[PDF] [PDF] Annales de mathématiques du baccalauréat scientifique 2019

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Annales

demathématiques dubaccalauréat scienti?que

Édition 2019

Sujets & corrigés détaillés

Éric Guirbal

ÉricGuirbal

Professeur indépendant de mathématiques

Toulouse

eric.guirbal@lecons-de-maths.fr www.lecons-de-maths.fr

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Version du 21 juin 2019Ce document est distribué selon les termes de la licence Creative Commons Attribution -

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Sommaire

1 Amérique du Nord

1

Énoncé

1

Corrigé

9

2 Liban

19

Énoncé

19

Corrigé

27

3 Centres étrangers&Pondichéry29

Énoncé

29

Corrigé

39

4 Antilles Guyanne

41

Énoncé

41

Corrigé

49

5 Polynésie

51

Énoncé

51

Corrigé

52

6 Asie

53

Énoncé

53

Corrigé

54

7 Métropole

55

Énoncé

55

Corrigé

57
iii

ÉNONCÉ

Sujet 1

Amérique du Nord

28 mai 2019

Exercice 1(5 points)

Commun à tous les candidats

Dans cet exercice et sauf mention contraire, les résultats seront arrondis à103.

Une usine fabrique des tubes.

Partie A

Les questions 1 et 2 sont indépendantes.On s"interesse à deux types de tubes, appelés tubes de type 1 et tubes de type 2.

1.Un tube de type 1 est accepté au contrôle si son épaisseur est comprise entre

1;35millimètres et1;65millimètres.

a) On désigne parXla variable aléatoire qui, à chaque tube de type 1 prélevé en millimètres. On suppose que la variable aléatoireXsuit la loi normale d"espérance1;5et d"écart-type0;07. On prélève au hasard un tube de type 1 dans la prouction de la journée. Calculer la probabilité que le tube soit accepté au contrôle. b) Pour cela, on modi?e le réglage des machines produisant ces tubes. On noteX1la variable aléatoire qui, à chaque tube de type 1 prélevé dans la production issue de la machine modi?ée, associe son épaisseur. On suppose que la variable aléatoireX1suit une loi normale d"espérance1;5 et d"écart-typeσ1. 1

ÉNONCÉAMÉRIQUE DU NORD Exercice 1 (commun)Un tube de type 1 est prélevé au hasard dans la production issue de la

machine modi?ée. Déterminer une valeur approchée à103près deσ1 pour que la probabilité que ce tube soit accepté au contrôle soit égale à

0;98. (On pourra utiliser la variable aléatoireZdé?nie parZ=X11;5σ

1qui suit la loi normale centrée réduite.) 2. Une machine produit des tubes de type 2. Un tube de type 2 est dit "conforme pour la longueur» lorsque celle-ci, en millimètres, appartient à l"intervalle »298;302¼. Le cahier des charges établit que, dans la production des tubes de type 2, une proportion de2%de tubes non "conformes pour la longueur» est acceptable. On souhaite décider si la machine de production doit être révisée. Pour cela, on prélève au hasard dans la production de tubes de type 2 un échantillon de 250 tubes dans lequel 10 tubes se révèlent être non "conformes pour la longueur». a) Donner un intervalle de ?uctuation asymptotique à95%de la fréquence des tubes non " conformes pour la longueur » dans un échantillon de

250 tubes.

b)Décide-t-on de réviser la machine? Justi?er la réponse.

Partie B

Des erreurs de réglage dans la chaîne de production peuvent a?ecter l"épaisseur ou la longueur des tubes de type 2. Une étude menée sur la production a permis de constater que : -96%des tubes de type 2 ont une épaisseur conforme; parmi les tubes de type 2 qui ont une epaisseur conforme,95%ont une longueur conforme; -3;6% des tubes de type 2 ont une épaisseur non conforme et une longueur conforme. On choisit un tube de type 2 au hasard dans la production et on considère les

événements :

E : " l"épaisseurdu tub eest conforme »;

2

ÉNONCÉ

AMÉRIQUE DU NORD Exercice 2 (commun)

L : " lalongueur du tub eest conforme ».

On modélise l"expérience aléatoire par un arbre pondéré (?gure 1 ).E

L...L......E

L...L...

