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Délivré par UNIVERSITE MONTPELLIER 2

Préparée au sein de l'école doctorale

Information, structures et systèmes

et de l'unité de recherche LIRDEF Spécialité : Didactique des mathématiques

Présentée par Nathalie BRIANT

Soutenue le 10/12/2013 devant le jury composé de Mme Marianna BOSCH, Professeur Université Ramon Llull Rapporteur M. Alain BRONNER, Professeur Université Montpellier 2, FDE Directeur M. Yves CHEVALLARD, Professeur émérite Université Aix -Marseille Examinateur Mme Gisèle CIRADE, Maître de conférences ESPE de l'académie de Toulouse Examinateur Mme Brigitte GRUGEON-ALLYS, Professeur ESPE de l'académie de Créteil, UPEC Rapporteur M. Yves MATHERON, Professeur Institut français de l'Éducation, ENS de Lyon Examinateur Étude didactique de la reprise de l'algèbre par l'introduction de l'algorithmique au niveau de la classe de seconde du lycée français

À mon père,

qui m'a transmis le plaisir d'apprendre, le goût des sciences, la persévérance et la recherche de la rigueur.

Remerciements

Au lieu de ce grand nombre de préceptes dont la logique est composée, je crus que j'aurois

assez des quatre suivants, pourvu que je prisse une ferme et constante résolution de ne

manquer pas une seule fois à les observer.

Le premier étoit de ne recevoir jamais aucune chose pour vraie que je ne la connusse

évidemment être telle ; c'est-à-dire, d'éviter soigneusement la précipitation et la prévention,

et de ne comprendre rien de plus en mes jugements que ce qui se présenteroit si clairement et si distinctement à mon esprit, que je n'eusse aucune occasion de le mettre en doute. Le second, de diviser chacune des difficultés que j'examinerois, en autant de parcelles qu'il se pourroit, et qu'il seroit requis pour les mieux résoudre. Le troisième, de conduire par ordre mes pensées, en commençant par les objets les plus

simples et les plus aisés à connoître, pour monter peu à peu comme par degrés jusque à la

connaissance des plus composés, et supposant même de l'ordre entre ceux qui ne se précèdent

point naturellement les uns les autres.

Et le dernier, de faire partout des dénombrements si entiers et des revues si générales, que je

fusse assuré de ne rien omettre.

Descartes, Discours de la Méthode (1637)

Ces quatre préceptes, que Descartes présente comme une sorte de méthode algorithmique,

résument bien le cheminement de ma pensée durant ce travail de thèse : ne rien recevoir pour

vrai sans l'avoir clairement compris et assimilé, diviser les difficultés et les traiter une à une,

établir un ordre des pensées - des objets (de la didactique) les plus simples aux plus

complexes - et tout passer en revue afin de ne rien omettre... Telle a été ma tâche lors de ces

quatre années !

Ce travail n'aurait pas été possible sans mon directeur de thèse, Alain Bronner, que je

remercie vivement pour ses conseils, ses régulations et la qualité scientifique de son

encadrement. J'adresse mes remerciements à Madame Marianna Bosch, Madame Brigitte Grugeon-Allys, Monsieur Yves Chevallard, Madame Gisèle Cirade et Monsieur Yves Matheron pour avoir accepté de faire partie du jury de ma thèse.

J'aimerais également remercier particulièrement les trois professeurs expérimentateurs Anne,

Alain et Marc pour le temps qu'ils m'ont accordé et pour nos échanges fructueux, sans oublier Éric qui a également participé à la phase expérimentale de ce projet. Je tiens à remercier sincèrement les membres du LIRDEF pour m'avoir accompagnée et la

direction de l'IUFM qui a aménagé mon temps de travail, me permettant ainsi de réaliser cette

thèse dans des conditions optimales. Je remercie mes collègues et mes amis qui m'ont apporté leur soutien. Je remercie mes enfants, Camille, Jeanne et Victor, pour leurs encouragements, leur

compréhension et leurs pensées, surtout au cours des six derniers mois où j'ai vécu comme

une recluse.

