[PDF] Vibrations et Ondes Mécaniques

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Dr. Nour Eddine BOUZOUIRA Page 1

Centre universitaire : Nour Bachir-EL Bayadh

Institut : des sciences

Département : Technologie

Domaine : ST

POLYCOPIE :

Vibrations et Ondes Mécaniques

Module : PHYSIQUE 03

Niveau : 2eme Année Licence

Présenté Par :

Dr. BOUZOUIRA Nour Eddine

Année Universitaire : 2017/2018

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AAvvaanntt--pprrooppooss

Le présent polycopié de cours, intitulé : " Vibrations et Ondes Mécaniques » (physique 3) est élaboré et présenté en conformité au canevas relatif à la formation Licence LMD-͵ǮǯȋȌ

Ce cours est structuré en deux parties :

La première, répartie en Cinq chapitres, traite le problème des vibrations. Le faible amplitude) libres des systèmes à un degré de liberté est présentée dans le deuxième chapitre. Le troisième chapitre traite le mouvement amorti qui prend en compte les forces de frottements de viscosité proportionnelles à la vitesse du mobile. La notion de résonance consacrée aux oscillations forcées est présentée au quatrième chapitre. Le cinquième chapitre présente les vibrations aux plusieurs degrés de liberté. La deuxième partie, que constituent les deux derniers chapitres, est consacrée au traitement des phénomènes de propagation des ondes. Le cours présenté avec un enchaînement logique, chaque nouveau concept défini est clarifié par des exemples simples et utiles, une série de problèmes venant enrichir le cours, le tout ǯ

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Sommaire

Avant

PREMIERE PARTIE : VIBRATIONS

CHAPITRE .1 . Généralité sur les oscillations.) ...............................................................6

.6 1.1.1

1.2.1 Exemples .......................................................................................................................7

1.3 La représentation complexe ...............................................................................................7

1.3.1 Exemples ........................................................................................................................7

1.4 Superposition des grandeurs périodique ............................................................................7

1.4.1 Grandeurs sinusoïdal de même pulsation........................................................................ 7

1.4.2 Exemples ....................................................................................................................... 8

1.4.3 Grandeurs sinusoïdal de même amplitude ...................................................................... 8

1.4.4 Exemple ...........................................................................................................................8

1.4.5 Grandeurs sinusoïdales quelconques .............................................................................. 8

1.4.6 Exemples ......................................................................................................................... 8

1.5 Définition des sériés de fourrier ......................................................................................... 8

1.5.1 Cas des fonctions paires et impaires ................................................................................ 9

1.5.2 Exemple ...........................................................................................................................9

CHAPITRE .2 . Systèmes linéaires libres à un degré de liberté .........................................10

2.1 Oscillateurs libres ................................................................................................................10

2.2 Oscillateur harmonique ...................................................................................................... 10

2.2.1 Exemples .......................................................................................................................... 10

.......... 10

2.3.1 Exemples ..........................................................................................................................11

............................................................................... 11

2.4.1 Exemple ............................................................................................................................12

.................................................................................................... 12

2.5.1 Exemple ........................................................................................................................... 13

2.6 Equation de Lagrange (1788) .............................................................................................13

2.6.1 Exemple ........................................................................................................................... 13

2.6.2 Exercices .......................................................................................................................... 14

CHAPITRE.3. Systèmes linéaires libres amortis à un degré de liberté...............................16

3.1 Force d

3.2 Equation de Lagrange des systèmes amortis ....................................................................... 16

3.3 Equation du mouvement des systèmes amortis ................................................................... 16

3.5 Décrément logarithmique .................................................................................................... 18

3.5.1 Exemples .......................................................................................................................... 18

3.5.2 Exercices .......................................................................................................................... 19

CHAPITRE.4. Systèmes linéaires forcés à un degré de liberté ..........................................21

4.1 ion............................................................................................................... 21

4.2 Equation de Lagrange des systèmes forcés .................................................................. 21

4.3 Equation du mouvement des systèmes forcés......................................................................21

4.5 Résonance ............................................................................................................................22

