[PDF] Corrigé du baccalauréat S Amérique du Nord 2 juin 2015

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A. P. M. E. P.

Corrigé du baccalauréat S Amérique duNord

2 juin 2015

Exercice 1

PartieA

1.On peut utiliser ici le théorème de Thalès pour prouver que--→BU=1

3--→BSet ainsi construire le

point. Pour cela considérons le triangleSOB. Nous savons que (DU) est parallèle à (OB) carDetUpartagent la même cote etOetBsont également de même cote. Nous savons également que OD

OS=13, là encore en raison de la cote

deDetS. On en déduit, par application de l"antique théorème, queBU

BS=ODOS=13.

2.Considérons les plans (AUE) et (BCS). Ces plans sont sécants en la droite (UV). Or, (BC), in-

cluse dans (BCS), est parallèle à (AE), incluse dans (AEU);puisqueABCEest un carré.

Par application du théorème du toit, on en déduit que (UV) est parallèle à (BC). Cette dernière

propriété permet de construire le pointV.

3.Il nous faut prouver d"une part queKappartient à (AE) et d"autre part que (KU) est perpendi-

culaire à (AE).

On lit les coordonnées deA((100))

et celles deE((0 -1 0)) et on calcule ainsi-→AE((-1 -1 0)) . D"autre part on détermine -→AK((-1 6-1 60))

On en déduit que

--→AK=1

6--→AE, ce qui prouve queKest un point de [AE].

Déterminons les coordonnées deU. On a démontré dans la question 1 que--→BU=1

3--→BS, ce qui

donne un système portant sur les coordonnées deU: ?x u-0=1

3(0-0)

y u-1=1

3(0-1)

z u=0 y u=23zu=1 On peut maintenant déterminer les coordonnées de

KU((-5

65
61))
Onobtient ainsi,sachantquelerepèreestorthonormé:

KU·-→AE=-5

6×(-1)+56×(-1)+1×0=0,

ce qui permet de conclure. Le pointKest bien le pied de la hauteur issue deUdans le trapèze

AUV E.

On pouvait également déterminer une équation paramétriquede (BS) afin de calculer les coordonnées deU. Une telle méthode revient à chercher le réelttel que--→BU=t--→BSavec la cote deUégale à 1.

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PartieB

1.Il suffit de s"assurer que les pointsA,EetUvérifient bien l"équation proposée.

Pour le pointA, on a bien 3×1-3×0+5×0-3=0. De même pour le pointE, il est clair que 3×0-3×(-1)+5×0-3=0. Et enfin, pour le pointU, on vérifie mentalement que 3×0-3×2

3+5×1-3=0.

Cette équation de plan convient donc.

2.Puisque l"on amuni l"espace d"unrepèreorthonormé, ondéduit del"équation cartésienne pro-

posée les coordonnées d"un vecteur normal au plan (EAU). Notons-→n((3 -3 5)) ce vecteur. C"est un vecteur directeur de (d) puisque (d) est orthogonale au plan (EAU). À partir des co- ordonnées du pointSet de celles de ce vecteur, on en déduit une équation paramétrique de (d) :???x=3t y= -3t z=3+5tt?R

3.Les coordonnées((x

y z)) de ce point satisfont simultanément une équation paramétrique de (d) ainsi qu"une équation cartésienne du plan (EAU). On cherche doncx,y,zetttels que : ?x=3t y= -3t z=3+5t

0=3x-3y+5z-3

À partir de l"équation cartésienne du plan, en substituantx,yetzon en déduit le système

équivalent :???????x=3t

y= -3t z=3+5t

0=3(3t)-3(-3t)+5(3+5t)-3

La dernière équation permet de déterminert=-12

43et, par suite, on peut déterminer les coor-

données deH((-36 43
36
43
69
43))

4.Le plan (EAU) coupe le pyramideSABCEen un solideABUECVd"une part et une pyramide

SAUV Ed"autre part. Il nous faut donc déterminer si ces deux solides ont le même volume; ce

qui revient à déterminer si le volume de l"un des deux solidescorrespond à la moitié de celui

deSABCE.

Or toutes les questions précédentes nous ont permis de rassembler des éléments permettant

de calculer le volume de la pyramideSAUV E. Nous connaissons en effet l"aire de sa base A

AUVE=5?

43

18. Reste à calculer sa hauteurSH. On a ainsi :

SH=? ?-36 43-0?
2 +?3643-0? 2

3-6943?

2 12 ?43

Amérique du Nord22 juin 2015

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Levolume delapyramideSAUV EestdoncVSAUVE=13AAUVE×SH,cequidonneaprèscalcul: V

SAUVE=10

9. Pour finir, déterminons le volume de la grande pyramideSABCE. On peut, par application du théorème de Pythagore au triangleABOrectangle enOprouver queAB=?

2. Sa base a donc

pour aireAB2=2. D"autre part, sa hauteur estSO=3. Le volume de la grande pyramide est doncVSABCE=1

3AB2×SO=2.

On constate que

1

2VSABCE?=VSAUVE, ce qui permet de conclure.

Exercice 2

1. a.On applique les formules de récurrence proposées en utilisant un petit programme fait à

la calculatrice.

