FRACTIONS PUISSANCES
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UniversiteBlaisePascal
U.F.R.SciencesetTechnologies
DepartementdeMathematiquesetInformatique
LicencedeMathematiques
Troisiemeannee,U.E.35MATF2
ALGEBRE:GROUPESETANNEAUX1
Polycopieducours
2007-2008
FrancoisDumas
LicencedeMathematiques,3emeannee
U.E.35MATF2
Coursd'algebre:groupesetanneaux1
FrancoisDUMAS
Chapitre1.{Groupes:lespremieresnotions
1.Groupesetsous-groupes
2.Groupesmonog
enes,groupescycliques3.Morphismesdegroupes
4.Produitdirectdegroupes.
5.Groupessym
etriques6.Groupesdi
edrauxChapitre2.{Groupes:groupesquotients
1.Sous-groupesnormaux
3.Quelquescompl
ementsChapitre3.{Anneaux:lespremieresnotions
1.Anneauxetsous-anneaux
2.Id eaux3.Anneauxquotients
4.Anneauxeuclidiens,anneauxprincipaux
1.Notionsg
en erales2.Arithm
etiquedanslesanneauxprincipaux3.Arithm
etiquedanslesanneauxfactoriels4.Factorialit
edesanneauxdepolyn^omesChapitre1
Groupes:lespremieresnotions
1.Groupesetsous-groupes
1.1Notiondegroupe
1.1.1D
1.1.2D
(A1)laloiestassociativedansG; (A2)laloiadmetunelementneutredansG;1.1.3D
1.1.4Exemples.
abelien. 1 multiplicative. conventionsx0=e,etxn=(xn)1. quelconqueestnecessairementunique. pourconclurequeGestungroupe.1.2Sous-groupe
C1.2.2D
sontveriees: laquelleHestlui-m^emeungroupe. 21.2.3Exemples.
sous-groupedeU.1.2.4Remarques.
sous-ensemblenon-vided'ungroupeG,alors groupeconnun'estpasunsous-groupe). sous-grouped'ungroupedejaconnu.1.2.5Exemples.
sous-groupedeGL(E),noteSL(E). touteslesbijectionsdeRsurR. sous-groupedeG. 3 groupesd'ungroupeG.PosonsK=T quiprouvequeKestunsous-groupedeG.ut1.3Casparticulierdesgroupesnis
1.3.1D
1.3.2Exemples.
C1.3.3Th
eor estni,etl'ordredeHdivisel'ordredeG. xh donchi=hjdonci=j). diagonaleprincipale.1.3.5Exemples.
4 11 111111
1jj2 11jj2 jjj21 j2j21j 1i1i 11i1i ii1i1 11i1i ii1i1 (b)DansGL2(R),notons: e=(1001);a=0110;b=1001;c=0110.
G1eabc
eeabc aabce bbcea cceab (c)DansGL2(R),notons: e=(1001);a=1001;b=1001;c=1001.G2eabc
eeabc aaecb bbcea ccbae2;1;2;3gavec:
e=(123123); =(123231); abelien. d'ordre3quiestfe; 2g. e 2123ee 2123
2e312
2 2e 231
1123e
2 2231
2e 3312
2e
2.Groupesmonog
enes,groupescycliques2.1Sous-groupeengendreparunelement
2.1.1Propositionetd
deGcontenantX.2.1.2D
hxi=fxm;m2Zg. x x 5 x2.1.4D
d'entreeux.End'autrestermes: (xestd'ordrendansG),(xn=eetxm6=esi1m2.2Groupesmonogenes,groupescycliques.
2.2.1D
d'aprescequiprecede:G=fe;x;x2;x3;:::;xn1g.
groupemonogeneinniestmonogeneinni. parxdoun=dq. 62.3Generateursd'ungroupecyclique.
2.3.1Exemplepr
eliminaire. x danslecercleunite. deG,quicorrespondausegmentAD.Figure1
2.3.2Th
eor x2H,ilexisteu2Ztelquex=xku x2H,ilexisteu2Ztelquexku1=e x2H,ilexisteu;v2Ztelqueku+nv=1. eux,cequiachevelapreuve.ut N !Ndeniepar'(1)=1et,pourtoutentiern2:Pardenitionde',onpeutcalculer:
deGsontxetx1.2.4Groupesnisd'ordrepremier
1.Gestcyclique,
2.lesseulssous-groupesdeGsontfegetG,
7 dutheoreme2.3.2.ut3.Morphismesdegroupes
3.1Notiondemorphismedegroupes
3.1.1D
f(x:y)=f(x)f(y)pourtousx;y2G.3.1.2Exemples.