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4.6 Bande passante et facteur de qualité ................................................................................... 23

4.6.1Exercices ........................................................................................................................... 25

CHAPITRE.5. Systèmes linéaires forcés à plusieurs degrés de liberté .............................. 27

5.1 Degrés de libertés................................................................................................................ 27

5.2 Systèmes libres à deux degrés de libertés ................................................................... 27

5.2.1 Equation du mouvement.................................................................................................... 27

5.2.2 Modes propres (normaux) ................................................................................................ 27

5.3 Système forces a deux degrés de libertés ............................................................................28

5.3.1 Equations de mouvement ................................................................................................. 28

5.3.2 Résonance et antirésonance ............................................................................................. 29

0

5.3.4 Exercices .......................................................................................................................... 31

DEUXIEME PARTIE : ONDES MECANIQUES

CHAPITRE.6. Généralité sur le phénomène de propagation ............................................ 34

6.1 Rappel théorique.................................................................................................................. 34

6.2 Applications ........................................................................................................................ 37

CHAPITRE.6. ....................... 41

7.1 Rappel théorique.................................................................................................................. 41

7.2 Applications ........................................................................................................................ 42

Références bibliographiques

Liste des figures

.......................... 34

Figure 6.2 Onde longitudinal................................................................................................... 35

Figure 6.3 Onde transversale ..................................................................................................35

Figure 6.4 ǯ ............................................................. 35

Figure 6.5 phénomène de diffraction est caractéristique des ondes. ................................. 36

Figure 6.6 Expérience de Young ..............................................................................................37

Figure 6.7 ondes émises par deux hauts parleurs ...............................................................37

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PARTIE I :

Vibrations

Chapitre 1 : Généralité sur les oscillations

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1.1 ǯȋȌ

mécaniques.)

1.1.1 Exemples

a) Masse-ressort b) Circuit électrique oscillant c) cylindre flottant dans

un liquide

1.2 ǯdique

ǯ -même pendant des

intervalles de temps égaux. Le plus petit intervalle de répétition est appelé période

(notée T, mesurée en secondes s.) le nombre de répétitions par seconde est appelé

fréquence (notée f, mesurée en Hertz ou s-1.) Elle est reliée à la période par Le nombre de tours par seconde est appelé pulsation (notée ɘ, mesurée en rad/s.) appelée amplitude, ɘ : la pulsation, ɔ : la phase initiale. Parmi les grandeurs physiques étudiées des systèmes oscillants, on trouve :

Le déplacementݔ.

La chargeݍ.

Le courant݅.

La tensionܷ

Un champܧ

1.2.1 Exemple

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1.3 La représentation complexe

Pour faciliter les calculs, nous transformons les grandeurs sinusoïdales en des exponentielles qui sont plus simples à manipuler. Ceci possible ǯler

1.3.1 Exemples

1.4 Superposition des grandeurs périodique

ǯmême nature est appelée superposition.

1.4.1 Grandeurs sinusoïdales de même pulsation

La superposition de deux grandeurs sinusoïdales de même pulsation ɘ est une grandeur sinusoïdale de pulsation ɘ.

1.4.2 Exemple

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1.4.3 Grandeurs sinusoïdales de même amplitudes

La superposition de deux grandeurs sinusoïdales de même amplitude est une grandeur sinusoïdale à amplitude modulée si les deux pulsations sont différentes.

1.4.4 Exemple

1.4.5 Grandeurs sinusoïdales quelconques.

La superposition de deux grandeurs sinusoïdales de pulsations différentes ɘ1 et ɘ2 ne sera une grandeur périodique que si le rapport entre leur périodes est un nombre rationnel : ்భ

1.4.6 Exemple

Comme ்భ

௠ est un nombre rationnel

1.5 Définition des séries de fourrier

cosinus qui sont plus simples à manipuler physiquement et mathématiquement. Cette somme est appelée série de fourrier (1807). La série de Fourier ǯf (t) périodique de période T, est définit par :

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Le a0 , les ܽ௡, et les ܾ

் est appelée la pulsation fondamentale.

