie du grand huit.On noteAl"évènement "le visiteur a attendu plus de 30 min» etSl"évènement "le visiteur
est satisfait de l"attraction». On regroupe ces informations dans un arbre pondéré : A1-0,25=0,75
S1-0,22=0,78
S0,22 A0,25S0,95
S1-0,95=0,05
a.La probabilité qu"un visiteur soit satisfait est, d"après la formule des probabilités to- tales :P(S)=P(A∩S)+P(Baccalauréat S - corrigéA. P. M. E. P.
b.Le directeur rencontreunvisiteur insatisfait. La probabilitéque cevisiteur ait attendu moins de 30 min est :PS(A)=P(S∩A)
P(S)=0,25×0,051-0,8225≈0,0704.
3.Le directeur est soucieux de savoir si le temps d"attente, plus important les jours de grande
sonnes au hasard à la sortie du grand huit. Parmi elles, 46 se disent insatisfaites. n=200?30,np=200×0,1775=35,5?5 etn(1-p)=200×0,8225=164,5?5, donc les conditions sont vérifiées pour déterminer un intervallede fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la proportion de visiteurs insatisfaits : I=? p-1,96? p(1-p)?n;p+1,96? p(1-p)?n?0,1775-1,96?
0,1775(1-0,1775)?200; 0,1775+1,96?
0,1775(1-0,1775)?200?
≈[0,1245 ; 0,2305] Sur 200 personnes, 46 se disent insatisfaites, ce qui fait une fréquence def=46200=0,23.
Cette fréquence appartient àIdonc, au risque de 5%, on peut rassurer le directeur.EXERCICE26 points
Commun à tous les candidats
PartieA
On s"intéresse à l"évolution au cours du temps d"une tumeur composée de cellules cancéreuses.
On noteN(t)le nombre de cellules cancéreuses après un tempstexprimé en semaines etN(0)= N0le nombre de cellules cancéreuses au premier examen.
Pour tout réeltpositif ou nul, on admet qu"il existe un nombreatel queN(t)=N0eat.1.Des cultures en laboratoire ont montré que le nombre de cellules de la tumeur double en
14 semaines; cela signifie queN(t+4)=2N(t). On résout cette équation d"inconnuea:
??e14a=2??14a=ln(2)??a=ln(2) 142.En arrondissant la valeur deaobtenue, on peut écrire pour tout réelt?0,N(t)=N0e0,05t.
La plus petite tumeur détectable au toucher contient environ 109cellules. Lorsqu"une tu-meur est détectable, on décide d"opérer le patient afin de la retirer. Or, après intervention,
il est possible qu"il reste jusqu"à 104cellules indétectables.
Onadmetqu"au tempst0il yaN(t0)=104cellules danslatumeur. Onchercheladifférence t-t0avecN(t)=109.N(t)=109??N0e0,05t=109
N(t0)=104??N0e0,05t0=104?
=?N0e0,05tN0e0,05t0=109104??e0,05(t-t0)=105
??0,05(t-t0)=ln?105???t-t0=ln?105? 0,05 ln?105?0,05≈230; c"est doncau bout de230 semaines que la tumeur pourraitredevenir détec-
table au toucher.Polynésie25 septembre 2017
Baccalauréat S - corrigéA. P. M. E. P.
PartieB
Pour atténuer le risque de récidive, le médecin peut proposer de compléter l"opération par une
chimiothérapie. Lors d"un traitement par chimiothérapie en intraveineuse, la concentration dumédicament dans l"organisme, exprimée enμmol.L-1, peut êtremodélisée en fonction dutemps
t, exprimé en heure, par la fonctioncdéfinie sur l"intervalle [0 ;+∞[ par c(t)=D k? 1-e-k 80t?où •Dest un réel positif qui représente le débit d"écoulement du médicament dans la perfu-
sion, exprimé en micromole par heure;•kest un réel positif qui représente la clairance du patient, exprimée en litre par heure.
