[PDF] Théorie algébrique des nombres Gaëtan Chenevier

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Théorie algébrique des nombres

Cours de Master 1 enseigné à l"École Polytechnique 2011 - 2019

Gaëtan Chenevier

gaetan.chenevier@math.cnrs.fr

Préambule

Ce cours est une introduction à la théorie algébrique des nombres que j"ai ensei- gnée aux étudiants de troisième année de l"École Polytechnique entre 2011 et 2019 (niveau "master 1"). Qu"ils soient remerciés ici pour cette aventure enrichissante et pour leurs nombreux retours. Le cours ne nécessite pas de prérequis particulier, hor- mis des notions sur les structures algébriques de base (groupes, anneaux, corps). Dans le second chapitre, nous supposons aussi connue la mesure de Lebesgue sur R n: son utilisation est intuitive et aurait pu être évitée de manière artificielle, mais nous n"avons pas jugé bon de le faire pour conserver l"élégance des énoncés. Sur la forme, nous disposions de 9 séances de 4h, réparties en 2h de cours et 2h d"exercices, et traitions un chapitre par séance en laissant de côté parfois certains développe- ments inessentiels à l"enchainement du cours. Comme toujours, disposer de plus de

temps aurait été le bienvenu! Les chapitres 1 à 4 peuvent être étudiés de manière

indépendante. Le fil conducteur de ce texte est la question suivante : Question :Soitdun entier1, peut-on caractériser les nombres premiers de la formex2+dy2avecx;yentiers? Par exemple, on sait depuis Fermat que les nombres premiers qui sont la somme de deux carrés sont exactement ceux1 mod 4(casd= 1). De même, Euler avait conjecturé qu"un nombre premier6= 5est de la formex2+5y2si et seulement s"il est

1;9 mod 20, conjecture prouvée plus tard par Lagrange et Gauss. Nous verrons

dans ce cours de nombreuses explications et généralisations de ces phénomènes. Chapitre 1.Un entier de la formex2+dy2est un "carré modulod", c"est pourquoi le premier chapitre est consacré à l"étude des carrés deZ=NZ. Le cas crucial est celui oùNest un nombre premier, qu"il est commode d"étudier en introduisant le symbole de Legendre. Le résultat principal du premier chapitre est la démonstration de laloi de réciprocité quadratique, l"un des plus fameux (et difficile) théorème de Gauss. La démonstration donnée passe par l"étude des propriétés arithmétiques des sommes de Gauss. Nous introduisons à cette occasion la notion d"entier algébrique, amenée à jouer un rôle central dans la suite du cours. Une autre démonstration, plus élémentaire et astucieuse, due à Eisenstein, est proposée dans les exercices. Chapitre 2.Le second chapitre, très différent du premier, a pour but d"introduire lagéométrie des nombres. Inventée par Minkowski, elle consiste à donner une mi- noration du nombre des points d"unréseaude l"espace euclidienRnappartenant à une partie convexe donnée, et ce en fonction de leurs volumes. Appliquées à certains réseaux de nature arithmétique, ces estimations ont des conséquences nombreuses et spectaculaires en théorie des nombres, et notamment à la Question ci-dessus. Cette théorie de Minkowski jouera aussi un rôle crucial au chapitre 6. Enfin, d"un point de vue technique, la théorie des réseaux développée dans cette partie nous permettra 3

4 PRÉAMBULE

de démontrer quelques résultats de base sur les groupes abéliens de type finis, que nous n"avons pas supposé connus. Chapitre 3.Dans ce troisième chapitre, particulièrement élémentaire, nous expo- sons la théorie desformes quadratiques binaires entières, i.e. les fonctionsZ2!Z de la forme(x;y)7!ax2+bxy+cy2, suivant Lagrange et Gauss (et notamment les Disquisitionnes Arithmeticae). Pour tout entier négatifD0;1 mod 4, nous étu- dions l"ensembleCl(D)des formes binaires de discriminantDmodulo changements de variables directs (notion d"équivalence propre). Comme l"a vu Lagrange, la dé- termination de l"ensembleCl(D)est cruciale pour répondre à la Question ci-dessus (casD=4d). Nous retrouverons les applications arithmétiques du chapitre 2 de manière beaucoup plus simple et mécanique. Chapitre 4.Nous introduisons l"arithmétiquedes anneaux généraux, et notam-

ment la propriété de factorisation unique des éléments en produits d"éléments irré-

ductibles. La hierarchie est exposée, et étudiée sur la riche famille des anneauxd"entiers quadratiques ima- ginairesAD, oùDest comme ci-dessus (par exemple,A4d=Z[pd]). LesADeu- clidiens sont classifiés, et les premiers liens entre l"arithmétique deADet l"ensemble Cl(D)apparaissent. On donne enfin des applications à la résolution de certaines

équations diophantiennes.