Et pour terminer, merci à François, mon mari, qui ne sait que trop ce que signifie l'expression

" l'absence en présence »... et qui est resté un soutien infaillible dans cette aventure, aussi

bien durant mes moments d'exaltation que mes moments de doute, toujours patient, toujours confiant et toujours à mon écoute.

Table des matières

1

TABLE DES MATIÈRES

TABLE DES MATIÈRES ......................................................................................................... 1

INTRODUCTION ...................................................................................................................... 7

CHAPITRE 1 - CADRE DIDACTIQUE THÉORIQUE ......................................................... 11

Introduction ............................................................................................................... 11

Éléments de la théorie anthropologique du didactique de Chevallard ...................... 12

1.2.1 La transposition didactique ................................................................................ 12

1.2.2 Le concept de praxéologie .................................................................................. 13

1.2.3 L'échelle de niveaux de codétermination didactique ......................................... 15

D'autres éléments théoriques sur les pratiques enseignantes .................................... 18

1.3.1 Justifications ....................................................................................................... 18

1.3.2 Les gestes professionnels de l'enseignant .......................................................... 19

1.3.3 Événements prévisibles et problématiques .............................................................. 22

1.3.4 La méthodologie " des quatre composantes » ......................................................... 22

1.4 Résumé du cadrage théorique utilisé ......................................................................... 25

1.5 Remarque sur les choix des cadres théoriques utilisés .............................................. 26

CHAPITRE 2 - CADRE DIDACTIQUE DE L'ALGÈBRE ................................................... 29

Le passage de l'arithmétique à l'algèbre : rupture ou continuité ? ............................ 29

Les objets de l'algèbre élémentaire ........................................................................... 33

2.2.1 Le statut des lettres et leur introduction dans l'enseignement ........................... 33

2.2.2 Le signe d'égalité, sens et usages ....................................................................... 39

2.2.3 Les expressions algébriques et la dualité procédurale/structurale ..................... 42

2.2.4 Les premières équations et leurs obstacles ......................................................... 46

2.3 Approche linguistique des expressions algébriques .................................................. 48

2.3.1 Approche logico-linguistique de Frege .............................................................. 48

2.3.2 Les travaux de Drouhard .................................................................................... 49

2.3.3 Les registres de représentation sémiotique de Duval ......................................... 49

2.3.4 Ostensifs et non-ostensifs de Bosch et Chevallard ............................................. 50

2.4 La compétence algébrique selon Grugeon ................................................................. 52

2.5 Articulation numérique-algèbre : typologie des rapports personnels des élèves aux

nombres réels ........................................................................................................................ 54

2.6 Le paradoxe de la compétence algébrique ................................................................. 56

CHAPITRE 3 - CADRE DIDACTIQUE DES TICE .............................................................. 61

Table des matières

2

3.1 L'introduction des TIC dans l'enseignement des mathématiques : une évolution

sociétale ................................................................................................................................ 61

3.2 Les travaux de Rabardel : artefact et instrument ....................................................... 63

3.3 Les travaux de Balacheff : la transposition informatique .......................................... 64

3.4 Le concept de pseudo-transparence ........................................................................... 64

3.5 La notion de distance instrumentale .......................................................................... 67

3.6 Les travaux de recherche sur les CAS pour l'enseignement de l'algèbre ................. 69

3.7 Retour sur le thème d'étude ....................................................................................... 72

CHAPITRE 4 - CADRE DIDACTIQUE DE L'ALGORITHMIQUE .................................... 75

4.1 Un premier algorithme ............................................................................................... 75

4.2 Définitions d'un algorithme ....................................................................................... 77

4.3 Définition de l'algorithmique .................................................................................... 79

