ALGEBRE: GROUPES ET ANNEAUX 1 PDF ALGEBRE: GROUPES ET ANNEAUX 1

ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE

I. Les matrices et abrégé d'algèbre linéaire. 23. 1. Les espaces vectoriels 3. La diagonalisation des matrices et des endomorphismes . . . . . . . . . 8.

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ALGEBRE: GROUPES ET ANNEAUX 1

ALGEBRE: GROUPES ET ANNEAUX 1 Licence de Mathématiques 3`eme année ... est un groupe appelé groupe linéaire de E; pour le montrer

LICENCE

3ème ANNÉE. SEMESTRE 5. Programmation fonctionnelle. Langage à objets 3 (C++). Réseaux 1. Bases de données 3 (procédures embarquées). Génie Logiciel 1 (UML

LALGÈBRE LINÉAIRE POUR TOUS

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Niveau d'étude visé : BAC +3 Le programme de la licence de Mathématiques vise à former des étudiants capables ... Algèbre linéaire 1 et algorithmique.

Cours de mathématiques - Exo7

Algèbre linéaire . Définir deux variables prenant les valeurs 3 et 6. ... Une fonction en informatique est similaire à une fonction mathématique ...

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UniversiteBlaisePascal

U.F.R.SciencesetTechnologies

DepartementdeMathematiquesetInformatique

LicencedeMathematiques

Troisiemeannee,U.E.35MATF2

ALGEBRE:GROUPESETANNEAUX1

Polycopieducours

2007-2008

FrancoisDumas

LicencedeMathematiques,3emeannee

U.E.35MATF2

Coursd'algebre:groupesetanneaux1

FrancoisDUMAS

Chapitre1.{Groupes:lespremieresnotions

1.Groupesetsous-groupes

2.Groupesmonog

enes,groupescycliques

3.Morphismesdegroupes

4.Produitdirectdegroupes.

5.Groupessym

etriques

6.Groupesdi

edraux

Chapitre2.{Groupes:groupesquotients

1.Sous-groupesnormaux

3.Quelquescompl

ements

Chapitre3.{Anneaux:lespremieresnotions

1.Anneauxetsous-anneaux

2.Id eaux

3.Anneauxquotients

4.Anneauxeuclidiens,anneauxprincipaux

1.Notionsg

en erales

2.Arithm

etiquedanslesanneauxprincipaux

3.Arithm

etiquedanslesanneauxfactoriels

4.Factorialit

edesanneauxdepolyn^omes

Chapitre1

Groupes:lespremieresnotions

1.Groupesetsous-groupes

1.1Notiondegroupe

1.1.1D

1.1.2D

(A1)laloiestassociativedansG; (A2)laloiadmetunelementneutredansG;

1.1.3D

1.1.4Exemples.

abelien. 1 multiplicative. conventionsx0=e,etxn=(xn)1. quelconqueestnecessairementunique. pourconclurequeGestungroupe.

1.2Sous-groupe

1.2.2D

sontveriees: laquelleHestlui-m^emeungroupe. 2

1.2.3Exemples.

sous-groupedeU.

1.2.4Remarques.

sous-ensemblenon-vided'ungroupeG,alors groupeconnun'estpasunsous-groupe). sous-grouped'ungroupedejaconnu.

1.2.5Exemples.

sous-groupedeGL(E),noteSL(E). touteslesbijectionsdeRsurR. sous-groupedeG. 3 groupesd'ungroupeG.PosonsK=T quiprouvequeKestunsous-groupedeG.ut

1.3Casparticulierdesgroupesnis

1.3.1D

1.3.2Exemples.

1.3.3Th

eor estni,etl'ordredeHdivisel'ordredeG. xh donchi=hjdonci=j). diagonaleprincipale.

1.3.5Exemples.

4 11 111
111
1jj2 11jj2 jjj21 j2j21j 1i1i 11i1i ii1i1 11i1i ii1i1 (b)DansGL2(R),notons: e=(1001);a=0110;b=1001;c=0110.

G1eabc

eeabc aabce bbcea cceab (c)DansGL2(R),notons: e=(1001);a=1001;b=1001;c=1001.

G2eabc

eeabc aaecb bbcea ccbae

2;1;2;3gavec:

e=(123123); =(123231); abelien. d'ordre3quiestfe; 2g. e 2123
ee 2123
2e312
2 2e 231
1123e
2 2231
2e 3312
2e

2.Groupesmonog

enes,groupescycliques

2.1Sous-groupeengendreparunelement

2.1.1Propositionetd

deGcontenantX.

2.1.2D

hxi=fxm;m2Zg. x x 5 x

2.1.4D

d'entreeux.End'autrestermes: (xestd'ordrendansG),(xn=eetxm6=esi1m2.1.6Remarques. toutelementestd'ordrenidivisantjGj. estlui-m^emeinni. nietlegroupeh5i=f5m;m2Zgestinni.

2.2Groupesmonogenes,groupescycliques.

2.2.1D

d'aprescequiprecede:

G=fe;x;x2;x3;:::;xn1g.

groupemonogeneinniestmonogeneinni. parxdoun=dq. 6

2.3Generateursd'ungroupecyclique.

2.3.1Exemplepr

eliminaire. x danslecercleunite. deG,quicorrespondausegmentAD.

Figure1

2.3.2Th

eor x2H,ilexisteu2Ztelquex=xku x2H,ilexisteu2Ztelquexku1=e x2H,ilexisteu;v2Ztelqueku+nv=1. eux,cequiachevelapreuve.ut N !Ndeniepar'(1)=1et,pourtoutentiern2:

Pardenitionde',onpeutcalculer:

deGsontxetx1.

