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Examens corrigés d"Algèbre Linéaire et Géométrie

FrançoisDEMARÇAY

Département de Mathématiques d"Orsay

Université Paris-Saclay, France

1. Examen 1

Exercice 1.Avec la méthode des stylos de couleurs, en utilisantau minimumdeux cou-

leurs, résoudre les quatre systèmes linéaires suivants, après les avoir traduits sous forme de

matrice complète. (S1)y+ 4z=5 x+ 3y+ 5z=2

3x+ 7y+ 7z= 6(S2)x3y+ 4z=4

3x7y+ 7z=8

4x+ 6yz= 7

(S3)x3z= 8

2x+ 2y+ 9z= 7

y+ 5z=2(S4)x3y= 5 x+y+ 5z= 2 y+z= 0

Exercice 2.Déterminer la solution générale des systèmes dont les matrices complètes sont

les suivantes : (a) x

1x2x31 3 4 7

3 9 7 6

;(b)x

1x2x31 4 0 7

2 7 0 10

(c) x

1x2x3x42

417 0 6 5

0 0 123

1 74 2 73

5 ;(d)x

1x2x3x4x52

6

641 256 05

0 163 0 2

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 03

7 75:

Exercice 3.

(a) Déterminer les solutions du système linéaire : x

1+ 2x2=a

2x1+ 5x2=b

oùaetbsont des nombres réels arbitraires.

Exercice 4.

(a) Dans le planR2, déterminer le point de coordonnées(c1;c2)d"intersection entre les deux droites d"équations respectivesx1+ 5x2= 7etx12x2=2. (b)Dans le planR2muni des coordonnées(x;y), représenter soigneusement ces deux droites ainsi que leur point d"intersection. 1

2 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Saclay, FranceExercice 5.On suppose que les deux matrices suivantes sont les matrices complètes de

deux systèmes linéaires. Pour chacune d"entre elles, décrire par une phrase les deux pre-

mières opérations élémentaires sur les lignes à effectuer dans la procédure de résolution

d"un système : A:=2 6

6414 5 07

0 13 06

0 0 1 02

0 0 0 153

7

75; B:=2

6

6416 4 01

0 27 04

0 0 1 23

0 0 3 16

3 7 75:
Exercice 6.Dans les quatretypes générauxd"exemples ci-dessous, on suppose que chaque

matrice échelonnée non réduite est la matrice complète d"un certain système linéaire :

(a) x

1x2x32

4 0 0 0 3 5 (b)x

1x2x3x42

40
0 0 0 0 0 0 3 5 (c) x 1x22 4 0 0 0 0 3 5 (d)x

1x2x3x42

4 0 0 0 0 0 3 5

Pour chaque type général de système, étudier l"existence et l"unicité de solutions.Indication:

Écrire les sytèmes avec les variablesx1,x2,x3,x4utilisées dans le cours, puis résoudre en

partant du bas, en utilisant les règles naturelles de calcul : qui sont essentiellement évidentes, puisquedésigne un nombre réelnon nul, tandis que désigne un nombre réelquelconque, éventuellement nul. Exercice 7.Parmi les problèmes importants que pose l"étude des transferts thermiques

figure celui de la répartition de la température à l"état stationnaire d"une plaque fine dont la

température est fixée.On suppose que la plaque de la figure ci-dessus est la section d"une tige métallique; on

néglige le flux de chaleur dans la direction perpendiculaire à la plaque. SoientT1,T2,T3, T

4les températures aux quatre noeuds intérieurs du quadrillage de la figure.

La température en un noeud est à peu près égale à la moyenne des températures aux quatre noeuds voisins directs, au-dessus, à gauche, en-dessous, à droite. On a par exemple : T 1=14

10 + 20 +T2+T4:

(a)Écrire un système de quatre équations dont la solution donne l"estimation des tempéra-

turesT1,T2,T3,T4.

1.Examen 1 3(b)Résoudre ce système linéaire de4équations à4inconnues.Indication:Appliquer la mé-

thode connue, et vérifier que la solution obtenue est bien une solution du systèmeinitial. S"il y a des erreurs (il y en a toujours...), recommencer!

Exercice 8.

(a) Décrire toutes les formes échelonnées possibles d"une matrice22. On utilisera les symboles du cours,,0. (b)Décrire ensuite toutes les formes échelonnées possibles d"une matrice33.

