Le chemin le plus court
Le chemin le plus court est Mathias-Julie-Kevin-. Fabien-Léo (ou dans le sens inverse) avec une distance de 152 km. 80 jeux de maths pour le cycle 3. Jeuxmaths
Du chemin le plus court au chemin minimal
Si les villes forment un angle supérieur à 120° il faut construire deux routes reliant les villes en choisissant les trajets les plus courts. Page 2. MATh.en.
Numé e t S e c fo t u - Plus court chemin dans un
qu'on peut importer du module math par la commande from math import inf. Dans le cadre d'un graphe euclidien on fournira les coordonnées cartésiennes des
Le chemin le plus court
on obtient un chemin plus court. Notons EF = x. En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle DEF rectangle en F on obtient : MATh.en.JEANS 2014 -
4 Droites perpendiculaires
May 6 2021 ou le cahier de géométrie. Maths au CM1 page 6. ➀ Appropriation du ... Le chemin le plus court est le chemin 3. La validation s'effectue en ...
le plus court chemin
Oct 11 2013 Math. Ann. (2010) 346:335–366. DOI 10.1007/s00208-009-0401-1. Mathematische Annalen. The existence of two closed geodesics on every. Finsler 2 ...
Brachistochrone : le chemin le plus court est-il toujours le plus rapide
Le chemin le plus court est évidemment le segment [AB] ; cependant l'expérience nous montre que ce n'est “MATh.en.JEANS” au Palais de la Découverte — 1992.
GRAPHES (Partie 2)
Remarque : Le chemin le plus court entre deux sommets est le chemin qui a le poids minimum. 3) Matrice associée à un graphe orienté. Définition : Soit un graphe
Droites perpendiculaires
Déterminer le plus court chemin entre deux points. 1 Sur ce plan les points A et B indiquent l'emplacement de deux ponts sur une rivière.
Formes math 356.qxd
en quoi il se trompait (encadré Pour aller plus loin) ! LE CHEMIN LE PLUS COURT. N'EST PAS TOUJOURS LE PLUS RAPIDE. La cycloïde est une véritable mine de
Le chemin le plus court
Le chemin le plus court effectuer le trajet le plus court ? (N'oublie pas de compter le trajet de retour chez Mathias). 80 jeux de maths pour le cycle 3.
Numé e t S e c fo t u - Plus court chemin dans un
On pourra alors initialiser le tableau des poids de la façon suivante. from math import infsqrt. # distance euclidienne entre deux points représentés par des
le plus court chemin
11 oct. 2013 Le plus court chemin. Colette Anné ... Math. Ann. (2010) 346:335–366. DOI 10.1007/s00208-009-0401-1. Mathematische Annalen.
GRAPHES (Partie 2)
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr Le chemin le plus court entre deux sommets est le chemin qui a le poids minimum.
À la recherche du plus court chemin
L'algorithme de Dijkstra est actuellement enseigné en spécialité maths en terminale ES. Le GPS est donc un point d'entrée très intéressant pour aborder un
M1 MEEF Second Degré Maths option Info - Cheminements dans
Dijkstra. Plus courts chemins entre tous les sommets. Chemin Eulérien chemin Hamiltonien. Chemin Eulérien. Chemin Hamiltonien. Optimisation combinatoire.
Brachistochrone : le chemin le plus court est-il toujours le plus rapide
Le chemin le plus court est évidemment le segment [AB] ; cependant toire cycloïdale prenait plus de vitesse dès le ... “MATh.en.
Synthèse « La Rivière »
Il y est question de « problèmes de plus court chemin » (ce qui donne le paysage de notre problème « la rivière ») mais aussi de films de savon
DISTANCES Activité 1
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr 3) On construit un chemin le plus court possible
Enseignement scientifique
21 juin 2019 Le plus court chemin entre deux points à la surface de la ... 2 : la rotondité de la Terre (source Hors-Série CLEA Maths et astronomie).
