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REPUBLIQUE DE COTE D"IVOIRE

UNION - DISCIPLINE - TRAVAIL

MINISTERE DE L"ENSEIGNEMENT SUPERIEUR

ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

UNITE DE FORMATION ET DE RECHERCHE

SCIENCES DES STRUCTURES DE LA MATIERE

ET DE TECHNOLOGIE

UNIVERSITE DE COCODYUNIVERSITE DE COCODYUNIVERSITE DE COCODYUNIVERSITE DE COCODY

Laboratoire de physique de l"Atmosphère

22 B.P.582 Abidjan 22

COURS DECOURS DECOURS DECOURS DE

PROPAGATION DES ONDESPROPAGATION DES ONDESPROPAGATION DES ONDESPROPAGATION DES ONDES

Licence de Physique

KOBEA TOKA Arsène: Maître de Recherche

Edition 2006-2007

i

Avant propos

Ce cours destiné aux étudiants de second cycle est dispensé dans le cadre de l"Unité de Valeur de Propagation des Ondes à l"Unité de Formation et de Recherche de Sciences des Structures de la Matière et des Technologies (UFR SSMT) de l"Université de

Cocody à Abidjan.

Il est l"oeuvre des synthèses successives élaborées par feu le Professeur Alain Proutière, le Professeur ACHY SEKA Antoine et le Professeur KOBEA TOKA Arsène.

L"exposé s"articule en cinq chapitres.

Le premier commence naturellement par les généralités sur la propagation des Ondes Electromagnétiques (OEM) en partant des rappels mathématiques pour en venir aux définitions générales relatives à la propagation des ondes. Le second chapitre traite des caractères généraux des OEM. Il rappelle les bases de la théorie des OEM avec l"étude incontournable des équations de Maxwell qui décrivent les variations spatio-temporelles des champs à partir des sources qui les créent. Il évoque enfin les conséquences de ces équations telles que la propagation des champs, leurs

propriétés d"amplitude de phase et polarisation ainsi que la puissance transportée par

l"onde. Le chapitre III est consacré à la propagation des ondes dans les lignes de

conducteurs. Il introduit les équations de propagation dans les lignes à partir des équations

de Maxwell puis à partir de la loi d"Ohm généralisée. Le chapitre IV décrit la propagation des OEM dans les guides d"onde. Enfin le chapitre V est dédié aux antennes. Après avoir exposé les définitions et les

propriétés caractéristiques communes à tout type d"antenne, nous avons choisi de traiter :

Les antennes à dipôles rayonnants toujours employées pour la radiodiffusion FM, la radionavigation et qui connaissent un regain d"intérêt avec les mobiles. Les ouvertures rayonnantes circulaires dont les cornets électromagnétiques obtenus à partir d"un guide d"alimentation de même géométrie sont un excellent exemple. Nous n"abordons pas dans le cadre de cet exposé l"optique électromagnétique, la propagation des ondes dans les milieux anisotropes, dans les fluides (compressibles et incompressibles) et dans un milieu solide. L"usage de ce document aidera l"étudiant à assimiler plus aisément le cours grâce à un travail personnel de recherche préalable. ii

TABLE DES MATIERES

pages CHAPITRE I : INTRODUCTION - GENERALITES SUR LA PRODUCTION DES ONDES

INTRODUCTION

1 I - RAPPELS D"ANALYSE : LA SERIE ET L"INTEGRALE DE FOURIER 1 II -EQUATION ET FONCTION DE PROPAGATION D"UNE ONDE TRANSVERSALE PLANE DE L"EBRANLEMENT LE LONG D"UNE CORDE TENDUE 3

1 - Equation de propagation générale 3

2 - Recherche de l"équation de propagation à partir de l"étude du phénomène

physique spécifique 4

3 - La solution de la propagation 4

III - EQUATIONS ET FONCTIONS DE PROPAGATION PLUS GENERALES 6

1 - Cas général 6

2 - Cas d"une onde sphérique dans un milieu isotrope 7

2.1 - Cas d"une onde longitudinale sphérique (onde sonore par exemple) 8

2.2 - Cas d"une onde transversale sphérique (onde lumineuse par exemple) 8

2.3 - Cas d"une onde quelconque possédant à la fois une composante longitudinale

et transversale 8 IV - DEFINITIONS GENERALES RELATIVES A LA PROPAGATION D"UNE ONDE 9