Figure1

1. Re copieret compléter entièr ementcet arbr e. 2. Montr erque la pr obabilitéde l"é vénementLest égale à0;948.

Exercice 2(4 points)

Commun à tous les candidatsLe plan complexe est muni d"un repère orthonormé direct¹O;®u;®vº. Dans ce

qui suit,zdésigne un nombre complexe. Pour chacune des a?rmations ci-dessous, indiquer sur la copie si elle est vraie ou si elle est fausse. Justi?er. Toute réponse non justi?ée ne rapporte aucun point. A?rmation 1.L"équationzi=i¹z+1ºa pour solutionz=p2e iπ4.

A?rmation 2.

Pour tout réelx2π2

;π2 , le nombre complexe1+e2ixadmet pour forme exponentielle2cosxeix.

A?rmation 3.

Un pointMd"a?xeztel quejzij=jz+1jappartient à la droite d"équationy=x. A?rmation 4.L"équationz5+zi+1=0admet une solution réelle. 3 ÉNONCÉAMÉRIQUE DU NORD Exercice 3 (commun)

Exercice 3(6 points)

Commun à tous les candidats

Partie A. Établir une inégalité

Sur l"intervalle»0;+1», on dé?nit la fonctionfparf¹xº=xln¹x+1º. 1. Étudier le sens de variation de la fonction fsur l"intervalle»0;+1». 2. En dé duireque p ourtout x2 »0;+1»,ln¹x+1º6x.

Partie B. Application à l"étude d"une suiteOn poseu0=1et pour tout entier natureln,un+1=unln¹1+unº. On admet

que la suite de terme généralunest bien dé?nie. 1. Calculer une valeur appr ochéeà 103près deu2.

2.a)Démontrer par réccurence que pour tout entier natureln,un>0.

b) Démontrer que la suite¹unºest décroissante, et en déduire que pour tout entier natureln,un61. c)Montrer que la suite¹unºest convergente. 3. Onnote`lalimite delasuite¹unºeton admetquel=f¹lºoùfestla fonction dé?nie dans la partie A. En déduire la valeur de`. 4.a) Écrire un algorithme qui, pour un entier naturelpdonné, permet de déterminer le plus petit rangNà partie duquel tous les termes de la suite

¹unºsont inférieurs à10p.

b) Déterminer le plus petit entier naturelnà partir duquel tous les termes de la suite¹unºsont inférieurs à1015.

Exercice 4(5 points)

Candidats n"ayant pas suivi l"enseignement de spécialité On relie les centres de chaque face d"un cubeABCDEFGHpour former un solideIJKLMNcomme sur la ?gure2 page suivante . Plus précisément, les pointsI,J,K,LetNsont les centres respectifs des faces carréesABCD,BCGF,CHG,ADHE,ABFEetEFGH(donc les milieux des diagonales de ces carrés). 4

ÉNONCÉ

AMÉRIQUE DU NORD Exercice 4 (obligatoire)

A BCDE FGH IJLN K M

Figure2

1.Sans utiliser de repère (et donc de coordonnées) dans le raisonnement mené,

justi?er que les droites¹INºet¹MLºsont orthogonales. Dans la suite, on considère le repère orthonormé¹A;# AB;# AD;# AEºdans lequel, par exemple, le pointNa pour coordonnées12 ;12 ;1.

2.a)Donner les coordonnées des vecteurs# NCet# ML.

b)En déduire que les droites¹NCºet¹MLºsont orthogonales. c) En déduire des questions précédentes une équation cartésienne du plan

¹NCIº.

3.a)Montrer qu"une équation cartésienne du plan¹NJMºestxy+z=1.

b)La droite¹DFºest-elle perpendiculaire au plan¹NJMº? Justi?er. 5 ÉNONCÉAMÉRIQUE DU NORD Exercice 4 (spécialité) c)Montrer que l"intersection des plans¹NJMºet¹NCIºest une droite dont on donnera un point et un vecteur directeur. Nommer la droite ainsi obtenue en utilisant deux ppoints de la ?gure.