4.4 Structure d'un algorithme/ d'un programme ............................................................. 81

4.5 Algorithmique dans les programmes actuels du lycée .............................................. 88

4.5.1 Pourquoi étudier l'algorithmique et la programmation au lycée ? .......................... 88

4.5.2 Historique de l'introduction de l'algorithmique dans la discipline des

mathématiques .................................................................................................................. 90

4.5.3 Algorithmique dans les programmes de mathématiques actuels ............................. 94

4.5.4 Conclusion en rapport avec le thème d'étude .......................................................... 95

CHAPITRE 5 - PROBLEMATIQUE .................................................................................... 103

5.1 Une étude de l'algèbre dans le cadre des programmes officiels de la classe de

seconde ............................................................................................................................... 103

5.2 La reprise de l'algèbre dans le cadre de la classe de seconde ................................. 107

5.3 Reprendre de l'algèbre par l'algorithmique dans le cadre de la classe de seconde . 109

5.4 Étude des conditions et des contraintes de cette reprise ......................................... 112

5.5 Problématique et résumé des hypothèses de recherche ........................................... 113

CHAPITRE 6 - MÉTHODOLOGIE DE RECHERCHE ....................................................... 115

6.1 Les différents éléments du recueil de données ............................................................. 115

6.1.1 Analyse institutionnelle de quelques concepts algébriques ................................... 115

6.1.2 Étude des connaissances d'élèves français en algèbre élémentaire, au niveau du

début du lycée ................................................................................................................. 117

6.1.3 Expérimentation didactique spécifique .................................................................. 118

6.1.4 Entretiens avec les professeurs expérimentateurs .................................................. 127

6.2 Organisation des analyses ............................................................................................. 129

6.2.1 Synthèse du recueil de données ............................................................................. 129

6.2.2 Méthodologie des analyses de l'expérimentation didactique spécifique ............... 130

6.3 Établissement et professeurs ayant participé à la recherche ......................................... 132

6.3.1 Caractéristiques de l'établissement ........................................................................ 132

Table des matières

3

6.3.2 Choix des enseignants expérimentateurs ............................................................... 133

CHAPITRE 7 - UNE ANALYSE INSTITUTIONNELLE ................................................... 135

7.1 Objectif de l'étude de manuels de troisième et de seconde ..................................... 135

7.2 Deux catégories pour le second degré ..................................................................... 139

7.3 Fréquence de l'utilisation des nombres déterminés dans les équations proposées par

les manuels ......................................................................................................................... 146

7.4 Conclusion ............................................................................................................... 147

CHAPITRE 8 - UNE ÉTUDE DES CONNAISSANCES DES ÉLÈVES ............................ 149

8.1 Exploration du programme PISA ............................................................................ 149

8.2 Exploration des enquêtes nationales ........................................................................ 157

8.3 Test diagnostique de fin de seconde ........................................................................ 159

8.3.1 Présentation ............................................................................................................ 159

8.3.2 Analyse a priori du test diagnostique ..................................................................... 161

8.3.3 Analyse des résultats du test diagnostique ............................................................. 180

8.3.4 Bilan et premières réponses à l'hypothèse H2 ....................................................... 196

CHAPITRE 9 - PRÉSENTATION DE LA TRAME D'INGÉNIERIE DIDACTIQUE ...... 199

9.1 Introduction ............................................................................................................. 199

9.2 Situation n°1 ............................................................................................................ 200

9.2.1 Présentation de la situation n°1 ........................................................................ 200

9.2.2 Analyse a priori de la situation n°1 .................................................................. 203

9.2.3 Les éléments imposés et modulables de la situation n°1 ................................. 208

9.3 Situation n°2 ............................................................................................................ 211

9.3.1 Présentation de la situation n°2 ........................................................................ 211

9.3.2 Analyse a priori de la situation n°2 .................................................................. 214

9.3.3 Tâches alternatives de la situation n°2 et objectifs complémentaires .............. 220

9.3.4 Les éléments imposés et modulables de la situation n°2 ................................. 223

9.4 Situation n°3 ............................................................................................................ 226