Les pulsations supérieures ݊߱

Les coefficients de Fourier sont définit par :

a0 = ଵ spectre de la fonction.

1.5.1Cas des fonctions paires et impaires

Dans la série de Fourier des fonctions paires, ǯcosinus et parfois la constante a0 qui est la valeur moyenne de la fonction : ܾ

ǡǯsinus :

a0 = ܽ

1.5.1 Exemple

1. La période de la fonction est T=2s.

2. ܽ

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en fonction de ݊߱ Chapitre 2. Systèmes linéaires libres à un degré de liberté.

2.1 Oscillateurs libres

Un système oscillant en absence de toute force ǯ, est appelé oscillateur libre. Le nombre des grandeurs indépendantes intervenant dans le mouvement est appelée degré de liberté.

2.2 Oscillateur harmonique

En mécanique, on appelle oscillateur harmonique ǡǯ

ǯǯݔ (ou angle ߠ

ǯécartement ݔ(ou ߠ

2.2.1 Exemples

2.3 ǯ harmonique

ǯǯoscillateur harmonique est linéaire et de la forme (En mécanique ݍൌݔǡݕǡݖǡߠǡ߮

ɘ0 est appelée pulsation propre car elle ne dépend que des grandeurs propres à

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ǯɔ dépendant des conditions initiales.

2.3.1 Exemples

- Calculer sa pulsation propre pour ݉ൌͳ݇݃݁ݐ݇ൌ͵ܰ - ǯܣ et la phase ׎ masse est poussée ʹܿ vitesse de ʹܿ

La pulsation propre est ߱

௠ൌξ͵rad/s. initiales pour trouver ܣ et ׎ circuit ci-contre, puis déduire la pulsation propre ߱

La pulsation propre est donc ߱

ǯ ǯun oscillateur harmonique est la somme de ses énergies cinétiques et potentielles :

ǯénergie ǯ݉ et de vitesse ݒ est

ǯο et de vitesse angulaire ߠ

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ǯénergie ǯ݉ dans un champ gravitationelle constant

݃ est : ܷ

ǯénergie ǯ ݇ ǯ

déformation ݀ est :

ǯénergie ǯ ݇ ǯ

déformation ߠ Cette équation de conservation ǯéquation du mouvement des systèmes conservés.

2.4.1 Exemple

2.5 Condition dǯéquilibre

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retourne. Le système retourne a son équilibre si ܨ est une force de rappel. Puisque ܨ

Comme ൌെడி

డ௫మ ǡǯéquilibre stable sǯécrit :

Cette condition est aussi une ǯ.

ǯǯǯun

écartement, c.-à-d. si ܥ

(pour les rotation, (2.13), (2.14), et (2.15) deviennent డ௎

2.5.1 Exemple

ǯci-contre.

2.6 Equation de Lagrange (1788)

ǯȋǯ-Lagrange) est :

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ǯéquation de Lagrange ǯéquation du mouvement. (Pour les translationsݍൌݔǡݕǡݖ. Pour les rotations ݍൌߠǡ߮

2.6.1 Exemple

2.6.2 Exercices

Exercice n° 1 :

On considère les trois systèmes mécaniques de la figure ci-contre. La masse m peut coulisser sans frottement sur le plan horizontal.

1- Trouver le ressort équivalent pour chaque système.

4- ǯǯǡǯǡ

pulsation propre de chaque système.

Exercice n° 2 :

Deux ressort de même raideur K ont une longueur a vide l0 ᦪ d0 .une

2- Monter que pour les petits mouvements (x " d0) ǯ :

U = K [(1 Ȃ l0 / d0) x2 + (d0 Ȃ l0)2].

3- ǯǯαΪ

système.

4- ǯǯǯ

pulsation propre ɘ0 du système.

