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30 mai 2014
Exercice15 points
Commun à tous lescandidats
Dans cetexercice,tous les résultatsdemandés serontarrondisà 10-3près.Partie A : Conditionnementdes pots
1.On veutp(X?49). Avec la calculatricep(X?49)≈0.202.
2.On noteσ?le nouvel écart-type, etZla variable aléatoire égale àX-50σ?
a.La variable aléatoireZsuit la loi normale centrée réduite. b.Une valeur approchée du réelutel quep(Z?u)=0,06 estu≈-1.555. c.Z=X-50σ??X=σ?Z+50
p(X?49)=0,06?p?σ?Z+50?49?=0,06?p?Z?-1σ??
=0,06On doit donc avoir-1
σ?=-1,555?σ?=11,555≈0,643
La valeur attendue deσ?est donc 0,643.
3. a.Ici, l"épreuve de Bernoulli consiste à tester si un pot est non conforme considéré comme suc-
cès de probabilité 0,06,... ou pas. On répète 50 fois cette épreuve.Ysuit donc la loi binomiale de paramètres 50 et 0,06. b.Oncalculep(Y?2)avec la calculatrice. Laprobabilité que laboutique reçoive deux pots non conformes ou moins de deux pots non conformes est d"environ 0,416.Partie B : Campagnepublicitaire
On an=140>30,f=99140doncnf=99>5 etn(1-f)=41>5. Ainsi,? f-1?n;f+1?n? soit0,622;0,792]est donc un intervalle de confiance au seuil de 95% de la proportion de personnes sa-
tisfaites parmi les utilisateurs de la crème.Exercice26 points
Commun à tous lescandidats
Partie A : PositionsrelativesdeCfetD
Soitgla fonction définie sur l"intervalle [0 ;+∞[ parg(x)=f(x)-(x-3).1.Pour tout réelxde l"intervalle [0 ;+∞[,
g(x)=5e-x-3e-2x=e-x(5-3e-x).Comme e
-x>0 (exponentielle),g(x) est du signe de 5-3e-x.
5-3e-x>0?5>3e-x?53>e-x?ln?53?
>-x?ln?35?2.La courbeCfet la droiteDont un point commun d"abscissexsi et seulement sif(x)=x-3 soit
g(x)=0 ce qui n"est pas possible car on vient de voir queg(x)>0. La courbeCfet la droiteDn"ont pas de point commun.Baccalauréat SA. P. M. E. P.
Partie B : Étude de la fonctiong
On noteMle point d"abscissexde la courbeCf,Nle point d"abscissexde la droiteDet on s"intéresseà l"évolution de la distanceMN.
1.CommeMetNont la même abscisse, pour toutxde l"intervalle [0 ;+∞[,
MN=|f(x)-(x-3)|=|g(x)|=g(x) carg(x)>0 d"après la première question.2.Siuest dérivable,(eu)?=u?eu.
La dérivée dex?→e-xest doncx?→-e-xet celle dex?→e-2xestx?→-2e-2x. Pour toutxde l"intervalle [0 ;+∞[,g?(x)=-5e-x+2×3e-2x=6e-2x-5e-x.3.gétant dérivable sur [0 ;+∞[, on étudie le signe de sa dérivée sur [0 ;+∞[.
Pour toutxde l"intervalle [0 ;+∞[,
g ?(x)?0?6e-2x-5e-x?0 ?6e-x-5?0 on a divisé par e-x>0 ?e-x?5 6 ?-x?ln?5 6? croissance de la fonction ln ?x?ln?6 5? Enln ?6 5? ,ladérivée s"annule en changeantdesigne (+;-),doncg? ln?65?? est unmaximum pour gsur l"intervalle [0 ;+∞[. g? ln?6 5?? =5×e56-3×?
e56?2=5×56-3×?56? 2 =7536 La distance entre un point de la courbeCfet le point de même abscisse sur la droiteDest donc maximale lorsquex=ln?6 5? . Cette distance maximale vaut7536unités.Remarque : Comme le repèreest orthogonal (à prioripas orthonormé), il s"agit d"unité en ordon-
née.)Partie C : Étude d"une aire
On considère la fonctionAdéfinie sur l"intervalle [0 ;+∞[ parA(x)=?
x 0 [f(t)-(t-3)]dt.1.A(2)=?
2 0 [f(t)-(t-3)]dt=? 2 0 g(t)dtetg>0 sur [0;2].A(2) mesure donc (en unités d"aires) l"aire du domaine limité par les droites d"équationx=0,x=2, la courbeCfet la droiteD. (voir figure page suivante)2.La fonctiongest continue sur [0;+∞[ etA(x)=?
x 0 g(t)dt, la fonctionAest donc dérivable sur [0;+∞[ etA?=g>0. La fonctionAest donc bien croissante sur l"intervalle [0 ;+∞[.3.Pour tout réelxstrictement positif,
A(x)=?
x 0 g(t)dt =5? x 0 e-tdt-3? x 0 e-2tdtpar linéarité de l"intégrale =5?-e-t?x 0-3? -12e-2t?x
0 =5(-e-x+1)-3? -12e-2x+12?