9.4.1 Préambule : modélisation des équations .......................................................... 226

9.4.2 Présentation de la situation n°3 ........................................................................ 227

9.4.3 Analyse a priori de la situation n°3 .................................................................. 229

9.4.4 Les éléments imposés et modulables de la situation n°3 ................................. 237

CHAPITRE 10 - ÉLABORATION DES TRAMES PROJETÉES ....................................... 241

10.1 Entretien générique pré-expérimentation ................................................................ 241

10.1.1 Présentation de l'entretien ................................................................................ 241

10.1.2 Analyse a priori de l'entretien .......................................................................... 242

10.1.3 Analyse a posteriori des entretiens ................................................................... 243

10.1.4 Bilan des entretiens génériques pré-expérimentation ....................................... 250

Table des matières

4

10.2 Situation de l'expérimentation dans la progression annuelle des professeurs ......... 251

10.3 Retour sur la méthodologie de constitution des trames projetées ........................... 253

10.4 Analyse a priori des trames projetées d'Annabelle et de Maurice (TP1 et TP2) ...... 254

10.4.1 Situation n°1 ..................................................................................................... 254

10.4.2 Situation n°2 ..................................................................................................... 263

10.4.3 Situation n°3 ..................................................................................................... 266

10.5 Analyse a priori de la trame projetée d'Alex (TP3) ................................................. 268

10.5.1 Situation n°1 ..................................................................................................... 268

10.5.2 Situation n°2 ..................................................................................................... 274

10.5.3 Situation n°3 ..................................................................................................... 278

10.6 Bilan : comparaison des trames projetées................................................................ 282

10.6.1 Situation n°1 ..................................................................................................... 282

10.6.2 Situation n°2 ..................................................................................................... 289

10.6.3 Situation n°3 ..................................................................................................... 291

CHAPITRE 11 - ANALYSE DES SÉQUENCES RÉALISÉES........................................... 293

11.1 Situation n°1 ............................................................................................................ 294

11.1.1 Classe d'Annabelle : séance 1 .......................................................................... 294

11.1.2 Classe de Maurice : séance 1 ............................................................................ 322

11.1.3 Classe d'Alex : séance 1.1 ................................................................................ 338

11.1.4 Classe d'Alex : séance 1.2 ................................................................................ 360

11.2 Situation n°2 ............................................................................................................ 380

11.2.1 Classe d'Annabelle : Séance 2 ......................................................................... 380

11.2.2 Classe de Maurice : Séance 2 ........................................................................... 405

11.2.3 Classe d'Alex : Séance 2.1 ............................................................................... 421

11.2.4 Classe d'Alex : Séance 2.2 ............................................................................... 444

11.2.5 Classe d'Alex : Fin de la situation n°2 en travail maison ................................ 465

11.3 Situation n°3 ............................................................................................................ 470

11.3.1 Classe d'Alex : Séance 3.1 ............................................................................... 470

11.3.2 Classe d'Alex : Séance 3.2 ............................................................................... 487

11.4 Entretien spécifique post-expérimentation ................................................................. 506

11.4.1 Présentation de l'entretien .................................................................................... 506

11.4.2 Analyse a priori de l'entretien .............................................................................. 508

11.4.3 Analyse a posteriori des entretiens ...................................................................... 509

11.4.4 Bilan des entretiens spécifiques post-expérimentation ........................................ 515

CHAPITRE 12 - BILAN ........................................................................................................ 517

12.1 Situation n°1 : La catégorisation des équations .......................................................... 517

Table des matières

5

12.2 Situations n°2 et 3 : L'algorithmique et la programmation pour la résolution

d'équations.......................................................................................................................... 521

