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R[X]?

25????A?

?? ??? ????Card(G)? M=0 @2 1 1 1 5 4 1321
M=0 @1 0 0 0 2 0

0 1 21

M=0 @1 1 0 0 1 2

1 0 11

;p3 ;1)?

3= (12

;p3 ;1)?B1= (1;0;1)?B2= (12 ;p3 ;1)?B3= (12 ;p3 ;1)??R3?

V ect <(0;0;1)>?

????S3? i=0a iXi? ??? ???? ??? ?? ????? ??f? ??? ????P=Pd Z[X]? P(ei3 ??C[X]? ??Z[X]? ??? ???? ??? ?? ????? ??g? (P(p5);P(ei3

Universite Joseph Fourier L3 - Parcours B

Annee universitaire 2011/2012

EXAMEN GGMAT35c

19 juin 2012

Documents, calculatrices et telephones portables interdits. Dans la notation, il sera tenu compte de la qualite de la redaction et de la precision des justications.

Duree : 4h

Exercice 1(Questions de cours) (4 points)

1. Soitk:kune norme surRn; n1. Montrer que la normek:k1est plus ne que la norme

k:k:

9C >0;8u2Rnkuk Ckuk1:

2. (a) Caracteriser une partie fermee d'un espace vectoriel norme a l'aide des suites.

(b) Montrer que dans un espace vectoriel norme toute partie compacte est bornee et fermee.

3. Enoncer le theoreme de Riesz sur la compacite de la boule unite fermee.

4. Enoncer le theoreme du point xe.

Exercice 2(3 points)

On considereR2muni de la metrique euclidienne. On denit :

A=f(x;y)2R2;jxj yx2g:

Determiner siAest ouvert, ferme, compact, connexe par arcs. Decrire l'interieur deAodeA.

Justier vos reponses.

Exercice 3(4 points)

Soitf:R!Rune fonction continue. On rappelle que le graphe defest l'ensemble f= f(x;y)2R2;y=f(x)gmuni de la topologie induite par la topologie usuelle deR2.

1. Montrer que

fest connexe par arcs.

2. Montrer quefa un point xe si et seulement si frencontre la bisectrice =f(x;x)2

2g.

3. Expliciter (en justiant) les composantes connexes par arcs deR2n.

4. Montrer que sifn'a pas de point xe, alors l'applicationidRf:R!Rest de signe

constant. En deduire qu'une application continue bornee deRdansRa des points xes.

T.S.V.P.

Exercice 4(3 points)

SoitEl'espace vectoriel des fonctions polynomiales deRdansR. Pour toutP2E, on pose kPk1= sup t2[0;1]jP(t)j;kPk2= sup t2R(ejtjjP(t)j)

1. Montrer quek:k1etk:k2sont des normes surE.

2. Montrer qu'il existeC >0 tel que pour toutP2E;kPk1CkPk2:

3. Soitn0 un entier. CalculerkPk1etkPk2pourP(t) =tn. En deduire que les deux

normesk:k1etk:k2ne sont pas equivalentes.

Exercice 5(6 points)

On munit l'espaceE=C([0;1];R) des fonctions reelles continues sur l'intervalle [0;1] de la normekfk1= supx2[0;1]jf(x)j. On noteFle sous-espace vectoriel deEdes fonctionsf2E qui sont derivables et a derivee continue sur [0;1].

1. Montrer que la forme lineaireL:F!RdeFdenie parL(f) =f0(1=2) n'est pas continue

pour la topologie de la normek:k1surF. (Indication : on pourra considerer la suite de fonctionsfn:x7!sin(2nx)).

2. On considere la suite (fn)n2Nde fonctions deEdenie parfn(x) =q(x1=2)2+1n

Montrer que cette suite converge dansEvers une fonction que l'on determinera.

3. Montrer queFn'est pas complet pour la normek:k1.

4. On munitFde la normekfk=kfk1+kf0k1. Montrer queFest un espace de Banach

pour cette norme.quotesdbs_dbs2.pdfusesText_4

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