1 - Les termes " longitudinale », " transversale» 9

2 - Les termes " plane », " sphérique» 9

3 - L"amplitude de l"onde 10

4 - La vitesse de phase

jv 10

4.1 - Dans le cas d"une onde simple 10

4.2 - Dans le cas d"une onde amortie 10

5 - La vitesse de groupe ou vitesse d"un train d"onde 11

5.1-Cas de deux vibrations simples se propageant simultanément 11

5.2-Cas général de deux vibrations sinusoïdales (non amorties) 12

CHAPITRE II : PROPAGATION DES ONDES ELECTROMAGNETIQUES (O.E.M) -

CARACTERES GENERAUX

14 I - INTRODUCTION : NATURE DES ONDES ELECTROMAGNETIQES 14 II - BASE DE LA THEORIE - EQUATIONS DE MAXWELL - LOI OU EQUATION DE

PROPAGATION 15

1 - Rappel des résultats obtenus par les études préliminaires sur

Eret Hr 15

1.1 - Rappels mathématiques (voir compléments de math) 15

1.2 - Rappels d"électrostatique 15

a)- Vecteurs fondamentaux 15 b)- Relations 15

1.3- Rappels de magnétostatique 15

a)- Vecteurs fondamentaux 15 b)- Relations 16

2 - Introduction du temps dans les grandeurs précédentes - équations de Maxwell 16

2 .1 - Approximation 16

2.2 - Les phénomènes d"induction 16

2.3 - Densité de courant total 17

2.4 - Les relations de Maxwell 17

3 - Equations de propagation des champs (dans les milieux isotropes) 18

III - CARACTERISTIQUES GENERALES DES ONDES ELECTROMAGNETIQUES 18

1- Vitesse de propagation (dans le vide et dans un diélectrique) 18

2- Transversalité des ondes planes et orientations respectives de

Eret Hr 19

2.1 - Transversalité 19

iii

2.2 - Orientation, sens, amplitudes 19

3 - Conditions aux limites imposées par un conducteur parfait 21

4 - Ondes stationnaires provoquées par la réflexion sur un conducteur parfait 22

5- Energie et puissance transportées par l"O.E.M vecteur de Poynting 23

6 - Remarques sur le cas des milieux anisotropes et des milieux dispersifs 24

7- Conclusion 24

CHAPITRE III : PROPAGATION DES ONDES ELECTROMAGNETIQUES (O.E.M)

DANS LES LIGNES DE CONDUCTEURS

25

I - INTRODUCTION 25

II - EQUATIONS DE PROPAGATION DANS LES LIGNES 25

1 - A partir des équations de Maxwell 25

2 - A partir de la loi d"Ohm généralisée 27

3 - Cas des lignes parfaites : solution de la propagation de V et I 28

III - ONDES STATIONNAIRES DANS LES LIGNES PARFAITES 29

1 - Introduction - coefficient de réflexion 29

2 - Etude du lien entre l"impédance terminale et le régime d"ondes stationnaires

(en régime sinusoïdal) 30

2.1 - Impédance réduite terminale Z" et impédance réduite d"un point quelconque Z"

(rapport des coefficients de réflexion)- 30

2.2 - Cas particuliers d"impédances terminales 31

a)-

1Z= 1 impédance terminale = impédance caractéristique 31

b)-

1Z= 0 Court-circuit 31

c)-

1Z= ¥ Ligne ouverte 31

d)- 1Z= " rjR :(" rRréelle) ; "