12.3 Sur l'introduction de l'algorithmique et de la programmation ................................... 524

12.4 Pour une reprise de l'expérimentation ........................................................................ 527

12.5 Sur les professeurs expérimentateurs ......................................................................... 529

12.6 Retour sur les hypothèses ........................................................................................... 531

12.6.1 Hypothèse H1 : sur la reprise par l'enseignant de l'algèbre comme objet .......... 531

12.6.2 Hypothèse H2 : sur la capacité des élèves à considérer l'algèbre comme objet .. 533

12.6.3 Hypothèse H3 : sur l'introduction de l'algorithmique pour l'apprentissage de

l'algèbre .......................................................................................................................... 534

12.6.4 Hypothèse H4 : sur les différences et les invariants des OM et OD des enseignants

pour l'enseignement de l'algèbre .................................................................................... 537

CONCLUSION ...................................................................................................................... 541

RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES ............................................................................... 549

TABLE DES ILLUSTRATIONS .......................................................................................... 561

Les annexes sont présentées dans le volume des annexes. 6

Introduction

7

INTRODUCTION

Les origines de la recherche

Les origines de cette recherche sont multiples. Elles reposent sur une combinaison de diverses rencontres que nous avons pu faire tout au long de notre carrière, rencontres conjuguant à la

fois des institutions, des personnes appartenant à ses institutions, des concepts mathématiques,

didactiques et informatiques, sans oublier notre cursus initial d'études et notre parcours

professionnel. Alliant un début de carrière comme ingénieur dans la recherche industrielle avec une poursuite dans l'Éducation Nationale en tant qu'enseignante de lycée, puis dans l'Enseignement Supérieur et de la Recherche comme formatrice à l'IUFM de Montpellier,

devenu Faculté d'Éducation à la rentrée 2013-2014, les multiples facettes de ce parcours nous

ont conduite à tisser des liens entre différents domaines et à effectuer des rapprochements entre eux. Aussi ce travail de recherche reflète-t-il notre parcours personnel : il se trouve au

carrefour de différentes spécialités, qui se complètent et s'enrichissent mutuellement, comme

nous tentons de le justifier ci-après.

L'objet de ce travail de recherche constitue une articulation entre divers éléments. Tout

d'abord, une première articulation fondamentale a émergé entre un large domaine

mathématique, lui-même constitué de deux sous-domaines, le numérique - algébrique, tel que

l'a défini Bronner (2007), et un concept didactique, la notion de reprise développée dans la

thèse de Larguier (2009). Ces deux premiers objets constituent l'un des substrats de recherche du laboratoire ERES du LIRDEF

1 de l'Université de Montpellier II ; ils nous ont permis de

nous appuyer sur des thématiques répondant à des besoins propres de formation des

professionnels des métiers de la formation et de l'enseignement, et ce, dans un souci de

continuité et de cohérence avec des travaux déjà entrepris dans ce laboratoire. D'autre part, toute préoccupation d'enseignement et d'apprentissage ne peut se faire sans tenir compte du niveau institutionnel, et en particulier des programmes propres à chaque niveau de

l'École. Depuis la rentrée scolaire 2009 s'effectue en France la réforme des lycées, débutée en

classe de Seconde et poursuivie en classes de Première et de Terminale en 2011 et 2012. Cette réforme s'accompagne de changements de programmes qui concernent, entre autres, en mathématiques, le domaine numérique - algébrique2 : la question de la reprise des premiers

concepts de ce domaine vus au collège se pose aux professeurs de lycée d'une façon nouvelle,

d'autant plus que des changements de programmes au niveau du collège ont également été opérés. Un autre changement institutionnel concerne l'introduction, dans toutes les classes de la voie générale du lycée, de l'algorithmique dans les programmes de mathématiques. Sans

doute influencée par notre formation initiale d'ingénieur informaticien, notre intérêt s'est

porté sur l'intégration des TIC dans l'enseignement des mathématiques. L'introduction de cette nouvelle branche de l'informatique nous a semblé porteuse de sens mais aussi sujette à de nombreuses questions : comment les enseignants l'intègreront-ils dans leur enseignement ?