4 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Saclay, France2. Corrigé de l"examen 1

Exercice 1.(S1)On traduit le système sous forme d"une matrice complète en échangeant

directement les lignes1 !2, et on calcule à la main joyeusement :On obtient une matrice sous forme échelonnée de la forme "embêtante» :

0 0 0 0 qui est typique d"un système linéaireincompatible. Donc ce système n"a aucune solution! (S2)De même, on écrit la matrice, et on enclenche les calculs, toujours en utilisant des

couleurs.Aïe-Aïe! Encore une incompatibilité! Encore un système qui n"a aucune solution! On est

vraiment mal parti, on n"arrive toujours pas à décoller! Qu"est-ce qu"il est "vache», ce DM 1.

(S3)Allez, après ces deux "râteaux», reprenons espoir :Youpi! Une solution! Et en plus, elle est esthétique :(5;3;1).

(S4)De même, on trouve une solution unique(2;1;1):1. En fait, c"est le livre de David Lay qui est "vache», car on n"a fait ici que suivre ses exercices dans le

même ordre....

2.Corrigé de l"examen 1 5Exercice 2.(a) Par pivots de Gauss successifs, la matrice du système se réduit à :

13 4 7

3 9 7 6

;1 3 4 7

0 0515

;1 3 4 7

0 0 13

13 05

0 0 13

donc la solution générale est : n (x1;x2;x3):x1=53x2; x22Rquelconque; x3= 3o (b)De même :

14 0 7

2 7 0 10

;1 4 0 7 01 04 ;1 4 0 7

0 10 4

10 09

0 10 4

donc la solution générale est : n (x1;x2;x3):x1=9; x2= 4; x32Rquelconqueo (c)À nouveau par pivotations successives : 2

417 0 6 5

0 0 123

1 74 2 73

5 ;2

417 0 6 5

0 0 123

0 04 8 123

5 2

417 0 6 5

0 0 123

0 0 0 0 03

5 donc la solution générale est : n (x1;x2;x3;x4):x1= 5 + 7x26x4; x22Rquelconque; x

3=3 + 2x4; x42Rquelconqueo

6 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Saclay, France(d)Toujours avec notre robot industriel (=la main!) de transformation d"une matrice vers

une forme échelonnéeréduite, nous trouvons rapidement :2 6

641 256 05

0 163 0 2

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 03

7 75;2

410 7 0 09

0 163 0 2

0 0 0 0 10

3 5 donc la solution générale est : n (x1;x2;x3;x4;x5):x1=97x2; x2= 2 + 6x3+ 3x4; x32Rquelconque; x

42Rquelconque; x5= 0o

Exercice 3.

(a) Multiplions la 1èreéquation par2:

2x1+ 4x2= 2a;

et soustrayons ce résultat à la 2

èmeéquation :

0 + (54)x2=b2a;

ce qui donnex2=2a+b. Remplaçons cette valeur dans la 1èreéquation : x

1+ 22a+b=a()x1=a+ 4a2b= 5a2b:

Enfin, vérifions qu"il s"agit bien d"une solution (unique) au système initial :

5a2b+ 22a+b?=aOUI;

2

5a2b+ 52a+b?=bOUI:

Exercice 4.

(a) Le point cherché a deux coordonnées(c1;c2)qui doivent satisfaire : c

1+ 5c2= 7

c

12c2=2

Soustrayons l"équation2à l"équation1:

0 +5(2)c2= 7(2);

c"est-à-dire :

7c2= 9;

doncc2=97 - Aïe! Les fractions, ça fait mal!

Ensuite, remplaçons dans l"équation2:

c 1297
=2c"est-à-direc1=2 +187 =14+187 =47 Enfin, vérifions que nous ne nous sommes pas trompés : 47
+ 597 ?= 7 =4+457 =497 OUI; 49
297
?=2 =4187 =147 OUI: (b)Voici la figure demandée :

2.Corrigé de l"examen 1 7Exercice 5.(A) Pour la première matriceA, on élimine5et3par pivot 'vers le haut" :

2 6

641450 7

0 130 6

0 0 10 2

0 0 0 153

7 75;2
6

64140 03

0 10 0 12

0 0 1 0 2

0 0 0 153

7 75;2
6

641 0 0 0 45

0 1 0 0 12

0 0 1 0 2

0 0 0 153

7 75;
puis on fait de même pour éliminer4, ce qui donne la forme échelonnéréduite(unique) de la matriceRERA - terminus Poissy! (B)Pour la seconde matriceB, on élimine3par pivot 'vers le bas", puis on divise la quatrième ligne par5: 2 6

6416 4 01

0 27 0 4

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