2.4Groupesnisd'ordrepremier

1.Gestcyclique,

2.lesseulssous-groupesdeGsontfegetG,

7 dutheoreme2.3.2.ut

3.Morphismesdegroupes

3.1Notiondemorphismedegroupes

3.1.1D

f(x:y)=f(x)f(y)pourtousx;y2G.

3.1.2Exemples.

lamultiplication,car: det(AB)=detA:detB,pourtoutesA;B2GLn(R). (b)L'applicationexp:R!R degroupesdeRmunidel'additiondansR +munidelamultiplication,car: exp(x+y)=expx:expy,pourtousx;y2R. estunmorphismedegroupesdevientalors: f(x:y)=f(x):f(y)pourtousx;y2G, (ii)f(x1)=f(x)1,pourtoutx2G, (iii)f(xn)=f(x)n,pourtoutx2Gettoutn2Z. etsif:G!G0estunmorphismedegroupes,ona: ff(x);x2Hgestunsous-groupedeG0; sous-groupedeG. prouveleresultatvoulu.ut 8

Preuve.Evidente,laisseeaulecteur.ut

3.2Imageetnoyau

3.2.1Propositionetd

appelel'imagedef,etnoteImf; noteKerf.

3.2.2Propositionetd

(i)festsurjectivesietseulementsiImf=G0; x:y ainsimontree,cequiachevelapreuve.ut

3.2.3Exemples.Reprenonslesexemples3.1.2.

(b)Lemorphismeexp:R!R cequiprouvequ'ilestaussiinjectif.

3.3Isomorphismesdegroupes

3.3.1D

1estunisomorphismedegroupesdeG0surG.

G,cequiachevelapreuve.ut

3.3.3D

3.3.4Remarquesimportantes.

decesderniersparf. 9 G realisationconcretequel'onrencontre.

01;(01

10)gdeGL2(R)etudieen1.3.5.betle

01;(10

01)getudieen1.3.5.cneleurestpas

reellementd'unautregroupe.

3.3.5Quelquescons

equencesaretenir. n.OnlenoteCn. deslorsquen6=m. p;c'estlegroupecycliqueCp. f:Z!G m7!xm etleurstablesrespectivessont:

C4eabc

eeabc aabce bbcea cceab Veabc eeabc aaecb bbcea ccbae quidonnelapremieretable. 10 obtientlasecondetable. dontonadonnelatableen1.3.5.d.

3.4Automorphismesdegroupes

3.4.1D

deGdansGquiestunebijectiondeGsurG. d'arriveeestlem^emequelegroupededepart. elle-m^emeunautomorphismedeG.

3.4.2Exemples.L'application

:C!Cdenieparz7! (z)= zestunautomorphisme dugroupeCmunidel'addition;ilverie 1= .L'applicationc:R +!R +deniepar x7!c(x)=x2estunautomorphismedugroupeR +munidelamultiplication;sabijection reciproqueestl'automorphismec1:R +!R +deniparx7!c1(x)=px.

3.4.3Propositionetd

3.5Automorphismesinterieursetcentre.

3.5.1Propositionetd

efinition.SoitGungroupe. deG,appelelecentredugroupeG,etnoteZ(G):

Z(G)=fx2G;gx=xgpourtoutg2Gg.

(ii)Lesous-groupeZ(G)estabelien. (iii)GestabeliensietseulementsiZ(G)=G. x

Lespoints(ii)et(iii)sontalorsevidents.

11 queZ(G)=T x2GC(x).

3.5.3Propositionetd

efinition.SoitGungroupe. x(g)=xgx1pourtoutg2G

Preuve.(i)Fixonsx2G.Pourtoutg2G,ona:

x1(x(g))=x1(xgx1)x=g=x(x1gx)x1=x(x1(g)). ona:quotesdbs_dbs18.pdfusesText_24

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Chapitre1.{Groupes:lespremieresnotions

1.Groupesetsous-groupes

2.Groupesmonog

3.Morphismesdegroupes

4.Produitdirectdegroupes.

5.Groupessym

6.Groupesdi

Chapitre2.{Groupes:groupesquotients

1.Sous-groupesnormaux

3.Quelquescompl

Chapitre3.{Anneaux:lespremieresnotions

1.Anneauxetsous-anneaux

3.Anneauxquotients

4.Anneauxeuclidiens,anneauxprincipaux

1.Notionsg

2.Arithm

3.Arithm

4.Factorialit

Chapitre1

Groupes:lespremieresnotions

1.Groupesetsous-groupes

1.1Notiondegroupe

1.1.1D

1.1.2D

1.1.3D

1.1.4Exemples.

1.2Sous-groupe

1.2.2D

1.2.3Exemples.

1.2.4Remarques.

1.2.5Exemples.

1.3Casparticulierdesgroupesnis

1.3.1D

1.3.2Exemples.

1.3.3Th

1.3.5Exemples.

G1eabc

G2eabc

2;1;2;3gavec:

2.Groupesmonog

2.1Sous-groupeengendreparunelement

2.1.1Propositionetd

2.1.2D

2.1.4D

2.2Groupesmonogenes,groupescycliques.

2.2.1D

G=fe;x;x2;x3;:::;xn1g.

2.3Generateursd'ungroupecyclique.

2.3.1Exemplepr

Figure1

2.3.2Th

Pardenitionde',onpeutcalculer:

2.4Groupesnisd'ordrepremier

1.Gestcyclique,

2.lesseulssous-groupesdeGsontfegetG,

3.Morphismesdegroupes

3.1Notiondemorphismedegroupes

3.1.1D

3.1.2Exemples.

Preuve.Evidente,laisseeaulecteur.ut

3.2Imageetnoyau

3.2.1Propositionetd

3.2.2Propositionetd

3.2.3Exemples.Reprenonslesexemples3.1.2.

3.3Isomorphismesdegroupes

3.3.1D