Exercice 4(5 points)

Candidats ayant suivi l"enseignement de spécialité

Deux matrices colonnesxyet

x0 y 0

à coe?cients entiers sont dites congrues

modulo5si et seulement si xx0¹mod 5º yy0¹mod 5º:

Deux matrices carrées d"ordre2,

a c b d! et a0c0 b 0d0! à coe?cients entiers sont dites congrues moulo5si et seulement si 8 >>>>:aa0¹mod 5º bb0¹mod 5º cc0¹mod 5º dd0¹mod 5º: Alice et Bob veulent s"échanger des messages en utilisant la procédure décrite ci-dessous. Ils choisissent une matrice Mcarrées d"ordre2à coe?cients entiers. Leur message initial est é criten lettr esmajuscules sans accent. Chaque lettre de ce message est remplacée par une matrice colonnexy déduite du tableau

3 page ci-contr e

: xest le chi?re situé en haut de la colonne etyest le chi?re situé à gauche de la ligne; par exemple, la lettre Td"un message initial correspond à la matrice colonne¹43º. 6

ÉNONCÉ

AMÉRIQUE DU NORD Exercice 4 (spécialité)

01234

0ABCDE

1FGHIJ

2KLMNO

3PQRST

4UVXYZ

Figure3 -Remarque : la lettre W est remplacée par deux lettres accolées V. -On calcule une nouvelle matrice x0 y 0 en multipliantxyà gauche par la matriceM: x0 y 0! =M x y! On calculer0ett0les restes respectifs des divisions euclidiennes dex0et y0par5.

à la matrice colonner0

t 0. 1.

Bob et Alice choisissent la matrice M=1 23 4.

a) Montrer que la lettre " T » du message initial est codée par la lettre " U » puis coder le message "TE». b) On poseP=3 14 2. Montrer que les matricesPMetI=1 00 1sont congrues modulo5. c) On considèreA,A0deux matrices d"ordre2à coe?cients entiers congrues modulo5etZ=xy,Z0=x0 y

0deux matrices colonnes à coe?cients

entiers congrues modulo5. Montrer alors que les matricesAZetA0Z0 sont congrues modulo5. Dans ce qui suit, on admet que siA,A0sont deux matrices carrées d"ordre2à coe?cients entiers congrues modulo5et siB,B0sont deux matrices carrées d"ordre2à coe?cients entiers congruess modulo5alors les matrices produits

ABetA0B0sont congrues modulo5.

7 ÉNONCÉAMÉRIQUE DU NORD Exercice 4 (spécialité) d)On noteX=x1x2etY=y1y2deux matrices colonnes à coe?cients entiers. Déduire des deux questions précédentes siMXetYsont congrues modulo5alors les matricesXetPYsont congrues modulo5; ce qui permet de "décoder» une lettre chi?rée par la procédure utilisée par Alice et Bob avec la matriceMchoisie. e)Décoder alors la lettre "D». 2. On souhaite déterminer si la matriceR=1 24 3peut être utilisée pour coder un message. a) On poseS=2 24 4. Véri?er que la matriceRSet la matrice0 00 0sont congrues modulo5. b) On admet qu"un message codé par la matriceRpeut être décodé s"il existe une matriceTtelle que les matricesTRetIsoient congrues modulo5. Montrer que si c"est le cas alors les matricesTRSetSsont congrues modulo5(par la procédure expliquée en question 1.d pour le codage avec la matriceM). c)En déduire qu"un message codé par la matriceRne peut être décodé.§§§ 8

CORRIGÉ

AMÉRIQUE DU NORD Exercice 1 (commun)

Exercice 1

Commun à tous les candidats

Partie A

1.a)La probabilité qu"un tube de type 1 soit accepté au contrôle est égale à

P¹1;356X61;65º. À l"aide d"un outil de calcul, nous trouvons, à103 près,

P¹1;356X61;65º 0;968:

b)

SoitZla variable aléatoireX11;5σ

1qui suit la loi normale centrée réduite.

On a1;356X161;65si et seulement si0;15σ

16Z60;15σ

1, d"où

P¹1;356X161;65º=P

0;15σ

16Z60;15σ

1 Compte tenu des propriétés de symétrie de la loi normale centrée réduite et deP¹1;356X161;65º=0;98, nous avons P

Z60;15σ

1 =12 1P

0;15σ

16Z60;15σ

1 =10;982 =0;01: La calculatrice donne0;15σ1=2;3263:::, d"oùσ10;064à103près.

2.a)Considérons l"expérience aléatoire consistant à tirer au hasardn=250

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