Chapitre 5.Il s"agit du premier d"une suite de trois chapitres sur la théorie algé- brique des nombres proprement dite, dans laquelle nous nous intéressons à l"arith- métique des anneaux engendrés par un ou plusieurs entiers algébriques (généralisant les anneauxAD). Nous introduisons d"abord la notion decorps de nombres, en fai- sant les rappels nécessaires sur la théorie des corps, et développons divers outils importants pour leur étude (plongements, trace, norme, discriminant). Nous intro- duisons l"anneau des entiersOKd"un corps de nombresK, et l"étudions sur quelques exemples. En guise d"illustration des techniques développées, nous démontrons en général que le groupe additif deOKpossède uneZ-base finie (Dedekind). Chapitre 6. On introduitl"ensemble des classes d"équivalence d"idéauxd"un an- neau intègreA, notéCl(A). Il mesure le défaut de principalité de l"anneauAet est muni d"une loi de composition interne associative, commutative, de neutre la classe des idéaux principaux (non nuls) deA. On utilise la théorie de Minkowski pour montrer que siAest engendré par un nombre fini d"entiers algébriques alors Cl(A)est un ensemble fini : c"est lafinitude du nombre de classes. Le côté effectif de la théorie de Minkowski permet de déterminerCl(A)sur de nombreux exemples, notamment pour les anneaux de la formeAD. Chapitre 7. Nous étudionsCl(A)dans le cas oùA=OKest l"anneau des entiers d"un corps de nombresK. Nous montrons d"abord queCl(OK)est un groupe : tout idéal non nul deOKestinversible. Après des rappels sur la notion d"idéal premier, nous montrons ensuite un résultat central du cours : tout idéal non nul deOKs"écrit de manière unique comme produit d"idéaux premiers (Kummer, Dedekind). Nous

verrons comment cette propriété (très générale) peut rendre des services analogues à

la propriété de factorialité (rarement satisfaite), en montrant comment l"appliquer à l"étude des solutions(x;y)2Zde l"equation de Mordelly2=x3+k. Nous évoquons

PRÉAMBULE 5

enfin les résultats de Kummer sur l"étude des solutions entières de l"équationxp+ y p=zp. Chapitre 8. Dans ce chapitre, nous revisitons la théorie des formes binaires sous l"angle des chapitres précédents. Suivant Dedekind, nous montrons que les ensembles finisCl(D)etCl(AD)sont en bijection naturelle. Par exemple, on ajCl(D)j= 1 si et seulement siADest principal (ou factoriel, c"est équivalent à principal pour un anneau commeAD). En pratique, cela permet de déterminer très efficacement Cl(A D). LorsqueDest undiscriminant fondamental,ADest l"anneau des entiers de Q(pD), de sorte queCl(AD)est un groupe. Cela munitCl(D)d"une structure de groupe qui n"est autre que la fameuse loi decomposition des formesde Gauss. En guise d"application, nous donnons des critères pour quejCl(AD)jsoit impair, et des conséquences frappantes concernant la Question originelle (Gauss). Nous terminons sur lapartition en genresdeCl(D). Chapitre 9. Dans ce dernier chapitre, qui est une ouverture vers la théorieanaly- tiquedes nombres, nous exposons des résultats de Dirichlet, notamment sa fameuse formule analytique du nombre de classes. Cette formule donne une nouvelle expres- sion pour le nombrejCl(D)j=jCl(AD)j. Par exemple, si`est un nombre premier

3 mod 8, et`6= 3, on a

jCl(`)j=13 (C`N`) oùC`(resp.N`) est le nombre de carrés (resp. non carrés) modulo`dans l"intervalle f1;2;:::;`12 g. Pour démontrer ces formules, il nous faut utiliser presque tous les chapitres du cours, et étudier deux types deséries de Dirichlet: d"une part les fonctionsLde Dirichlet, et d"autre part lafonction zêtad"un corps de nombres (deux généralisations de la fonctionde Riemann).

Bonne lecture!