=5-5e-x+32e-2x-32
A(x)=3
2e-2x-5e-x+72
Amérique du Nord230 mai 2014
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
0,51,0
-0,5 -1,0 -1,5 -2,0 -2,5 -3,01 2 3 4 Cf D OOn poseX=e-x
xsolution de32e-2x-5e-x+32=0?Xsolution de32X2-5X+32=0
?Xsolution de 3X2-10X+3=0 équation du second degré ?X=13ouX=3
?e-x=13ou e-x=3 on revient àxetX=e-x
?x=ln3 oux=-ln3-ln13=-(-ln3)=ln3
?x=ln3 carx?0 et-ln3<0Finalement,A(x)=2?x=ln3.
Exercice34 points
Commun à tous lescandidats
Partie A : Sectiondu cube par le plan(MNP)
1.Dans le plan (EFG), les droites (PM) et (FG) ne sont pas parallèles, elles sont donc sécantes; on
appelleLleur point d"intersection.2. a.Les droites (LN), (BF) et (CG) sont coplanaires dans le plan (BCG) d"où les constructions de
TetQ. b.On cherche l"intersection des plans (MNP) et (ABF).L?(MP)=?L?(MNP)
N?(MNP)?
=?(LN)?(MNP)Q?(LN)???
=?Q?(MNP) =?Q?(MNP)∩(ABF) Les droites (MP) et (EF) du plan (EFG) ne sont pas parallèles, donc elles sont sécantes; on appelleRleur point d"intersection.Amérique du Nord330 mai 2014
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
ABC DEFG H M NP L Q R STR?(MP)=?R?(MNP)
R?(EF)=?R?(ABF)?
=?R?(MNP)∩(ABF) Les plans (MNP) et (ABF) ont deux points en commun,QetR; ils ne sont pas confondus carP?(MNP) etP??(ABF).
Ces deux plans sont donc sécants et commeQetRappartiennent aux deux plans, l"intersec- tion des deux plans (MNP) et (ABF) est la droite (QR).3.NotonsSle point d"intersection de (AE) et (QR).
La section du cube par le plan (MNP) est le pentagoneMPTQS.Partie B
L"espace est rapporté au repère
A;-→AB,--→AD,-→AE?
On aA(0 ; 0 ; 0),B(1 ; 0 ; 0),C(1 ; 1 ; 0),D(0 ; 1 ; 0),E(0 ; 0 ; 1),F(1 ; 0 ; 1),G(1 ; 1 ; 1) etH(0 ; 1 ; 1).
1.Mest le milieu du segment [EH] doncMa pour coordonnées?0+0
2;0+12;1+12?
0 ;12; 1?
Nest le milieu du segment [FC] doncna pour coordonnées?1+12;0+12;1+02?
1 ;12;12?
P(x;y;z) vérifie--→HP=1
4--→HG, on a donc :???????x-0=1
4y-1=0
z=1DoncP?14; 1; 1?
2.Pourcalculerles coordonnéesdupointL,onécritles systèmes dereprésentations paramétriques
des droites (MP) et (FG).Amérique du Nord430 mai 2014
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
(MP) passe parM?0 ;12; 1?
et a pour vecteur directeur--→MP?14;12; 0? Une représentation paramétrique de cette droite est donc : ?x=1 4k y=12+12koùk?R
z=1 (FG) passe parF(1 ; 0 ; 1)et a pour vecteur directeur--→FG(0 ; 1 ; 0). Une représentation paramétrique de cette droite est donc :???x=1 y=k?oùk??R z=1 On détermine l"intersection de ces deux droites : ?1 4k=1 12+12k=k?
1=1?????k=4
k ?=52Donc le pointLa pour coordonnées?
1;5 2; 1?3.On admet que le pointTa pour coordonnées?
1 ; 1 ;5
8?On calcule le produit scalaire
TP.--→TN
TP(((((-
3 4038)))))
.--→TN(((((0 1 2 -18)))))
=-34×0+0×?
-12? +38×?-18? ?=0
Le triangleTPNn"est pas rectangle enT.
Exercice45 points
Candidatsn"ayant passuivi l"enseignementde spécialitéUn volume constant de 2200 m
3d"eau est réparti entre deux bassins A et B.
1."Un volume constant de 2200 m3d"eau est réparti entre deux bassins A et B.» donc
Pour toutndeN,an+bn=2200.
2.Au début dun+1-ième jour, la bassin A contientan, on ajoute 15% du volume d"eau présent
dans le bassin B soit 0,15bnet on enlève 10% du volume présent dans A au début de la journée:
a4an+330
On a bien, pour tout entier natureln,an+1=3
4an+330.
