[PDF] Lalgorithmique au lycée entre développement de savoirs

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1

Thèse de doctorat

Préparée ăů'Université Paris Diderot

Ecole doctorale

" Savoirs scientifiques : épistémologie, histoire des sciences, didactique des disciplines » (ED 400)

Laboratoire de didactique André Revuz

de savoirs spécifiques et usage dans différents domaines mathématiques

Par Dominique LAVAL

Thèse de doctorat de Didactique des Mathématiques

Dirigée par Monsieur Alain KUZNIAK

Présentée et soutenue publiquement à Paris le 8 mars 2018

Présidente du jury : OUVRIER-BUFFET Cécile, Professeure des Universités, Université de Reims

Champagne-Ardenne

Rapporteurs : BRONNER Alain, Professeur des Universités, Université de Montpellier RICHARD Philippe R., Professeur des Universités, Université de Montréal (Canada) Examinatrice : ARTIGUE Michèle, Professeure des Universités, Université Paris Diderot Directeur de thèse : KUZNIAK Alain, Professeur des Universités, Université Paris Diderot

Laval Dominique Thèse de doctorat - 2018

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Titre :

domaines mathématiques

Résumé :

Les nouveaux programmes des lycées français, mis en place depuis la rentrée 2010, ont fixé des

cet enseignement, trois objectifs fondamentaux doivent émerger : approfondir les bases de la logique et du raisonnement ;

A la lecture des programmes du lycée (Seconde (Grade 10) et cycle terminal scientifique (Grades 11

donner sens à un certain nombre de notions étudiées. Comment dépasser ce stade pour que

cadre plus général de raisonnement et de preuve, mais aussi de démarches de modélisation en

mathématiques.

vue des apprentissages effectivement réalisés par les élèves et des pratiques des enseignants, et

mathématiques et propose un cadre théorique tenant compte des cadres généraux de la didactique

des mathématiques, en particulier les Espaces de Travail Mathématique (ETM) (Kuzniak, Richard,

2014) associés à des domaines mathématiques spécifiques.

(ETA) (Laval, 2014, 2016), nous précisons ce que peuvent être les plans épistémologique et cognitif

instrumentale et discursive auxquelles ces plans donnent lieu. Nous étudions aussi quels espaces

personnels peuvent se construire chez les élèves des différents niveaux scolaires du lycée, et

comment ils articulent des connaissances sur les algorithmes et les domaines mathématiques

scolaires.

mathématiques spécifiques avec, en particulier, des paradigmes guidant et orientant le travail des

élèves.

modèles ETM/ETA, nous affinons certaines de nos analyses dans le cadre des ETM/ETA sur la base du cycle de modélisation proposé par Blum et Leiss (2005) en relation avec certains domaines spécifiques des mathématiques. Pour cela, nous construisons plusieurs ingénieries didactiques mettant en place des

expérimentations dans divers domaines mathématiques. Nous avons ainsi le domaine de la théorie

pour des nombres entiers compris entre 000 et 999, puis construire deux types de preuves (non

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stratégie " gagnante » et " rapide » qui serait programmable dans un environnement numérique.

Une deuxième dite " dichotomie continue », où les élèves doivent produire une preuve basée sur la

pays si celui-ci met en place une politique des naissances précise, en lien avec la loi géométrique

tronquée.

Ces ingénieries sont expérimentées et analysées dans les trois niveaux du lycée français :

pratiques des enseignants.

Mots clefs :

Mathématiques ; algorithme ; algorithmique ; ingénierie didactique ; Espaces de travail Algorithmique (ETA) ; Espaces de travail Mathématique Spécifique (ETMs) ; paradigmes

algorithmiques ; théorie élémentaire des nombres ; analyse ; statistiques-probabilités ;

modélisation ; preuves ; algorithme de " dichotomie discret » ; algorithme de " dichotomie

continue » ; algorithme de Kaprekar ; politique des naissances

Title:

Algorithmics in High school between development of specific knowledge and use in various mathematical domains

Abstract:

The new programs of French High schools, since 2010, precise objectives in terms of algorithmics.

