[PDF] Corrigé du baccalauréat ES Liban 30 mai 2011





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Corrigé du baccalauréat S Liban 27 mai 2015

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Corrigé du baccalauréat ES/L Liban 27 mai 2015 A P - APMEP

Aumatin du 54e jour il n’y auraplus d’eaudans le bassin EXERCICE 4 5 points Candidats de la série ES ayant suivi l’enseignement de spécialité Partie A 1 Voici le graphe probabilisted’ordre2 delasituation : S T 041 009 059 091 2 L’état stable P véri?e: P =PM ? ¡ a b ¢ = ¡ a b ¢ × µ 059 041 009 091 ¶ ? ¡ a

?Corrigé du baccalauréat ES Liban 30 mai 2011?

Exercice14points

Commun à tous les candidats

1. a.fest définie si 1-x2>0??x2-1<0??(x+1)(x-1)<0; le trinôme est positif sauf

entre ses racines-1 et 1. fest donc définie sur ]-1 ; 1[. b.f?1

2?=ln?

1-?12?

2? =ln34=ln3-ln4=ln3-ln22=ln3-2ln2.

2. a.ln(lnx)>0??ln(lnx)>ln1??lnx>1 (par croissance de la fonction exponentielle)

??lnx>lne??x>e. L"ensemble des solutions est l"intervalle ]e ;+∞[. b.Pourx>1, on ag?(x)=1 x lnx=1xlnx.

Exercice26points

Commun à tous les candidats

PartieAÉtude statistique et interpolation de données

1.La calculatrice donne, coefficients arrondis au dixième,y=-0,2x+30.

2.1999 correspond au rang 7; selon cet ajustement, le taux d"emploi des seniors en 1999 sera

-0,2×7+30=-1,4+30=28,6.

3.2010 correspond au rang 18; selon cet ajustement, le taux d"emploi des seniors en 2010 sera

-0,2×18+30=-1,4+30=26,4. Selon cet ajustement la France n"atteindra pas son objectif. PartieBInterpolation de données à l"aide d"un second modèle

1.2010 correspond àn=10; le taux d"emploi des seniors sa alors :

29,9×1,03710≈43.

2.Il faut résoudre l"inéquation :29,9×1,037n?50??1,037n?50

29,9??

nln1,037>ln50

29,9??n>ln50

29,9
ln1,037≈14,15. Le plus naturel solution est doncn=15, soit en 2015. PartieCExtrapolation de données selon un troisième modèle

1.aetbdoivent vérifier le système :?aln10+b=31,9

aln15+b=38,1.

Corrigédu baccalauréat ESA. P. M. E. P.

2.On résout le système :?aln10+b=31,9

aln15+b=38,1?(par différence)a(ln15-ln10)=6,2??aln1,5=6,2?? a=6,2 ln1,5.

La calculatrice donnea=6,2

ln1,5≈15,29. Ensuiteb=31,9-aln10=31,9-ln10×6,2ln1,5 ≈-3,309.

Dans la suite, on admettra quea=15,3 etb=-3,3.

3.On a doncf(x)=15,3ln(x+1)-3,3.

Il faut résoudre l"inéquation :

15,3??(x+1)?e53,3

15,3??

x?e53,3

15,3-1≈31,5.

Le plus petit naturel solution estn=32 qui correspond à 2024.

Exercice35points

Commun à tous les candidats

PartieAPosition relative deCfet de l"une de ses tangentes.

1.L"équation de la tangente àCfau point d"abscisse 0 est :

y-f(0)=f?(0)(x-0)

•f(0)=e-0=1;

•f?(x)=-e-x, doncf?(0)=-e-0=-1.

Donc l"équation de la tangente àCfau point d"abscisse 0 esty-1=-x??y=-x+1.

2. a.Pour toutxréel,h(x)=e-x-(-x+1)=e-x+x-1, donc

h ?(x)=-e-x+1=1-e-x. b.h?(x)>0??1-e-x>0??e-x<1?? -xc.Les résultats de la question précédente montrent que :•la fonctionhest décroissante sur ]-∞; 0[ et

•croissante sur ]0 ;+∞[.

3.Les deux questions précédentes ont montré que la fonction a pour minimumh(0)=1-1=0,

donc la fonction est positive pour tout réel; orh(x)?0??f(x)-g(x)?0??f(x)?g(x) ce qui signifie que la courbe est au dessus de sa tangente, saufpourx=0 où les deux courbes sont tangentes.

PartieBCalcul d"aire

1.On a vu que la fonctionhest positive en particulier sur [0; 1].

Un e primitive de la fonctionhsur [0; 1] est la fonction définie par : x?-→H(x)=-e-x+x2

2-x, donc :

1 0 h(x)dx=H(1)-H(0)=-e-1+12 2-1-? -e-0+022-0? =-e-1+12-1+1=12-1e.