4 Calcul du plus court chemin Lelivrescolairefr
E W Dijkstra (1930-2002) a proposé en 1959 un algorithme qui permet de calculer le plus court chemin entre un sommet particulier ettous les autres dansun graphe pondéré donttous les poids sont positifs L’algorithme comporte une phase d’initialisation À chaque sommet on attribue un poids qui vaut 0 pour le sommet
Le chemin le plus court - ac-bordeauxfr
Le chemin le plus court Situation : Le Petit Chaperon rouge est poursuivi par le loup Il y a trois chemins possibles pour rejoindre la maison de Mère-Grand Lequel est le plus court ? Objectifs d’apprentissage Mathématiques Classer ranger des objets selon un critère de longueurs Comparer des longueurs de manière directe ou indirecte
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On cherche a calculer le plus court chemin de tous les sources vers une destination x ee i2V Dijkstra Algorithme 1 : Dijkstra Donn ees : G= (V;A;w) w 0; R esultat : d: V !R les longueurs des chemins les plus courts de tous les sommets vers i; ?: V !R le premier sommet d’un chemin le plus court vers i; d ebut d(k) ˆ 0 si k= i +1 sinon
Comment trouver le chemin le plus court entre un point et une droite ?
Vous devez disposer d'une connexion internet pour accéder à cette ressource. Pour connaitre le chemin le plus court entre un point A et une droite d, on trace la droite perpendiculaire à d passant par A. On appelle B le point d'intersection entre les deux droites. Alors la distance la plus courte entre le point A et la droite d est la longueur AB.
Comment calculer le court chemin entre deux droites parallèles ?
Le court chemin entre deux droites parallèles d et d? est obtenu en traçant n'importe quelle droite perpendiculaire aux deux droites. Si on note A et A' les points d'intersection entre cette perpendiculaire et les droites d et d?, alors la distance entre les deux droites est la longueur AA'.
Quels sont les concepts mathématiques les plus courants de CM1 ?
La multiplication est l’un des concepts mathématiques les plus courants que les élèves de CM1 rencontrent. Même les jeunes enfants apprennent facilement à multiplier en utilisant diverses stratégies de comptage.
Quel est le chemin le plus court sur une sphère ?
Le chemin le plus court sur une sphère est l' orthodromie. Cependant, les anciens navigateurs préféraient suivre la loxodromie. En effet, cette dernière est une route à " cap constant " qui conserve…
Chapitre 3
GRAPHES:PLUS COURT CHEMIN
IGRAPHE PONDÉRÉ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
1 définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 179
2 longueur d"un chemin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
IIALGORITHME DE DIJKSTRA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
EXERCICES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
A. YALLOUZ(MATH@ES)178
Lycée JANSON DE SAILLYAnnée 2017-2018
GRAPHES:PLUS COURT CHEMINTleES 4
La recherche du meilleur itinéraire que ce soit en distance,en temps ou en coût d"un point à un autre peut être
modélisée par la recherche du plus court chemin dans un graphe.Dansceparagraphe,ons"intéresse àlarecherched"unplus courtchemindansungrapheentredeuxsommets donnés.
I GRAPHE PONDÉRÉ
1DÉFINITION
On appellegraphe pondéré,un graphe (orienté ou non) dont les arêtes ont été affectéesd"un nombre appelé poids
(ou coût).Par analogie avec la matrice d"adjacence, on peut définir la matrice des poidsP?ai,j?du graphe, dont les coefficients
a i,jcorrespondent aux poids des arêtes (ou des arcs dans le cas d"un graphe orienté) : a i,j=?????0 sii=j ∞s"il n"existe pas d"arêtes ( ou d"arc) entre les sommetsxietxj p ijoùpijest le poids de l"arête ( ou de l"arc) entre les sommetsxietxj On utilise le symbole∞pour indiquer qu"il n"y a pas d"arêtes entre deux sommets.EXEMPLE
8 377 10 6 3 12 3 6 11 1 11 AB CDE FLes sommets du graphe étant rangés dans l"ordrealphabétique :
P=(((((((((0 8∞ ∞3∞
7 0 7∞ ∞10
∞6 0 3∞ ∞11∞ ∞0∞3
∞6∞11 0∞ ∞ ∞1∞12 0)))))))))2LONGUEUR D"UN CHEMIN
SoitC(x,y) un chemin (ou une chaîne) dans un graphe pondéréGdu sommetxvers le sommety. La longueur de
ce chemin est égale à la somme des poids de chacun arcs ( ou de chacune des arêtes) qui le constituent.
REMARQUE
Cette définition généralise la définition de la longueur d"une chaîne dans un graphe non pondéré, il suffit d"attribuer
un poids égal à 1 à chaque arête du graphe. Dans l"exemple précédent, la longueur du cheminAEBFest 19.Si on souhaite déterminer le plus court chemin du sommet A au sommet F, on peut essayer d"énumérer tous les
cheminsABF,AEBF,AEDF,ABCDF,AEBCDFet calculer leurs longueurs. Mais avec un graphe de taille plus importante, ceci risque de devenir rapidement impossible. Pour résoudre ce problème, on fait appel à des algorithmes.En terminale ES, on n"étudie que le cas particulier oùlespoids de tous les arcssont des réelspositifs.