According to High schools curricula, algorithmics teaching appears as a tool (in the sense of Douady,

1986) to give meaning to some studied notions. How to go beyond this level so that algorithmic

becomes an object of learning (in the sense of Douady, 1986)? This research work is in the framework of learning of mathematical knowledge in algorithmics at the level of Grade 10 and Scientific Terminal Cycle (Grades 11 and 12) of the French high school. The study and construction of algorithms by students are located in a more general framework of reasoning and proof, but also mathematical modelling. We build three didactic engineerings in High school to study the work of student and to watch specific mathematical domains. framework taking into account the general frameworks of mathematics didactics, in particular the Mathematical Working Spaces (MWS) (Kuzniak, Richard, 2014) associated with specific mathematical domains. Following the specification of an Algorithmics Working Spaces (AWS) (Laval, 2014, 2016) we specify the possibilities of the epistemological and cognitive plans inside of these spaces increasing their

interactions with their semiotician, instrumental and discursive geneses. We also study which

personal spaces can be built for students at different levels of High school system, and how they articulate knowledge about algorithms and school mathematical domains. The models of MWS/AWS aim at analysing of mathematical work in specific mathematical domains, with in particular, paradigms guiding and directing the work of the student. Moreover, since few studies of modelling tasks have been built on MWS/AWS models, we refined some our analyses in the framework MWS/AWS basing on the modelling cycle proposed by Blum & Leiss (2005) in relation to some specific mathematical domains.

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4 We build several didactic engineerings that we experimented in various mathematical domains: (1) elementary number theory; (2) mathematical analysis; (3) probabilities and random simulations. These didactic engineerings are experimented and analysed in various French High school's grade: Grade 10 and Scientific Terminal Cycle (Grades 11 and 12). Our research work includes tools for

analysing tasks and activities in different mathematical domains. The methodology obtains

Keywords:

Mathematics; algorithm; algorithmics; didactic engineering; Algorithmics Working Space (AWS); Specific Mathematical Working Space (MWSs); algorithmics paradigms; elementary theory of numbers; analysis; statistics ʹ probabilities; modelling; proof; dichotomy method; Kaprekar's routine; truncated geometric distribution

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5 A ma femme, mes enfants, mes petits-enfants, mes parents et ma grand-mère

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Remerciements

intense accompagnée de moments de doute, de joie, de questionnements mais surtout de

thèse pendant les cinq premières années. Grace à ta patience, ton soutien, tes précieux

tout au long de ces années, même si certaines fois les échanges pouvaient être un peu délicats.

Je remercie Alain Kuzniak, qui a accepté de remplacer Jean-baptiste, comme directeur de

thèse, pendant la sixième et dernière année de mon travail de thèse consacrée à la mise en

permis de retrouver confiance en moi-même. Je remercie Philippe R. Richard et Alain Bronner pour avoir accepté la charge de rapporteur pensée mathématique. membres de mon jury de thèse.

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7 Mes remerciements vont aussi à Aline Robert, qui avec Michèle Artigue, lors de mon recherche dans le domaine de la didactique des mathématiques. Votre confiance et votre soutien auront été le déclencheur de ce goût à la recherche. Je remercie aussi Brigitte Grugeon-Allys, Maha Abboud, Laurent Vivier et Fabrice Vandebrouck pour leurs encouragements et leurs conseils à certains moments clés de mon travail de doctorant.

ces années de Master et de Thèse. Je remercie plus particulièrement les différents membres

du groupe ETM. Merci aussi à Sandrine, Evelyne, Laetitia, Jérôme pour leur gentillesse et leur travail. partagé pendant toutes ces années de thèse le bureau 5002. celui des WEJCH.

Merci à Madame Natta, Proviseure, et à mes anciens collègues de mathématiques du lycée

Galois à Sartrouville et plus particulièrement Daniel T. avec qui nous avons eu de longs échanges sur mes travaux de recherches. Merci aussi à Natalie et Pierre L. professeurs de mathématiques au lycée Thibault de Champagne à Provins. Merci à Sophie R. professeure de mathématiques au lycée International de Saint-Germain-en-Laye. Merci à Paul-Emile C.

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gentiment ouvert les portes de vos classes afin que je puisse procéder aux différentes

Denis, collègues de mathématiques et à Madame Laroque responsable pédagogique du site de Saint-Germain-en-Laye pour leur soutien moral. Ich danke Prof. Dr. Gabriele Kaiser. In den Arbeitsgruppen der internationalen Symposien moral lors de ces années de thèse. Je remercie aussi chacun de mes enfants et leurs conjoints Schwiegereltern für ihre Geduld, wenn habe ich in der Stube meine Bücher und Papiere über den ganzen Tisch gestreut habe.

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Table des matières

REMERCIEMENTS ......................................................................................................................... 6

INTRODUCTION .......................................................................................................................... 21

1. LES ORIGINES DE NOTRE TRAVAIL DE RECHERCHE ...................................................................................... 21

2. QUELLES APPROCHES POSSIBLES D'UN ENSEIGNEMENT DES ALGORITHMES EN COURS DE MATHEMATIQUES ? ..... 26

3. DEROULEMENT ET PLAN DE LA THESE ...................................................................................................... 31

PREMIERE PARTIE : CONSTITU' 'UN ENSEIGNEMENT

'N CLASSE DE MATHEMATIQUES AU LYCEE .............................................. 36 CHAPITRE 1 : DES DEFINITIONS ʹ LES PROGRAMMES SCOLAIRES ʹ LES QUESTIONS INITIALES. ...... 38