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Exercice n° 3 :

Une tige de longueur totale L+l et de masse négligeable, porte a son ressort de raideur k. Celui-ǯǯ horizontal lors des petits mouvements. La tige peut tourner librement autour du

1- ǯǯystème si

2- ǯɘ0 Ǣǯ

Exercice n°4 :

Une masse m est suspendue par un fil inextensible et non glissant enroulé ǯ masse M. Le disque, pouvant tourner librement autour de son centre, est suspendu par un ressort de raideur k.

3. ǯgie cinétique T du système.

5. Trouver la pulsation propre ɘ0. (A.N; m = 1 kg, k=44N, M= 1kg).

Exercice n°5 :

Deux disque de taille différents et relies par un fil non glissant et inextensible, peuvent tourner librement autour de leurs axes fixes. Le grand disque porte a sa verticale (représenter en pointillé).

1. ǯǯe U du

système en termes de la variable

2. ǯɘ0 .

3. ǯǯǯ

mouvement.

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Exercice n° 6 :

La tige de longueur l (masse négligeable) peut tourner sans frottement autour de

1. Remplacer les deux ressort par un seul ressort équivalent de raideur k,

ǯlle U du système en fonction de .

2. ǯǯ0 ǯ

4. Trouver le lagrangien ǯǡ

propre ɘ0. Chapitre 3. Système linéaire libres amortis à un degré de liberté. Un système soumis à un frottement est dis amorti. Le frottement le plus simple est le frottement visqueux. Les frottements visqueux sont de la forme Est une Constante positive appelé coefficient de frottement et ݒ est la vitesse du corps en mouvement. En mécanique, lǯamortissement est

schématisé par : la vitesse ݒ est dans ce cas la vitesse relative des deux bras de

lǯamortissement.

3.2 Equation de Lagrange des systèmes amortis

Sǯil existe un frottement ݂ൌെߙ

écrire : ݂ൌെߙ

3.3 Equation du mouvement des systèmes amortis

ǯéquation du mouvement des systèmes linéaires amortis par ݂ൌെߙ

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propre.

appelé lǯéquation caractéristique. On distingue alors trois cas suivant le signe du

discriminant réduit

Le mouvement est dit apériodique.

Le mouvement résultant est :

Le mouvement est dit en régime critique

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Deux solutions complexes pour lǯéquation caractéristique : pulsation.

3.5 Décrément logarithmique

périodique, nous utilisons le logarithme. Le rapport ߜ est appelé le décrément logarithmique. En utilisant (3.6), on trouve ߜ

3.5.1 Exemples

avec le Lagrangien puis avec PFD.

ǯ ǯ ors : ௗ

௠ݔ=0.

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௠ݔ=0.

mouvement si ܯൌͳ݇݃ǡ݇ൌʹܰȀ݉ , ܴൌͳͲܿ݉ǡݎൌͷܿ݉ǡߙൌͺܰ

A ǯ :

3.5.2 Exercices

Exercice n° 1 :

le ressort au repos. Le fil autour du disque est inextensible et non glissant.

2. ǯȋɅ " 1).

3. Trouver le lagrangien et la fonction de dissipation D.

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Exercice n°2 :

ǯ0.

3. Trouver le lagrangien et la fonction de dissipation D.

Exercice n°3 :

En tournant le disque ci-contre peut monter et descendre grâce au fil non glissant et inextensible enroulé autour du sillon circulaire de rayon r.

ǯ ǯ 0.

ǯȽrottements.

4. Trouver le lagrangien et la fonction de dissipation D. et Déduire

5. Sachant que M = 2kg , R = 50 cm , r = 25cm k = 10N/m , trouver la

que le système oscille.

7. Calculer le décrément logarithmique.

Exercice n°4 :

Soit le circuit électrique ci-contre.

1. ǯǯ

la charge q dans le circuit.

3. ǯL aux bornes de L.

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Chapitre 4. Systèmes linéaire forcés à un degré de liberté

ǡǯexcitation.