lamultiplication,car: det(AB)=detA:detB,pourtoutesA;B2GLn(R). (b)L'applicationexp:R!R degroupesdeRmunidel'additiondansR +munidelamultiplication,car: exp(x+y)=expx:expy,pourtousx;y2R. estunmorphismedegroupesdevientalors: f(x:y)=f(x):f(y)pourtousx;y2G, (ii)f(x1)=f(x)1,pourtoutx2G, (iii)f(xn)=f(x)n,pourtoutx2Gettoutn2Z. etsif:G!G0estunmorphismedegroupes,ona: ff(x);x2Hgestunsous-groupedeG0; sous-groupedeG. prouveleresultatvoulu.ut 8Preuve.Evidente,laisseeaulecteur.ut
3.2Imageetnoyau
3.2.1Propositionetd
appelel'imagedef,etnoteImf; noteKerf.3.2.2Propositionetd
(i)festsurjectivesietseulementsiImf=G0; x:y ainsimontree,cequiachevelapreuve.ut3.2.3Exemples.Reprenonslesexemples3.1.2.
(b)Lemorphismeexp:R!R cequiprouvequ'ilestaussiinjectif.3.3Isomorphismesdegroupes
3.3.1D
f1estunisomorphismedegroupesdeG0surG.
G,cequiachevelapreuve.ut
3.3.3D
3.3.4Remarquesimportantes.
decesderniersparf. 9 G realisationconcretequel'onrencontre.01;(01
10)gdeGL2(R)etudieen1.3.5.betle
01;(10
01)getudieen1.3.5.cneleurestpas
reellementd'unautregroupe.3.3.5Quelquescons
equencesaretenir. n.OnlenoteCn. deslorsquen6=m. p;c'estlegroupecycliqueCp. f:Z!G m7!xm etleurstablesrespectivessont:C4eabc
eeabc aabce bbcea cceab Veabc eeabc aaecb bbcea ccbae quidonnelapremieretable. 10 obtientlasecondetable. dontonadonnelatableen1.3.5.d.3.4Automorphismesdegroupes
3.4.1D
deGdansGquiestunebijectiondeGsurG. d'arriveeestlem^emequelegroupededepart. elle-m^emeunautomorphismedeG.3.4.2Exemples.L'application
:C!Cdenieparz7! (z)= zestunautomorphisme dugroupeCmunidel'addition;ilverie 1= .L'applicationc:R +!R +deniepar x7!c(x)=x2estunautomorphismedugroupeR +munidelamultiplication;sabijection reciproqueestl'automorphismec1:R +!R +deniparx7!c1(x)=px.3.4.3Propositionetd
f3.5Automorphismesinterieursetcentre.
3.5.1Propositionetd
efinition.SoitGungroupe. deG,appelelecentredugroupeG,etnoteZ(G):Z(G)=fx2G;gx=xgpourtoutg2Gg.
(ii)Lesous-groupeZ(G)estabelien. (iii)GestabeliensietseulementsiZ(G)=G. xLespoints(ii)et(iii)sontalorsevidents.
11 queZ(G)=T x2GC(x).3.5.3Propositionetd
efinition.SoitGungroupe. x(g)=xgx1pourtoutg2GPreuve.(i)Fixonsx2G.Pourtoutg2G,ona:
x1(x(g))=x1(xgx1)x=g=x(x1gx)x1=x(x1(g)). ona:Cequiachevelapreuve.
4.Produitdirectdegroupes.
4.1Produitdirect(externe)dedeuxgroupes
4.1.1Propositionetd
est(e1;e2). 124.1.2Remarques.Ilestclairque:
desexemples.4.2.2Premierexempleintroductif.
satable. e=(e;e),a=(e;x),b=(x;e)etc=(x;x).DoncC2C2n'estpascyclique.
(e;e)(e;x)(x;e)(x;x) (e;e)(e;e)(e;x)(x;e)(x;x) (e;x)(e;x)(e;e)(x;x)(x;e) (x;e)(x;e)(x;x)(e;e)(e;x) (x;x)(x;x)(x;e)(e;x)(e;e)4.2.3Secondexempleintroductif.
Onetablitaisementsatable.