Liban230 mai 2011

Corrigédu baccalauréat ESA. P. M. E. P.

2. a.On découpe l"intervalle en deux : de 0 à 1 puis de 1 àa.

La fonctionfétant positive sur [0 ;a], on sait que l"aire de la surface comprise entre la courbe représentative def, la droiteΔet les droites verticales d"équationx=0 etx=1 est

égale à?

1 0 h(x)dx. Ensuite l"aire de la surface limitée par la courbe représentative def, l"axe des abscisses et les droites verticalesx=1 etx=aest égale à? a 1 f(x)dx.

DoncA=?

1 0 h(x)dx+? a 1 f(x)dx;

A=H(1)-H(0)+[-e-x]a1=1

2-1e-e-a+e-1=12-e-a.

b.On sait que lima→+∞e-a=0, donc lima→+∞A=1 2.

Exercice45points

Candidatsn"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité 1. T 0,75A 0,9 A0,1

T0,25A

0,2 A0,8

2.Déterminer la probabilité des évènements suivants :

b.p?

T∩

A? =p(T)×pT?A? =0,75×0,1=0,075. c.p?

T∩A?

=p(T)×pT(A)=0,25×0,2=0,05. d.p?

T∩A?

=p(T)×pT?A? =0,25×0,8=0,2.

3. a.D"après la loi des probabilités totales :

p(A)=p(T∩A)+p?

T∩A?

=0,675+0,05=0,725. b.Il faut calculerpA(T)=p(A∩T) p(A)=0,6750,725=675725=2729≈0,931.

4.On ap(S)=p?

T∩

A? +p?T∩A? =0,075+0,05=0,125.

5.On a une épreuve de Bernoulli avecn=3 etp=0,125.

Calculons la probabilité qu"aucun des trois ne soit surpris; elle est égale à (1-0,125)3, donc la

probabilité qu"au moins un élève soit surpris est égale à :

1-(1-0,125)3≈0,330.

Liban330 mai 2011

Corrigédu baccalauréat ESA. P. M. E. P.

Exercice45points

Candidatsayantsuivi l"enseignementde spécialité

PartieAÉtat stable d"un graphe probabiliste

1.

AI0,95 0,990,050,01

2.Au départ 92% des des clients sont des clients d"agence et 8% des clients internet, doncP0=?0,92 0,08?.

3. a.On aP1=P0×M=?0,92 0,08?×?0,95 0,050,01 0,99?

=?0,8748 0,1252?. Soit en arrondissant au centièmeP1=?0,87 0,13?. b.En 2015 l"état probabiliste sera :P5=P0×M5=?0,92 0,08?×?0,95 0,050,01 0,99? 5 ≈?0,72 0,28?. Il y aura environ 72% clients d"agence et 28% clients internet.

Ptel queP=P×M.

Avecaclients d"agence eticlients internet on auraP=?a i?.

On aura donc :

?a i?=?a i?×?0,95 0,050,01 0,99? eta+i=1, doncaetivérifient le système : ?a=0,95a+0,01i i=0,05a+0,99i a+i=1?????0,05a-0,01i=0 -0,05a+0,01i=0 a+i=1???5a-i=0 a+i=1? (par somme) 6a=1??a=1

6et par suitei=56.

ConclusionP=?1

656?
PartieBÉtude de la limite d"une suite récurrente

1. a.Pn+1=Pn×M???an+1in+1?=?anin?×?0,95 0,050,01 0,99?

?an+1=0,95an+0,01in i n+1=0,05an+0,99in

En particulier :an+1=0,95an+0,01in.

b.On a doncan+1=0,95an+0,01inet compte tenu dean+in=1?? i n=1-an, on obtient : a

2. a.Pourtoutentiernatureln,un+1=an+1-1

6=0,94an+0,01-16=0,94an-0,946=0,94?

a n-16?

0,94un.

Orun+1=0,94unpour tout entier naturelnsignifie que la suite(un)est une suite, géomé- trique de raison 0,94 et de premier termeu0=a0-1

6=0,92-16=6×0,92-16=113150.

Liban430 mai 2011

Corrigédu baccalauréat ESA. P. M. E. P.

b.On sait qu"alors pour tout natureln,un=113150×0,92n. c.Orun=an-1

6??an=un+16=113150×0,94n+16.

d.Comme 0<0,94<1, on sait que limn→+∞0,94n=0, donc limn→+∞an=1 6. Dans un certain temps il y aura un client d"agence pour cinq clients internet.

Liban530 mai 2011

Corrigédu baccalauréat ESA. P. M. E. P.

ANNEXE

Exercice3

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5-0,5

-0,20,2

0,40,60,81,01,21,4

Cf xy O a

Liban630 mai 2011

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