3.Variables:nest un entier naturel
aest un réelInitialisation: Affecter ànla valeur 0
Affecter àala valeur 800
Traitement: Tant quea<1100, faire :
Affecter àala valeur3
4a+330Affecter ànla valeurn+1
Fin Tant que
Sortie: Affichern
Amérique du Nord530 mai 2014
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
4. a.Remarque : on peut calculer les premiers termes pour avoir laraison.
Pour tout entier natureln, on a
u n+1=an+1-1320 définition deun 34an+330-1320 question 2.
34an-990
34(an-1320)
34undéfinition deun
On reconnait la définition d"une suite géométrique de raison 3 4.Son premier terme estu0=a0-1320=800-1320=-520
b.On a donc, pour tout entier natureln,un=u0qn=-520×?3 4? nMais, par définition deun, on a
u n=an-1320?an=un+1320 doncan=1320-520×?3 4? n5.On cherche à savoir si, un jour donné, les deux bassins peuvent avoir, au mètre cube près, le
même volume d"eau.Si ce jour arrive, on auraan=bn=2200
2=1100.
Il faut donc résoudre l"équation 1320-520×?3 4? n =1100 d"inconnuen.1320-520×?3
4? n =1100?520×?34? n =220??34? n =1126?nln?34? =ln?1126?Finalementn=ln?11
26?ln?34? ≈2,99 On vérifie :a3=1100,625 etb3=1099,375 donca3-b3=1,25>1. Les deux bassins n"auront donc jamais le même volume d"eau, àun mètre cube près.
Exercice45 points
Candidatsayantsuivi l"enseignementde spécialitéPartie A
1.La conservation du volume total se traduit par : pour tout entier natureln,an+bn=2200.
2.D"après le texte, on peut dire que :?an+1=0,9an+0,15bn-5
b n+1=0,1an+0,85bn+5avec?a0=1100 b0=1100
On utilise un tableur pour visualiser l"évolution du volumed"eau dans les bassins.On donne les formules à écrire et à recopier vers le bas dans les cellules B3 et C3 permettant
d"obtenir la feuille de calcul du texte : ABC1JournVolume bassin AVolume bassin B
201100,001100,00
31= B2 * 0.9 + C2 * 0.15 - 5= B2 * 0.1 + C2 * 0.85 + 5
421187,501012,50
531215,63984,38
6.........
3.La suite (an) donnant le volume d"eau dans le bassin A semble croissante et tendre vers 1300,
tandis que la suite (bn) donnant le volume d"eau dans le bassin B semble décroissante et tendre vers 900.Amérique du Nord630 mai 2014
Baccalauréat SA. P. M. E. P.
Partie B
On considère la matrice carréeM=?0,9 0,150,1 0,85? et les matrices colonnesR=?-5 5? etXn=?an b n? On admet que, pour tout entier natureln,Xn+1=MXn+R.1.On noteS=?1300
900?MS=?0,9 0,150,1 0,85?
×?1300
900?=?0,9×1300+0,15×900
0,1×1300+0,85×900?
=?1305 895?MS+R=?1305
895?+?-5 5? =?1300 900?
=S On aXn+1=MXn+RetS=MS+R; par soustraction membre à membre, on obtient : X n+1-S=MXn+R-MS-R=MXn-MS=M(Xn-S) Dans la suite, on admettra que, pour tout entier natureln: X n-S=Mn(X0-S)et queMn=?0,6+0,4×0,75n0,6-0,6×0,75n
0,4-0,4×0,75n0,4+0,6×0,75n?
2.X0=?11001100?
etS=?1300 900?doncX0-S=?-200 200?
M
0,4-0,4×0,75n0,4+0,6×0,75n?
×?-200
200?=?-200×0,75n
200×0,75n?
DoncXn=Mn×(X0-S)+S=?-200×0,75n
200×0,75n?
+?1320 900?=?1320-200×0,75n
900+200×0,75n?
3.Xn=?1320-200×0,75n
900+200×0,75n?
etXn=?an b n? donc?an=1300-200×0,75n b n=900+200×0,75nLasuite(0,75
négatif, donc la suite (-200×0,75n) est croissante et donc la suite (an) est croissante. Deplus,-1<0,75<1 donc la suite (0,75n)est convergente et a pour limite 0. On peut en déduire que la suite (an) est convergente et a pour limite 1320.Pour les mêmes raisons, on peut dire que la suite (bn) est décroissante, et convergente vers 900.
4.On considère que le processus est stabilisé lorsque l"entier naturelnvérifie 1300-an<1,5 et
b n-900<1,5; 1300-an<1,5??1298,5Pourn=17,a17≈1298,4966 donc 1300-a17>1,5.
Pourn=18,a18≈1298,8724 donc 1300-a18<1,5.
Commean+bn=2200,bn=2200-ance qui équivaut àbn-900=1300-an; donc 1300-an<1,5??bn-900<1,5.
On peut donc dire que le processus est stabilisé à partir den=18.Amérique du Nord730 mai 2014
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