1.Afin de déterminer la clairance, on effectue les mesures suivantes. On règle le débit de la
perfusion sur 112μmol.h-1; au bout de 6 heures, on prélève un échantillon de sang du patient et on mesure la concentration du médicament : elle est égale à 6,8μmol.L-1. a.c(6)=6,8??112 k? 1-e-k80×6?
=6,8??112?1-e-340k?
=6,8k ??112? 1-e-3 40k?-6,8k=0. b.Soitfla fonction définie surRparf(x)=112? 1-e-3 40x?
-6,8x. f ?(x)=112×3 40e-3
40x-6,8=8,4e-340x-6,8
f ?(x)>0??8,4e-340x-6,8>0??e-340x>6,88,4?? -340x>ln?6,88,4?
??x<-403ln?6,88,4?
. On posex0=-403ln?6,88,4? ; alorsx0≈2,82. f(0)=112?1-e0?-6,8×0=0;f(x0)≈2,17 etf(10)≈-8,9<0. On établit le tableau de variations defsur[0 ;+∞[et on place 10 : x0x0+∞ f?(x)+++0--- ≈2,17 f(x) 0 ≈-8,910 D"après le tableau de variations def, on peut déduire que l"équationf(x)=0 admet une solution uniqueαsur]0 ;+∞[. c.f(5)≈1,02>0 etf(6)≈-0,21<0 doncα?[5 ; 6]; f(5,8)≈0,066>0 etf(5,9)≈-0,072<0 doncα?[5,8 ; 5,9]; f(5,84)≈0,012>0 etf(5,85)≈-0,002<0 doncα?[5,84 ; 5,85]; donc une valeur approchée de cette solution est 5,85. au bout de 6 heures, la concentration du médicament est de 6,8μmol.L-1.2. a.On détermine la limite dec(t) quandttend vers+∞.
k>0 donc limt→+∞-k80t=-∞
on poseT=-k 80tlim =?limt→+∞e-k
80t=0=?limt→+∞Dk?
1-e-k 80t?=Dk
Donc lim
t→+∞c(t)=D k.Polynésie35 septembre 2017
Baccalauréat S - corrigéA. P. M. E. P.
b.La concentration du médicament dans le sang se rapproche rapidement de sa limite ?. Pour que le traitement soit efficace sans devenir toxique, cette concentration limite doit être de 16μmol.L-1.La limite égale à
D kest de 16μmol.L-1pour une clairancekde 5,85 L.h-1. Donc D5,85=16 doncD=93,6μmol.h-1.
EXERCICE33 points
Commun à tous les candidats
On rappelle que pour tout réelaet tout réelb, cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b). Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct?O,-→u,-→v?
On considère la droiteDd"équationy=-x+2.
1.Si le réelθappartient à l"intervalle?
4;3π4?
, alors4<θ<3π4?? -π4-π4<θ-π4<3π4-π4?? -π2<θ-π4<π2et donc cos?
θ-π4?
>0.2.SoitMunpoint duplancomplexe d"affixeznonnulle. Onposez=ρ?
cos(θ)+isin(θ)? avec4;3π4?
Le nombreza donc pour partie réellex=ρcos(θ) et pour partie imaginairey=ρsin(θ). D"après la formule cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b), on a : cos? 4? =cos(θ)cos?π4? +sin(θ)sin?π4? =cos(θ)×? 22+sin(θ)×?
2 2=? 2 2? cos(θ)+sin(θ)? • Si le pointM(z) appartient à la droiteD, alorsy= -x+2; on en déduit quex+y=2 ce qui équivaut àρcos(θ)+ρsin(θ)=2 ou encoreρ? cos(θ)+sin(θ)? =2 Orcos 4? 2 2? cos(θ)+sin(θ)? doncρcos?θ-π4?
22×ρ?
cos(θ)+sin(θ)? doncρcos?
4? 22×2 et doncρcos?
θ-π4?
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