(e;")(x;y)(e;y2)(x;")(e;y)(x;y2) (e;")(e;")(x;y)(e;y2)(x;")(e;y)(x;y2) (x;y)(x;y)(e;y2)(x;")(e;y)(x;y2)(e;") (e;y2)(e;y2)(x;")(e;y)(x;y2)(e;")(x;y) (x;")(x;")(e;y)(x;y2)(e;")(x;y)(e;y2) (e;y)(e;y)(x;y2)(e;")(x;y)(e;y2)(x;") (x;y2)(x;y2)(e;")(x;y)(e;y2)(x;")(e;y)OnconclutqueC2C3'C6estcyclique.
4.2.4Th
eor premiersentreeux. G z laisseeaulecteur.ut laforme: C nCm'Cnm()metnpremiersentreeux. 13 parunelementdeK.HK=fhk;h2H;k2Kg.2h1=k2k1
1.Lepremierproduit
Donch1
2h1=k2k1
12H\K,c'est-a-direh1
2h1=k2k1
1=e,etdonch2=h1etk2=k1.
(h;k)7!hk.4.3.2D
(1)G=HK,(2)H\K=feg,(3)8h2H;8k2K;hk=kh. (a)Exemple.Soient:G=f10c01b001
;b;c2Rg,H=f10001b001
;b2Rg,K=f10c010001
;c2Rg, produitdirectdeHparK. (b)Exemple.Soit:G=f(1001);100j;10 0j2 ;j0 01; j20 01 ;j0 0j;j0 0j2 j20 0j ;j20 0j2 g. y=j0 commelemontrelapropositionsuivante. leurproduitdirect.Posons: 145.Groupessym
etriques5.1Notiondegroupesymetrique.
5.1.1Remarquepr
nedependdoncquedesoncardinal.5.1.2D
quelconquesurlui-m^eme.OnlenoteSn. (a)Snestungroupeni,d'ordren!. tationsouslaforme=123n(1)(2)(3)(n) n3).Posons =ijk jki et=ijk ikj .Ona =ijk jik et =ijk kji .Donc 6=2;1;2;3gavec:
e=(123123); =(123231); e 2123ee 2123
2e312
2 2e 231
1123e
2 2231
2e 3312
2e commeonl'avuen3.3.5.(d)). S etfe;3g,etunsous-grouped'ordre3quiestfe; 2g.
5.2.1D
c'est-a-dire1=.5.2.2Th
eor S 155.3Signature
5.3.1D
d'inversionsdel'entier: "()=(1)I().DoncI()=ji+ji1=2(ji)1estimpair.
2Sn,ona:"(
7!"() estunmorphismedegroupes. Q2Sn,ona
(f)=( (x1;x2;:::;xn)=Q1i x 2Sn,ona:
).Commel'applicationn'est )"().ut 5.3.4Corollaire.Soit2Sn.
deenproduitdetranspositions. 5.4Groupealterne.
5.4.1.D
noteAn. 2. etAn\X=;,onconclutquecardX=jAnj=1 2jSnj=12n!.ut
16 2gavec
=(123231). x 1=(12341342),y1=(12341423)=x2
1,x2=(12343241),y2=(12344213)=x2
2, x 3=(12342431),y3=(12344132)=x2
3,x4=(12342314),y4=(12343124)=x2
4. eabcx1y1x2y2x3y3x4y4 eeabcx1y1x2y2x3y3x4y4 aaecbx3x4y3y4x1x2y1y2 bbceay4x2y1x3y2x4y3x1 ccbaey2y3x4x1y4y1x2x3 x1x1y4y2x3y1ecx4x2aby3 y1y1y3x4x2ex1x3bcy4y2a x2x2x4y3y1by4y2eax1x3cquotesdbs_dbs45.pdfusesText_45
2Sn,ona:
).Commel'applicationn'est )"().ut5.3.4Corollaire.Soit2Sn.
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5.4.1.D
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=(123231). x1=(12341342),y1=(12341423)=x2
1,x2=(12343241),y2=(12344213)=x2
2, x3=(12342431),y3=(12344132)=x2
3,x4=(12342314),y4=(12343124)=x2
4. eabcx1y1x2y2x3y3x4y4 eeabcx1y1x2y2x3y3x4y4 aaecbx3x4y3y4x1x2y1y2 bbceay4x2y1x3y2x4y3x1 ccbaey2y3x4x1y4y1x2x3 x1x1y4y2x3y1ecx4x2aby3 y1y1y3x4x2ex1x3bcy4y2a x2x2x4y3y1by4y2eax1x3cquotesdbs_dbs45.pdfusesText_45[PDF] Algébres 2nde Mathématiques
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