4.2 Equation de Lagrange des systèmes forcés

4.3 Equation du mouvement des systèmes forcés

cours du temps (voir chap. III.) Elle est appelée permanente car elle dure tout au long du mouvement. Elle représentation complexe comme suit :

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Finalement la solution du mouvement en régime permanent est :

4.5 Résonnance

ǯ߱ pour laquelle lǯamplitude ܣ

pulsation de résonance (ǯȌɘୖ. ܣ (4.4) : Le facteur de qualité doit donc être supérieur a ଵ Cette pulsation est appelée pulsation de résonance de phase

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4.6 Bande passante et facteur de qualité

En utilisant (4.6), on trouve :

La puissance moyenne est ۃ՘ۄ

(4.4) et (4.5) : ۃ՘ۄ est maximale lorsque డۃ՘ۄ (4.10), ۃ՘ۄൌۃ՘ۄ Les graphes de ܣǡ߮ǡ݁ݐۃ՘ۄ ǯ ߱

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4.6.1Exercices

Exercice n° 1 :

Le fil autours des disques ci-contre est inextensible et non glissant tFtFsin)(0

5. Trouver T, U, et la fonction de dissipationܦ

6. Trouver le lagrangien puis ǯon du mouvement en fonction de ݔ.

).1(

7. Trouver en utilisant la représentation complexe la solution permanente de

8. Donner la pulsation de résonance

.R

9. Donner les pulsations de coupures

21,CCZ

).(0G

10. Calculer

R , B, et le facteur de qualité pour ./.6,0,/27,1,2msNmNKKgmKgM D

Exercice n°2 :

Soit le circuit excité ci-contre

.cos)(00tEtE ressort K1 était comprimé et K2 ǯ0.

5. ǯtion du mouvement de la charge ݍ

6. Trouver en utilisant la représentation complexe la

amplitude réelle A et sa phase

7. Donner la pulsation de résonance

.R

8. Donner les pulsations de coupures

21,CCZ

).(0G

9. Calculer

R , B, et le facteur de qualité pour

HLFCR5,1,20 : P

Exercice n°3 :

Soit Le système ci-contre. Un déplacement

.cos)(0tStS

1. Trouver T, U, et la fonction de dissipation D.

2. ǯ

fonction de x. ).1(

3. Trouver en utilisant la représentation complexe la solution

sa phase

4. Donner la pulsation de résonance

.R

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5. Donner les pulsations de coupures

21,CCZ

, et déduire la bande passante B ).(0G

6. Calculer

R , B, et le facteur de qualité pour cmrmRmsNmNkKgM75,1,/.6,0,/19,2 D

Exercice n°4 :

Soit le système excité ci-contre

.cos)(0tFtF

4. Trouver T, U, et la fonction de dissipation D.

6. Trouver en utilisant la représentation complexe la solution

phase

7. Donner la pulsation de résonance

.R

8. Trouver la puissance moyenne

fournie au système.

9. Déduire la puissance moyenne

max fournie au système.

10. Donner les pulsations de coupures

21,CCZ

, pour lesquelles 2 max 5 , déduire la bande passante .21CCBZ (On suppose que ).(0G amortissement très faible).

11. Trouver la puissance moyenne

r dissipé par frottement.

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Chapitre 5. Systèmes linéaires à plusieurs degrés de liberté

5.1 Degrés de libertés

équations de Lagrange :

5.2 Systèmes libres à deux degrés de libertés

5.2.1 Equation du mouvement

Soit le système libre ci-contre. Les deux variables couplage.

Les deux ǯ :

5.2.2 Modes propres (normaux)

En mode normale (ou propre) la solution de (5.1) est complexe :

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(5.1) devient Pour que (5.3) soit vrai sans que ܣଵ et ܣ déterminant caractéristique soit nul :

Ceci nous donne ǯ :

Les deux solutions réelles et positives ߱ଵ et ߱ pulsations propres ou normales. La plus petite est appelée la fondamentaleǡǯ

ǯharmonique.

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