1 Etudes et Recherches sur l'Enseignement des Sciences (ERES), composante du Laboratoire Interdisciplinaire

de Recherche en Didactique, Education et Formation (LIRDEF)

2 Ce point sera développé dans le cadre de ce travail au chapitre 5.

Introduction

8 Comment les élèves recevront-ils ce nouvel enseignement : comme une aide à la compréhension des concepts mathématiques ou comme un greffon extérieur venant se surajouter à des notions mathématiques qu'ils ont parfois des difficultés à comprendre ?

Un dernier point est à soulever : le lien entre algèbre et algorithmique. En effet, d'un point de

vue historique et épistémologique, les deux mots ont une origine commune, le nom du

philosophe, mathématicien et astronome Al-Khawarizmi d'origine perse (vers 780 - 850) : le mot algorithme est la traduction française de son propre nom et le terme algèbre vient de l'expression al jabr qu'Al-Khawarizmi utilisait pour signifier la transposition3 d'un terme négatif d'un membre à l'autre dans une équation donnée. Ce travail de recherche tente de montrer que les origines communes des termes algèbre et algorithme ne se limitent pas à une

question de vocabulaire, mais permettent une réelle articulation entre les concepts qu'ils

véhiculent.

Pour résumer, ce travail s'articule entre les thématiques de recherche précitées, présenté ci-

dessous sous forme synoptique. C'est l'étude de cette articulation, matérialisée par les flèches

du schéma ci-dessous et qui relient les différents éléments les uns aux autres qui vont faire

l'objet de cette recherche. Figure 1: Articulation entre les différents domaines en jeu dans la recherche menée

Les premières questions de la recherche

À partir de ces différents éléments et de leurs articulations, et forte de notre expérience

d'enseignante en lycée, nous nous sommes intéressée à l'enseignement/apprentissage de

l'algèbre en classe de seconde. Ce niveau de classe a retenu notre attention à plusieurs titres.

Il représente pour chaque élève suivant une filière générale un passage, une classe charnière

3 La traduction mot à mot est reboutement, c'est-à-dire remise en place, réparation.

Articulation

Numérique -

Algébrique

Nouveaux

programmes de lycée Algorithmique

Continuité des

travaux

LIRDEF -

ERES

Analyse des

changements et des continuités - Expérience d'ingénieur en programmation - Expérience d'enseignant en TICE

Origine commune des mots

algorithme et algèbre

Al-Khawarizmi

Concept de

reprise

Introduction

9

entre le collège et la série du cycle terminal du lycée qui sera choisie. De plus, de nombreux

travaux de recherche sur l'enseignement de l'algèbre élémentaire ont montré les difficultés

épistémologiques et didactiques de l'introduction de ce domaine, et nombre de lycéens

éprouvent des difficultés avec les premiers concepts algébriques introduits au collège.

L'algèbre se trouve alors avoir un rôle spécifique, particulièrement en classe de seconde,

puisqu'elle fonctionne comme un verrou d'accès aux études mathématiques et scientifiques.

Nous nous interrogeons sur la reprise de l'algèbre élémentaire vue au collège. Étant donné

l'étendue de ce domaine, nous avons choisi de nous intéresser essentiellement aux objets gravitant autour du concept d'équation, que nous cherchons à approfondir par le détour de

l'algorithmique. Ce choix est guidé par les éléments donnés au paragraphe précédent, mais

aussi parce que ce concept permet d'atteindre de nombreux objets du savoir algébrique. Nous

nous attachons à la fois à l'enseignement et à l'apprentissage de ces objets, et les premières

questions de recherche peuvent être envisagées sous différents axes. En nous basant sur le triangle didactique, nous amorçons les questions suivantes : - Relativement au savoir : quelle place occupe ces objets de l'algèbre en classe de seconde, relativement aux programmes institutionnels ? Quelle évolution par rapport aux anciens programmes ? - Relativement à l'enseignant : quelles sont les conditions et les contraintes de l'enseignant vis-à-vis de l'enseignement de ces objets ? Comment l'enseignant considère-il leur reprise,

considérant l'enseignement déjà dispensé au collège ? Envisage-t-il un détour par

l'algorithmique pour l'enseignement de ces objets et de quelles manières ?