On obtient :

A

1?-4,8

1,4? A

2?-4,68

-1,76? A

3?-2,688

-4,216? Ceux qui font l"option mathématiques auront reconnu qu"on peut définir matriciellement la suite des coordonnées. C"est d"ailleurs comme cela que l"on peut rapidement calculer lestermes de la suite à la calculatrice. b.Voir plus bas :

Variables :

i,x,y,t: nombres réels

Initialisation :

xprend la valeur-3 yprend la valeur 4

Traitement :

Pouriallant de 0 à 20

Construire le point de coordonnées (x;y)

tprend la valeurx xprend la valeur 0,8×x-0,6×y. yprend la valeur 0,6×t+0,8×y.

Fin Pour

y. En effet, à ce stade,xa déjà été modifié. C"est d"ailleurs pour cela que l"algorithme propose de stocker temporairement l"ancienne valeur dexdans la variablet. c.On a identifié les points sur l"annexe en fonction de leurs coordonnées. Ils semblent ap- partenir à un cercle de centreOet de rayon 5.

2. a.Faisons une démonstration par récurrence puisque la suitezest définie par récurrence.

Au rang 0,|z0|=?

(-3)2+42=5. La propriété est vérifiée.

Pour tout entierp, supposons que|zp|=?

x2p+y2p=5.

Au rangp+1 :

Amérique du Nord32 juin 2015

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|zp+1|=?x2p+1+y2p+1 ?0,8xp-0,6yp?2+?0,6xp+0,8yp?2 x2p+y2p. Or, par hypothèse,?x2p+y2p=5. Donc : |zp+1|=5 La propriété est donc héréditaire et initialisée. On a donc démontré queu0=5 et que pour toutn?N,un=5 entraîneun+1=5; donc par le principe de récurrence, pour tout entier natureln,un=5;un= |zn| =5, ce qui prouve notre conjecture concernant le lieu des points. b.Calculons, pour toutn, la forme algébrique de eiθzn: e iθzn=(cos(θ)+isin(θ))(xn+iyn) =(0,8+0,6i)(xn+iyn) =(0,8xn+0,6i2yn)+(0,6xn+0,8yn)i =(0,8xn-0,6yn)+(0,6xn+0,8yn)i On reconnaît les formules de récurrence dexn+1etyn+1: e iθzn=xn+1+iyn+1 =zn+1 c.zest une suite géométrique de raison eiθsur des complexes. Comme cette notion n"est pas au programme, nous allons redémontrer la formule explicite. Pourn=0 la formule est bien sûr vraie. Supposons-la vraie pourp?Nquelconque :zp= e ipθz0. Mais nous savons quezp+1=eiθzp=eiθeipθz0. On a ainsi : z p+1=eipθ+iθz0=ei(p+1)θz0. On a doncz0=ei×0thetaz0et tout entierp?N,zp=eipθz0entraînezp+1=ei(p+1)θz0; on a donc démontré par le principe de récurrence que pour tout natureln,zn=einθz0. d.Posonsθ0=arg(z0). Par définition : z 0 |z0|=cos(θ0)+isin(θ0). Or:z0|z0|=-35+i45 =-0,6+i0,8. On reconnaît les valeurs de cos et sin deθ: =-sin(θ)+icos(θ). En utilisant les formules de trigonométrie, on a : z 0 |z0|=cos?π2+θ? +isin?π2+θ? On a donc bien, en identifiant la première et la dernière ligne, arg(z0)=θ0=π

2+θ

On pouvait également calculer le forme algébrique de|z0|ei?π

2+θ?

et montrer qu"elle était identique à celle dez0. Cette méthode est d"ailleurs certainement plus " facile » à mettre en oeuvre. e.On utilise les propriétés de l"argument : arg(zn)=arg? einθz0? =arg? einθ? +arg(z0)=nθ+π

2+θ=(n+1)θ+π2

Amérique du Nord42 juin 2015

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On représenteθen utilisant le pointA0. En effet, ce point vérifie?-→ı;--→OA0? =arg(z0)= 2. Ainsi, on obtient facilement, par différence, que ?-→?;--→OA0? On a tracéθen annexe en utilisant cette dernière remarque.

Pour obtenirAn+1:

À partir du pointAn, on se déplace d"un angleθsur le cercle de rayon 5 et de centreO pour obtenirAn+1. Cette opération peut se faire à l"aide d"un compas en reportant une longueur correspondant àθ.

Exercice 2

Candidatsayantsuivi l"enseignementde spécialité

PartieA

1.On obtient à l"aide de la calculatrice :M2=((6 2 34 4 1

10 4 7))

2.On aM2+8M+6I=((6 2 34 4 1

10 4 7))

+((8 8 88-8 8

32 16 8))

+((6 0 00 6 00 0 6)) =((20 10 1112 2 912 20 21)) =M3.

3.On a donc :

M

6?M2-M-8I?=

I: cette égalité montre que l"inverse de la matriceMest la matrice1

6?M2-M-8I?.

PartieB Étude d"un casparticulier

1.Les coordonnées des points A, B et C vérifient l"équation de laparabole, d"où le système :???a+b+c=1

a-b+c= -1

4a+2b+c=5??(matriciellement)((1 1 11-1 1

4 2 1))

(a b c)) =((1 -1 5))

2.Le résultat précédent peut s"écrire :((a

b c)) =M-1((1quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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