1. DES DEFINITIONS CLES ............................................................................................................... 38

1.1 UN ALGORITHME .............................................................................................................................. 38

1.2 UN PROGRAMME INFORMATIQUE ........................................................................................................ 40

1.3 LE CONCEPT DE LANGAGE DE PROGRAMMATION ..................................................................................... 41

1.4 'ALGORITHMIQUE ............................................................................................................................ 42

2. LES OBJECTIFS DES PROGRAMMES DE MATHEMATIQUES : SECONDE GENERALE ET CLASSES DU CYCLE TERMINAL DE

LA SERIE SCIENTIFIQUE ..................................................................................................................... 43

3.1 LA CLASSE DE SECONDE. ..................................................................................................................... 43

3.2 LES CLASSES DU CYCLE TERMINAL DE LA SERIE SCIENTIFIQUE. .................................................................... 48

3. ETAT DE L'ART SUR LES RECHERCHES EN DIDACTIQUE DES MATHEMATIQUES DANS LES DOMAINES DE LA

PROGRAMMATION ET DE L'ALGORITHMIQUE ......................................................................................... 52

3.1 UN RETOUR SUR LA RECHERCHE EN DIDACTIQUE AUTOUR DE LA PROGRAMMATION A LA FIN DES ANNEES 80 .... 52

3.2 UNE PREMIERE APPROCHE DU FONCTIONNEMENT DES MEMOIRES ET DES VARIABLES DANS LE CADRE DE

L'ALGORITHMIQUE ET DE LA PROGRAMMATION ............................................................................................... 53

4. UNE VISION DE LA RECHERCHE EN DIDACTIQUE SUR UNE INTRODUCTION DE L'ALGORITHMIQUE DANS

L'ENSEIGNEMENT DES MATHEMATIQUES AU LYCEE .................................................................................. 53

5. LES ASPECTS " OUTIL » ET " OBJET » DES ALGORITHMES.................................................................... 56

6. PLACE ET ROLE DES ALGORITHMES DANS LES PROGRAMMES ET LES MANUELS DEPUIS 2010 ........................ 57

7. 'ALGORITHMIQUE ET SON MODE DE PENSEE SPECIFIQUE ................................................................... 58

8. UN POINT SUR LES TRAVAUX EN DIDACTIQUE DES MATHEMATIQUES AUTOUR DE L'INFORMATIQUE ET DE

L'ALGORITHMIQUE .......................................................................................................................... 59

8.1 UN CADRE THEORIQUE BASE SUR UNE MODELISATION THEORIQUE PAR LES CONCEPTIONS ET LA DIALECTIQUE

OUTIL-OBJET POUR CARACTERISER L'OBJET " ALGORITHME » ............................................................................. 59

8.2 LE CADRE DE LA TRANSPOSITION DIDACTIQUE POUR ETUDIER LES APPORTS DE L'ALGORITHMIQUE A

L'ENSEIGNEMENT DES MATHEMATIQUES AU LYCEE ........................................................................................... 61

8.3 PRESENTATION DES ETUDES DE RECHERCHE FAITES EN PSYCHOLOGIE DE LA PROGRAMMATION ....................... 63

9. CONCLUSION DU CHAPITRE 1 : CONSEQUENCES DES OBSERVATIONS FAITES SUR LES DIFFICULTES OBSERVEES CHEZ

L'ELEVE DEBUTANT EN INFORMATIQUE ................................................................................................. 67

9.1 'ALGORITHME COMME " OBJET » D'APPRENTISSAGE EN MATHEMATIQUES................................................ 67

9.2 VERS L'ELABORATION D'UN NOUVEAU CADRE THEORIQUE ........................................................................ 68

CHAPITRE 2 : CONSTRU'ORIQUE .............................................................. 70

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1. DEVELOPPEMENT THEORIQUE ET QUESTION .................................................................................... 70

2. VERS UN NOUVEAU CADRE THEORIQUE. POURQUOI ? ....................................................................... 72

3. LES ESPACES DE TRAVAIL MATHEMATIQUE ..................................................................................... 74

3.1 LES ESPACES DE TRAVAIL GEOMETRIQUE ET LES PARADIGMES GEOMETRIQUES ............................................ 74

3.2 LES ESPACES DE TRAVAIL MATHEMATIQUE ............................................................................................ 77

3.3 LES ESPACES DE TRAVAIL MATHEMATIQUE SPECIFIQUES .......................................................................... 85

4. LES ESPACES DE TRAVAIL ALGORITHMIQUE (ETA) ............................................................................ 86

4.1 LE PLAN EPISTEMOLOGIQUE ET SES COMPOSANTES ................................................................................. 86