1Z imaginaire pure 32

e)- Cas spécial de régime stationnaire : la résonance 32

3 - Taux d"ondes stationnaires (T.O.S) 33

4 - Applications pratiques des relations précédentes : déterminations

de

1Z, 1Gou ZetG 34

4.1 - Problèmes concernant les mesures d"impédance 1Zet 1G 34

IV - QUELQUES PRORIETES AUX PARTICULARITES DES LIGNES PARFAITES 36

1 - Puissance dégagée dans la charge (régime sinusoïdal) 36

2 - Adaptation d"impédance (ou adaptation de ligne) 37

2.1 - Par un tronçon de ligne 4

l(quart d"onde) 37

2.2 - Par un transformateur 38

2.3 - Par un " stub » (" morceau » de ligne) 38

V - LES LIGNES REELLES OU LIGNES AVEC PERTES 39

1 - Solution de l"équation générale de propagation (en régime sinusoïdal) 39

2 - Etude de la solution dans quelques cas particuliers 40

2.1 - Dans le cas général 40

2.2 - Cas de l"adaptation des phases 40

2.3 - Cas des faibles pertes 41

3 - Ondes stationnaires dans les lignes avec pertes (en régime sinusoïdal) 42

3.1- Coefficient de réflexion et impédance 42

3.2- Atténuation sur la ligne (unités) 42

CHAPITRE IV : PROPAGATION DES O.E.M DANS LES GUIDES D"ONDES 44 I - INTRODUCTION : ANALOGIE AVEC LES LIGNES DE CONDUCTEUR-NATURE

SPECIFIQUE DES PHENOMENES 44

1 - Définition générale des guides d"ondes, analogie avec les lignes 44

2 - Différence entre la propagation dans les lignes et dans les guides d"ondes

" fermés» 44 iv

2.1 - La nature du signal étudié 45

2.2 - Le processus de propagation le long de l"axe 45

2.3 - La forme générale de la solution de propagation (en régime sinusoïdal) 45

2.4 - Limitation du domaine de fréquence dans un guide et intérêt des guides fermés 46

II - EQUATIONS SPECIFIQUES DE LA PROPAGATION GUIDEE (En régime sinusoïdal) 47

1 - Equation générale de propagation 47

2 - Relation entre les composantes transversales (

zE et zH) et les composante longitudinales ( xE,yE,xHetyH) 48 III - SOLUTION COMPLETE DE LA PROPAGATION DANS LE CAS D"UNE ONDE T.M. AU

VOISINAGE DE LA PAROI 50

1 - Caractéristiques du cas particulier étudié et conditions aux limites 50

1.1 -L"onde considérée et les approximations utilisées 50

1.2 - Les conditions aux limites particulières 51

1.3 - Nature de l"onde 51

2 - Expressions de ()yxEzo,, ()yxEz,, ()yxHyo,, ()yxHy, à partir des équations

(1) en (II.1) et des équations (2) en (II.2) 52

3 - Expression de k en fonction des caractéristiques du guide 52

4 - Expression finale de la solution dans le cas de l"O.T.M. au voisinage de la paroi 53

4.1 - Expression de àm et m 53

4.2 - Les expressions finales des composantes

)(),(),,,(kztj zzeyxEtzyxE-=w et m 54

5 - Application de la solution obtenue 54

5.1 - Relation entre composantes des champs- 54

5.2 - Surface équiphase et équiamplitude 54

IV - CALCUL DU COEFFICIENT D"ATTENUATION (a) LE LONG DU GUIDE 55

1 - Perte d"énergie par effet joule dans la paroi conductrice 55

2 - Expression du coefficient

a 56 V - EXEMPLE DU GUIDE D"ONDE RECTANGULAIRE 57

1 - Calcul des cartes de champ

),(yxEr et ),(yxHr 57

1.1 - Détermination des ondes T.M. 58

1.2 - Détermination des ondes T.E. 59

2 - Les modes d"ondes 60

3 - Facteur de propagation k et fréquence de coupure

cf 61

4 - Dispersion des guides d"ondes - vitesse de groupe et de phase 61

5- L"évaluation pratique du coefficient d"affaiblissement ou d"atténuation

a 62 CHAPITRE V : PROPAGATION DE O.E.M RAYONNEES PAR LES ANTENNES 64

I-INTRODUCTION 64

II - RAYONNEMENT DU DOUBLET ELECTRIQUE 64

1 - Doublet ou dipôle électrique 64

2 - Calcul du potentiel vecteur 65

3 - Calcul de l"induction magnétique 65

4 - Calcul de V 66

5 - Calcul du champ électrique

Er 67

5.1 - Calcul de yE 67

5.2 - Calcul de

zE 67

6 - Intensité des champs au voisinage du doublet 68

7 - Intensité des champs aux grandes distances 69

III - THEOREME SIMPLIFIE DE L"ANTENNE: GENERLITES ET DEFINITIONS 71

1 - Introduction 71

2 - Hauteur effective d"une antenne d"émission 71

2.1 - Définition 71

v

2.2 - Calcul de effhpour un fil isolé de longueur l 71

IV - FONCTION CARACTERISTIQUE ET DIAGRAMME DE RAYONNEMENT 73

1 - Cas du doublet 73

2 - Généralisation 73

V - RESISTANCE DE RAYONNEMENT 74

1 - Définition 74

2 - Cas du doublet 74

2.1 - Doublet isolé dans l"espace 74

2.2 - Doublet vertical avec base au sol 75

3 - Relation entre les résistances de rayonnement et la fonction caractéristique 75