- Relativement à l'élève : reprendre le concept d'équation en seconde, est-ce bien utile ? Quel

est l'état des savoirs de l'élève à ce niveau ? Un détour par l'algorithmique peut-il faciliter

l'apprentissage de concepts algébriques ?

Le présent travail a pour ambition de tenter de répondre, au moins partiellement, à ces

questions. Les différents chapitres du mémoire et les différentes études de la recherche Notre exposé se présente en trois grandes parties que nous avons choisi de décliner en 12 chapitres, de la façon suivante :

Les quatre premiers chapitres du mémoire de thèse constituent la présentation du cadre

didactique dans lequel nous nous inscrivons (chapitre 1), puis est réalisé un état des lieux de

la recherche en didactique de l'algèbre élémentaire (chapitre 2) et de la recherche sur

l'intégration des TIC et de l'algorithmique dans l'enseignement des mathématiques (chapitres

3 et 4). Ces premiers chapitres permettent de clarifier les concepts et la terminologie utilisée

dans la suite de l'exposé. Le cadre didactique principal est emprunté à Chevallard (1985,

1992, 1999) pour la théorie anthropologique du didactique, et nous développons dans le

premier chapitre certains aspects de ses recherches particulièrement utiles dans ce travail.

Nous y développons également quelques outils théoriques complémentaires sur lesquels nous

avons appuyé nos analyses . Le chapitre suivant, sur les recherches en enseignement et

apprentissage de l'algèbre élémentaire, n'a pas vocation à présenter un bilan exhaustif des

travaux fort nombreux en ce domaine, mais propose un état des lieux des principales recherches sur les objets de l'algèbre auxquels nous nous intéressons. Les travaux de Grugeon

(1995) sur la compétence algébrique nous servent pour une grande part de référence. Le

Introduction

10 chapitre suivant expose des résultats de travaux autour des TIC liées à l'enseignement/apprentissage des mathématiques, ainsi que les questions d'instrumentation qui en découlent dans une perspective didactique, avec les apports de l'approche instrumentale développée en ergonomie cognitive (Rabardel, 1995), et également des travaux de Balacheff (1994) sur la transposition informatique. Cette première partie se termine par un chapitre sur l'algorithmique, où peu de travaux de recherche en didactique sont dénombrés. Nous sous sommes principalement appuyée sur les travaux de thèse de Nguyen (2005) et de

Modeste (2012).

La deuxième partie de la thèse est constituée des chapitres 5 et 6 qui explicitent notre

méthodologie de recherche et notre problématique dont l'intitulé est le suivant :

Quelles sont les conditions et des contraintes, côté enseignant et côté apprenant, pour une

reprise de l'algèbre par l'introduction de l'algorithmique dans le cadre de la classe de

seconde du lycée ?

Quatre hypothèses de recherche sont dégagées en lien avec cette problématique, portant sur

différents pôles : le savoir à enseigner et le savoir enseigné, le professeur, l'élève. Le chapitre

6 présente alors la méthodologie générale de notre travail ainsi que les diverses procédures

qui composent ce cadre méthodologique.