II ALGORITHME DE DIJKSTRA
E. W. Dijkstra (1930-2002) a proposé en 1959 un algorithme qui permet de calculer le plus court chemin entre un
sommet particulier et tous les autres dans un graphe pondérédont tous les poids sont positifs.L"algorithme comporte une phase d"initialisation. À chaque sommet on attribue un poids qui vaut 0 pour le sommet
de départ et infini pour les autres sommets.A. YALLOUZ(MATH@ES)179
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GRAPHES:PLUS COURT CHEMINTleES 4
Le traitement de l"algorithme consiste à examiner les sommets les uns après les autres et à sélectionner le sommetx
auquel on a affecté la plus petite distance du sommet de départ jusqu"àx. On recommence tant qu"il reste des sommets à sélectionner. SoitGun grapheconnexedont les arêtes sont pondérées par des nombrespositifs.NOTATIONS:
Sla liste des sommets du graphe
s0le sommet du graphe à partir duquel on veut déterminer les plus courts chemins aux autres sommets
l(x,y) le poids de l"arête entre deux sommetsxety s(x) la longueur d"un chemin du sommetss0au sommetx V +(x) la liste des successeurs du sommetx p(x) le prédécesseur du sommetxXliste des sommets restant à traiter.
Eliste des sommets déjà traités.
INITIALISATION:
POURCHAQUEx?SFAIREδs(x)=∞On attribue un poids∞à chacun des sommets x s(s0)=0Le poids du sommet s0est nul X=SLa liste des sommets restant à traiter est initialisée à S E=∅La liste des sommets déjà traités videTRAITEMENT:
TANT_QUEX?=∅FAIRETant que la liste des sommets restant à traiter n"est pas vide Sélectionner dans la listeXle sommetxavecδs(x) minimumRetirer le sommetxde la listeX
Ajouter le sommetxà la listeE
POURCHAQUEy?V+(x)∩XFAIREOn examine tous les successeurs y du sommet x qui ne sont pas traités
SIδs(y)>δs(x)+l(x,y)ALORS
δs(y) prend la valeurδs(x)+l(x,y)La distance du sommet s0au sommet y est minimale p(y)=xle sommet x est le prédécesseur du sommet y FINSIFINPOUR
FINTANT_QUE
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GRAPHES:PLUS COURT CHEMINTleES 4
EXEMPLE
Considérons le graphe suivant :
8 3 7 7 10 6 3 12 3 6 11111 AB CDE F On souhaite déterminer le plus court chemin du sommet A au sommet F.
ABCDEFSommets
sélectionnés0∞∞∞∞∞A(0)Initialisation;δ(A)=0Aest sélectionné.
8(A)∞∞3(A)∞E(3)
BetEsont les successeurs deAqui ne sont pas traités;0+8<∞doncδ(B)=8 etp(B)=A;
0+3<∞doncδ(E)=3 etp(E)=A;
min=3, Le sommetEest sélectionné.8(A)∞14(E)∞B(8)
BetDsont les successeurs deEqui ne sont pas traités;3+6>8 on ne change pasδ(B)=8 etp(B)=A;
3+11<∞doncδ(D)=14 etp(D)=E;
min=8, Le sommetBest sélectionné.15(B)14(E)18(B)D(14)
CetFsont les successeurs deBqui ne sont pas traités;8+7<∞doncδ(C)=15 etp(C)=B;
8+10<∞doncδ(F)=18 etp(F)=B;
min=14, Le sommetDest sélectionné.15(B)17(D)C(15)
Fest le successeur deDqui n"est pas traité;
14+3<18 doncδ(F)=17 etp(F)=D;
min=15, Le sommetCest sélectionné.17(D)F(17)le successeur deCest déjà traité;
Le sommetFest le dernier sommet traité.
L"algorithme de Dijkstra fournit les longueurs des plus courts chemins du sommet origine aux différents
sommets. Pour déterminer le plus court chemin du sommet origine à un sommetx, il suffit de remonter la liste des
prédécesseurs en partant dex. Ainsi, le plus court chemin de A à F est un chemin de longueur 17.Dans la colonne F on lit que le prédécesseur de F est le sommet D. Le prédécesseur de D est E et, le prédécesseur de E
est A. Ainsi, la liste des prédécesseurs est F←-D←-E←-A. Le plus court chemin de A à F est donc : A-E-D-F.A. YALLOUZ(MATH@ES)181
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