4.2 LE PLAN COGNITIF ............................................................................................................................. 89

4.3 LES PARADIGMES ALGORITHMIQUES ..................................................................................................... 91

5. ESPACES DE TRAVAIL MATHEMATIQUE DE REFERENCE ....................................................................... 92

6. UNE APPROCHE " ALGORITHMIQUE » DU CONCEPT DE MODELISATION SELON BLUM ET LEISS ..................... 93

7. CONCLUSION DU CHAPITRE 2 : UN RETOUR SUR NOS CHOIX DE CADRES THEORIQUES ................................ 94

CHAPITRE 3 : PROBLEMATIQUE ET METHODOLOGIE DE RECHERCHE. ........................................... 97

1. SPECIFICITES DES ETA ET ETM PERMETTANT D'AFFINER L'ETUDE DU TRAVAIL DE L'ELEVE DANS CERTAINS

DOMAINES MATHEMATIQUES ............................................................................................................ 98

1.1 QUELLES INTERACTIONS ENTRE ETA ET ETM DANS DIVERS DOMAINES DES MATHEMATIQUES SCOLAIRES ? ...... 98

1.2 HYPOTHESES DE TRAVAIL SUR LES ETA-ETM IDOINES ........................................................................... 101

2. METHODOLOGIE POUR LA CONCEPTION ET LA MIS'INGENIERIES DIDACTIQUES ...................... 103

2.1 NOTRE METHODOLOGIE ................................................................................................................... 103

2.2 NOS INGENIERIES ............................................................................................................................ 104

3. CONCLUSION DU CHAPITRE 3 : DES ETA-ETM IDOINES ET PERSONNELS ............................................... 111

CONCLUSION DE LA PARTIE 1. .................................................................................................... 113

PARTIE 2 : LES INGENIERIES DIDACTIQUES .................................................................................. 117

CHAPITRE 1 : DES INGENIERIES DIDACTIQUES ............................................................................. 118

1. LES DIFFERENTES PHASES DE LA METHODOLOGIE ............................................................................. 118

2. NOS CHOIX GENERAUX ............................................................................................................. 119

3. LES INGENIERIES DIDACTIQUES : LES DOMAINES, LES TACHES ET LES PHASES ........................................... 119

3.1 LES DOMAINES MATHEMATIQUES SPECIFIQUES ..................................................................................... 119

3.2 LES TACHES .................................................................................................................................... 122

3.3 LES PHASES .................................................................................................................................... 123

4. LES DEUX PRINCIPAUX ENVIRONNEMENTS NUMERIQUES UTILISES DANS LE CADRE DE NOS INGENIERIES ......... 125

4.1 PRESENTATION DU LOGICIEL ALGOBOX ............................................................................................... 125

4.2 PRESENTATION DU LOGICIEL LARP ..................................................................................................... 126

5. CONCLUSION DU CHAPITRE 1 ..................................................................................................... 127

CHAPITRE 2 : ARTICULATION ESPACE DE TRAVAIL ALGORITHMIQUE ET ESPACE DE TRAVAIL MATHEMATIQUE SPECIFIQUE A LA THEORIE ELEMENTAIRE DES NOMBRES ................................. 128

1. POURQUOI PARLER DE THEORIE ELEMENTAIRE DES NOMBRES ET NON D'ARITHMETIQUE ? ......................... 128

1.1 LA THEORIE DES NOMBRES ................................................................................................................ 128

1.2 'ARITHMETIQUE ............................................................................................................................ 129

1.3 LA THEORIE ELEMENTAIRE DES NOMBRES ............................................................................................ 129

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2. CHOIX PRINCIPAUX POUR UNE INGENIERIE DANS LE DOMAINE DE LA THEORIE ELEMENTAIRE DES NOMBRES .... 129

3. PRESENTATION DE L'ALGORITHME DE KAPREKAR ............................................................................ 130

3.1 DESCRIPTION DU PROCESSUS DE CALCUL ............................................................................................. 130

3.2 ÉTUDE SELON LE NOMBRE ENTIER INITIAL CHOISI - CHOIX DU NOMBRE DE CHIFFRES DU NOMBRE ENTIER INITIAL

POUR NOTRE INGENIERIE ........................................................................................................................... 131

3.3 UN ALGORITHME QUI TROUVE SA PLACE A TOUS LES NIVEAUX SCOLAIRES DE L'ELEMENTAIRE AU SUPERIEUR ʹ LE

CHOIX DU NIVEAU .................................................................................................................................... 132

4. ANALYSE DES PROGRAMMES ET DE DEUX MANUELS EN LIEN AVEC L'ALGORITHME DE KAPREKAR ................. 135

4.1 LE PROGRAMME SUR " NOMBRES ET CALCULS » EN CLASSE TROISIEME .................................................... 135

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