La troisième partie de notre mémoire constitue le questionnement de nos hypothèses de

recherche (chapitres 7 à 12). Nous pourrions qualifier les chapitres 7 et 8 de recherches in

vitro et les chapitres 9 à 11 de recherches in vivo. En effet, les premières recherches portent

sur une étude comparative de manuels scolaires de troisième et de seconde au sujet des

praxéologies développées sur de mêmes concepts algébriques (chapitre 7) et sur l'étude d'un

test diagnostique réalisé en fin de seconde sur 160 élèves d'un même lycée, portant sur des

concepts algébriques utilisés comme objet ou comme outil (chapitre 8). Les recherches suivantes sont constituées de la conception d'une ingénierie didactique, située au coeur de notre problématique, conjuguant algèbre et algorithmique, que nous analysons a priori au

chapitre 9. Cette ingénierie est ensuite proposée à trois enseignants expérimentateurs qui la

projettent en trois séquences (chapitre 10), puis les trois séquences réalisées en classe de

seconde sont analysées a posteriori (chapitre 11).

Le chapitre 12 consiste en la discussion des résultats obtenus et en des éléments de réponse

aux hypothèses de recherche.

En conclusion, sont évoquées les limites de cette recherche, les retombées que cette étude

peut susciter sur le plan de la formation des enseignants, ainsi que les pistes que cette

recherche nous a permis de dégager.

Chapitre 1 : Cadre didactique

11

CHAPITRE 1 - CADRE DIDACTIQUE THÉORIQUE

Introduction

Le titre de la thèse " Étude didactique de la reprise de l'algèbre par l'introduction de

l'algorithmique au niveau de la classe de seconde du lycée français » annonce que les travaux

entrepris se situent à la frontière de différents champs, de différents domaines qui s'articulent

entre eux. Il s'ensuit que le travail d'analyse et de synthèse de cette recherche nécessite des

outils théoriques issus de plusieurs origines et avec différentes approches.

Afin de préciser le cadre théorique utilisé dans ce travail, il nous semble opportun de repartir

d'une définition de la didactique des mathématiques et nous avons choisi celle-ci de

Chevallard (2005) :

Au sens large, la didactique des mathématiques se voue à étudier les conditions et contraintes sous lesquelles

des mathématiques se mettent à vivre, à migrer, à changer, à opérer, à dépérir, à disparaître, à renaître, etc.,

au sein des groupes humains. Les travaux entrepris dans cette thèse vont étudier comment vivent des mathématiques, en prenant en compte les points de vue de divers groupes humains : celui de l'élève, celui du

professeur, celui de l'institution scolaire, celui de la société dans laquelle évoluent ces

différents acteurs ou composantes. Chacun de ces acteurs ou chacune de ces composantes

interagissent selon des conditions et des contraintes liées à l'institution dans laquelle ils

évoluent. Pour préciser, les conditions relèvent davantage des facteurs sur lesquels il est

possible d'agir, alors que le vocable contraintes renvoie plutôt aux caractéristiques qui ne

peuvent être modifiées et avec lesquelles il faudra composer, et ce, à tous les niveaux : au

niveau de l'élève face à son apprentissage, au niveau du professeur face à sa classe et à son

enseignement, au niveau de l'institution Éducation Nationale (EN) et de ses préconisations. Nous tentons de mettre en évidence des conditions et de ces contraintes dans le cadre de cette recherche, relativement aux différents acteurs ou composantes précités. D'autre part, bien que ce travail s'appuie sur des observations de trois pratiques enseignantes, des interactions des professeurs avec leurs élèves et des apprentissages de ces derniers, nous cherchons à dégager quelques invariants, ou du moins des régularités dans les expérimentations menées afin de proposer des conclusions relativement fiables et

transposables. Aussi, afin de modéliser le travail de l'enseignant et celui de ses élèves, en

tenant compte des conditions et contraintes qui s'exercent sur eux, nous avons choisi un cadre théorique permettant des analyses autant de niveau macro-didactique que de niveau micro- didactique telle la théorie anthropologique du didactique (TAD) de Chevallard (1992b, 1997,

1999). Néanmoins, nous avons éprouvé le besoin de compléter ce cadre par d'autres travaux,

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