Espaces vectoriels
f est injective si et seulement si Ker f = {0E }. 2 f est surjective si et seulement si Imf = F. 3 f
Utiliser : « si….alors…. » et « si et seulement si »
On n'oubliera pas qu'au collège seule l'implication est utilisée : toute équivalence logique y est formulée en deux énoncés séparés en termes de si…alors… ; en
RAPPEL : Un produit est nul si et seulement si au moins un de ses
RAPPEL : Un produit est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul c'est-à-dire : A × B = 0 ? A = 0 ou B = 0. EXERCICE 2A.1.
Chapitre 4 : Ensembles finis et infinis 1 Ensembles finis
Si E est fini alors l'ensemble f(E) est fini. De plus
Solutions Feuille de Travaux Dirigés n 1
Exercice 2 Montrer qu'un graphe est biparti si et seulement si il ne contient pas de chaîne fermée de longueur impair. Solution: Soit G = (VE) un graphe
VECTEURS ET DROITES
( ) un vecteur directeur de D. Un point M(x ; y) appartient à la droite D si et seulement si les vecteurs AM ! "!!
Corrigé de Centrale PC 2015 maths 1
Réciproquement si u est un vecteur propre de f
Rappels sur les applications linéaires
On a également d'apr`es le corollaire 13 qu'une matrice est inversible si et seulement si son noyau est réduit au vecteur nul ou encore si et seulement si ses
IV. Applications linéaires
Si E est de dimension finie une application linéaire est définie de façon L'application f:Kn ? K est une forme linéaire si et seulement s'il existe a1 ...
Table des matières 1. Éléments propres caractéristiques 1 2
Soit f ? L(E) avec E de dimension finie. Alors f est diagonalisable si et seulement si
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On rappelle qu'une fonction f de R dans R est monotone si et seulement si elle est croissante ou décroissante sur R Ceci s'écrit avec des quantificateurs : (?
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La pierre ponce est un homme si et seulement si les femmes sont des sardines 8 Les poiriers ne donnent pas de melons et Cléopâtre n'est pas chinoise
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Deux applications sont égales si et seulement si elles prennent les mêmes valeurs ?n ? N f(n) = fp(n) En particulier pour n = p f(p) =
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L'application f est bijective si et seulement si il existe une application g : F ? E telle que f ? g = idF et g ? f = idE 2 Si f est bijective alors l'
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Un produit cartésien de deux ensembles est vide si et seulement si l'un au moins des deux ensembles est vide Généralisation - Si on consid`ere des ensembles E1
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Un ensemble E est fini si E = ? ou si ?n ? N? tel que E est en bijection Il existe une application injective de E dans F si et seulement si
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n si et seulement si p = q ou p+q = n 3 Résoudre l'équation C3n?1 2n+4 = Cn2?2n+3 2n+4 [000226] Exercice 168 Soient mn ? N
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En regardant la dernière colonne on se rend compte que P est faux si et seulement si p est faux et q est faux et r est vraie ou en formule que
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Si de plus (G ) est d'ordre fini on dit que (G ) est cyclique Exemples 1 (Z +) est monogène infini engendré par 1 ou ?1
Quand utiliser si et seulement si ?
Cette conjonction indique une condition suffisante (si) et nécessaire (seulement si). Il s'agit d'une relation d'équivalence entre la proposition principale et la proposition subordonnée. Si l'une est satisfaite, l'autre aussi (il y a deux implications).Comment ecrire si et seulement si en math ?
Dans les textes mathématiques, on exprime que deux propositions P et Q sont équivalentes par :
1P si et seulement si Q (parfois abrégé en P ssi Q) ;2Pour que P, il faut et il suffit que Q ;3Une condition nécessaire et suffisante (CNS) pour P est Q ;4P est une condition nécessaire et suffisante pour Q ;5P équivaut à Q.Comment montrer qu'une assertion est fausse ?
Contre-exemple Pour montrer qu'une assertion du type (?x ? E, P(x)) est fausse, il suffit de montrer que sa négation (?x ? E, non P(x)) est vraie. Il suffit donc de trouver un élément x de E qui vérifie (non P(x)) : on dit qu'on a trouvé un contre-exemple.- Pour montrer que P implique Q , on suppose que P est vrai, et on démontre Q sous cette hypothèse. Cela suffit puisque si P est faux alors l'implication P?Q P ? Q est toujours vraie, quelle que soit la véracité de Q .
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