4 - Détermination de la résistance de rayonnement 76

4.1 - Premier procédé de calcul de rR 76

4.2 - Deuxième procédé (approché) - Procédé graphique 76

4.3 - Troisième procédé (approché) - Procédé graphique 77

VI - GAIN D"UN ANTENNE 77

1 - Intensité du rayonnement 77

2 - Gain absolu d"une antenne 77

3 - Gain en champ d"une antenne 78

4 - Gain en puissance d"une antenne 79

5 - Expression générale du gain 79

6 - Exemple 80

VII - IMPEDANCE D"ENTREE D"UNE ANTENNE 80

1 - Définition 80

2 - Calcul de l"impédance d"entrée par la méthode de la ligne équivalente avec pertes 83

2.1 - Calcul de la constante de longueur d"onde a 83

2.2 - Calcul de l"affaiblissement linéaire

b 83

2.3 - Détermination de

cZ 84

2.4 - Expressions générales de R

0 et X0 84

3 - Calcul de l"impédance d"entrée d"une antenne biconique 86

3.1 - L"antenne biconique infinie 86

3.2 - Impédance d"entrée d"une antenne biconique finie 86

4 - Etude des antennes cylindriques 87

4.1 - L"antenne cylindrique quelconque 87

4.2 - Cas particulier de l"antenne filaire 88

5 - Influence d"une charge réative sur l"accord d"une antenne 89

5.1 - Rôle d"une self à la base 89

5.2 - Rôle d"une capacité au sommet 91

Bibliographie 93

Annexe 94

vi

Cours de Propagation des Ondes Licence de Physique

A. KOBEA Edition 2006-2007

- 1 -

CHAPITRE I

INTRODUCTION - GENERALITES SUR LA PROPAGATION DES ONDES

INTRODUCTION

On peut définir une onde comme une vibration susceptible de se propager dans l"espace (dans l"espace vide ou dans l"espace matière).

Cette vibration fonction du temps (Ex. :

()j+w=taycospeut représenter une grandeur ou un phénomène physique. (

IE&r , ou déformation mécanique etc.).

Le terme onde peut englober le phénomène de vibration et sa propagation ou désigner

simplement le phénomène vibratoire lui même (onde électromagnétique, onde sonore, etc.)

L"étude de la propagation de l"onde nous conduira à caractériser cette onde par une fonction

du temps et de l"espace ()tzyxf,,, par ()()j+w=tatzyxfcos,,,. Mais aet jsont fonctions des variables zyx,, et t. Ainsi ()tzyxf,,, permettra de caractériser un phénomène ondulatoire en un point de l"espace et en un temps donné.

En pratique, l"étude du phénomène ondulatoire permet d"établir une équation différentielle

aux dérivées partielles appelée équation de propagation et ()tzyxf,,, est la solution de cette

équation.

Les études de Fourier en analyse montrent que dans la plupart des cas on peut ramener l"étude d"une fonction quelconque à celle d"une fonction sinusoïdale. I - RAPPELS D"ANALYSE : LA SERIE ET L"INTEGRALE DE FOURIER

Seuls les résultats sont donnés, le détail de l"établissement des formules sera vue dans des

compléments de mathématiques.

1 - LA SERIE DE FOURIER

Les conditions d"application des résultats sont pour, une fonction ()tf; t étant en général la

variable temps : ()tfest bornée dans l"intervalle ()T+qq , ; - dans cet intervalle ()T+qq , les points de discontinuité et les extrema sont en nombre limité. Selon les résultats, nous avons la possibilité d"écrire ()tf sous les formes suivantes, dans l"intervalle ()T+qq ,. a) v+v+=

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