Table des matières

Préambule

3 Chapitre 1. La loi de réciprocité quadratique 5

1. Carrés modulo un entier

5

2. Digression : l"anneau des entiers algébriques

10

3. Congruences dansZ12

4. Sommes de Gauss

13

5. Une démonstration de la loi de réciprocité quadratique

14

6. Symbole de Jacobi

15

7. Complément : la structure de(Z=NZ)17

8. Exercices

19

Chapitre 2. Géométrie des nombres

25

1. Réseaux deRn25

2. Lemme du corps convexe de Minkowski

29

3. Quelques applications arithmétiques

32

4. Les nombres premiers de la formea2+db234

5. Exercices

38
Chapitre 3. Formes quadratiques binaires entières 43

1. Vocabulaire des formes

43

2. Notions d"équivalence entre deux formes

45

3. Entiers représentés par une forme, d"après Lagrange

47

4. L"ensemble des classes de formes de discriminant donné

49

5. Détermination deCl(D)lorsque le discriminantDest négatif, d"après

Gauss 51

6. Classes ambiguës de discriminant négatif

54

7. Exercices

56
Chapitre 4. Arithmétique des entiers quadratiques imaginaires 61

1. Vocabulaire de l"arithmétique des anneaux

61

2. Anneaux d"entiers quadratiques imaginaires euclidiens

66

3. Digression : application aux équations diophantiennes

68

4. Anneaux d"entiers quadratiques imaginaires factoriels

69

5. Exercices

72
Chapitre 5. L"anneau des entiers d"un corps de nombres 77

1. Les corps de nombres et leurs plongements

77

2. Trace, norme et discriminant : préliminaires algébriques

80

3. Entiers d"un corps de nombres

83

4. Structure additive deOKet discriminant deK86

5. Entiers des corps cyclotomiques

87

6. Exercices

89
1

2 Table des matières

Chapitre 6. Finitude du nombre des classes d"idéaux d"un anneau de nombres 93

1. L"ensemble des classes d"idéaux d"un anneau intègre

93

2. Finitude du nombre des classes d"idéaux

94

3. Digression : idéaux contenant un nombre premier

95

4. Réalisation géométrique deOK: le plongement canonique97

5. Exercices

102

Chapitre 7. Factorisation unique des idéaux

107

1. Le groupe des classes d"ideaux d"un corps de nombres

107

2. Idéaux premiers des ordres des corps de nombres

110

3. L"anneauOKest de Dedekind.112

4. De l"utilité de la décomposition des idéaux

115

5. Application à la détermination deCl(OK)sur un exemple118

6. Exercices

119
Chapitre 8. Formes binaires II : composition et genres 121

1. Idéaux des entiers quadratiques imaginaires et formes binaires

121

2. Supplément : identification des classes primitives et des classes opposées

124

3. Composition de Gauss des formes

125

4. Application : cas des nombres de classes impairs

129

5. Genre d"une forme binaire

130

6. Exercices

134
Chapitre 9. Formule du nombre de classes de Dirichlet 137

1. FonctionsLde Dirichlet138

2. La fonction zêta des corps quadratiques imaginaires

141

3. Produits eulériens

143

4. Factorisation de la fonctiond"un corps quadratique imaginaire145

5. La formule analytique du nombres de classes de Dedekind

148

6. Exercices

148

Annexe A. Problèmes de révisions et examens

151

1. Problèmes de révisions

151

2. Examen 2011-2012

153

3. Examen 2012-2013

154

4. Examen 2013-2014

155

5. Examen 2014-2015

157

6. Examen 2015-2016

159

7. Examen 2016-2017

161

8. Examen 2017-2018

163

9. Examen 2018-2019

165

Annexe B. Solutions, indications et corrigés

167

1. Exercices du chapitre 1

167

2. Exercices du chapitre 2

169

3. Exercices du chapitre 3

170

4. Exercices du chapitre 4

171

5. Exercices du chapitre 5

172

6. Exercices du chapitre 6

174

7. Exercices du chapitre 7

174

8. Problèmes de révision

176

Table des matières 3

9. Corrigé de l"examen 2011-2012

178

10. Corrigé de l"examen 2012-2013

180

11. Corrigé de l"examen 2013-2014

182

12. Corrigé de l"examen 2014-2015

185

13. Corrigé de l"examen 2015-2016

188

14. Corrigé de l"examen 2016-2017

191

15. Corrigé de l"examen 2017-2018

194

16. Corrigé de l"examen 2018-2019

197

Annexe C. Quelques nombres premiers

201

Bibliographie

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