[PDF] Corrigé du Médian - SY01/A16

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Corrige du Median - SY01/A16

Exercice 1.(Dans cet exercice les questions sont independantes)

1. SoientX1;X2;:::;Xndes variables aleatoires reelles discretes. On suppose que pour tout

1in,P(Xi=i2) =1i+2; P(Xi=i2) =1i+2; P(Xi= 0) =ii+2:On poseSn=

X

1+:::+Xn. Determiner la valeur deE[Sn].

Corrige :E[Xi] =i2P(Xi=i2)i2P(Xi=i2) + 0P(Xi= 0) = 0:AinsiE[Sn] =Pn i=1E[Xi] = 0:

2. Une variable aleatoire a valeurs dansNpeut-elle avoir une loi uniforme (c.a.d.pX(k) =

P(X=k) =poup2[0;1],8k2N)? Justiez soigneusement votre reponse. Corrige :SiXest a valeurs dansNet de loi uniforme alors pour toutk2Non a : p X(k) =P(X=k) =poup2[0;1]. OrpXest une loi de probabilite si : 1 = +1X k=0p

X(k) =+1X

k=0p=0 sip= 0; +1sip >0:

Ce qui est donc impossible!

3. SoientX1;X2;:::;Xndes variables aleatoires independantes suivant la m^eme loi :

X i( ) =f1;1g; i2 f1;:::;ngetP(Xi= 1) =; P(Xi=1) = 1;0< <1: Pourk= 1;:::;n, on denit la v.a.Yk= ki=1Xi, de loiP(Yk= 1) =pketP(Yk=1) = 1pk: Le but de cet exercice est de determiner la valeur depken fonction de. (a) Pourk= 1;:::;n, determinerE[Xk] en fonction deetE[Yk] en fonction depk.

Corrige :E[Xk] = 21 etE[Yk] =pk(1pk) = 2pk1.

(b) Pourk= 1;:::;n, determinerE[Yk] en fonction deE[X1] et dek.

Corrige :E[Yk] =Eki=1Xi= ki=1E[Xi] = (E[X1])k.

(c) A l'aide des deux questions precedentes, determiner la valeur depken fonction de et dek.

Corrige :On doit avoir 2pk1 = (21)k, d'oupk=12

1 + (21)k.

Exercice 2.Pour ameliorer la s^urete de fonctionnement d'un serveur informatique, on envi- sage d'introduire de la redondance, c'est-a-dire d'avoir plusieurs exemplaires des composants importants. On peut realiser les operations suivantes : { on utilise trois alimentations de 300 Watts chacune : le serveur peut continuer a fonction- ner avec une alimentation en panne car il consomme au maximum 500 Watts. { on place les quatre disques durs en conguration RAID 5 : le serveur peut continuer a fonctionner avec un disque dur en panne. On suppose que la probabilite de panne d'une alimentation estpet que celle d'une panne de disque dur estq. On suppose en outre que tous les composants sont independants.

1. Soit un serveur avec alimentations redondantes : calculer la probabilite de panne du ser-

veur en supposant qu'aucun autre composant que les alimentations ne peut tomber en panne. Corrige :L'etat de l'alimentationiest represente par une variableXidistribuee selon la loiB(p) (loi de Bernoulli) qui vaut 1 si l'alimentation est en panne. Le nombre d'ali- mentation en panne, est la sommeX1+X2+X3de loiB(3;p). Le serveur est en panne si deux au moins des alimentations sont en panne. On a donc P(A) =P(X1+X2+X3= 2)+P(X1+X2+X3= 3) =C23p2(1p)+C33p3=p2(32p):

2. Soit un serveur avec disques durs RAID 5 : calculer la probabilite de panne du serveur en

supposant qu'aucun autre composant que les disques dur ne peut tomber en panne. Corrige :On modelise les disques durs par des variablesYjde loi de BernoulliB(q), independantes. Le nombre de disques en panne est alors une variable de loi Binomiale B(4;q). Le serveur est en panne si au moins deux des disques sont en panne,

P(D) =P

4X j=1Y j2! =P 4X j=1Y j= 2! +P 4X j=1Y j= 3! +P 4X j=1Y j= 4! =C24q2(1q)2+C34q3(1q) +C44q4=q2(6(1q)2+ 4q(1q) +q2) =q2(3q28q+ 6):

3. Sip=q, quelle solution de redondance est la plus interessante?

Corrige :Lorsquep=q. On aP(A)P(D) =p2(32p)p2(3p28p+ 6) = p

2(3p2+ 6p3):Le signe de cette dierence est celui def(p) =3p2+ 6p3. Or

f

0(p) = 6(1p) s'annule enp= 1 etf0(p)>0 sur [0;1], doncf(p) est croissante sur cet

intervalle. Or,f(1) = 0 etf(0) =3. Donc, sur l'intervalle [0;1],f(p)0. La probabilite de defaillance des alimentations est donc toujours inferieure a celle des disques durs. Exercice 3.Un gardien de nuit doit ouvrir l'une des portes a contr^oler pendant sa tournee, dans le noir. Il possede un trousseau de 10 cles d'allures semblables, mais une seule peut ouvrir la porte en question. L'essai des cles se fait au hasard. Le gardien dispose de deux methodes : { Methode A, qui consiste a essayer chaque cle uniformement parmi les cles restantes. { Methode B, qui consiste a essayer une cle apres avoir agite le trousseau (c'est a dire il fait un choix uniforme entre toutes les cles).

1. On appelleXAla variable aleatoire qui designe le nombre des cles essayees (y compris

celle qui donne satisfaction) par la Methode A. Determiner la loi de probabilite deXA.

2. De m^eme, on appelleXBla variable aleatoire analogue que l'on obtient par la methode

B. Determiner la loi de probabilite deXB.

3. Quelle est la probabilite d'essayer plus de 8 cles par la methode A? par la methode B?

4. Le gardien utilise la methode A lorsqu'il est a je^un et la methode B lorsqu'il est ivre. Un

cambrioleur cache a l'interieur sait que le gardien est ivre un jour sur trois. Quelle est la probabilite conditionnelle pour que le gardien soit ivre, sachant que les 8 premiers essais ont echoues. On notera :Al'evenement \le gardien utilise la methode A",Bl'evenement \le gardien utilise la methode B" etHl'evenement \8 essais ont echoue".

Corrige:

1.XAest une variable aleatoire dont les valeurs possibles sont les entiers de 1 a 10. Ces

dix valeurs sont equiprobables,P(XA=n) =110 , pourn= 1;2:::;10. En eet,P(XA= 1) = 110
(un cas favorable parmi dix possibles).P(XA= 2) est la probabilite conditionnelle de succes au deuxieme essai sachant que le premier a echoue,P(XA= 2) =19 910
=110 De m^eme, la probabilite pour que len-ieme essai echoue sachant que les precedents ont echoue est

10n10n+1. Donc la probabilite pour que len-ieme essai reussise sachant que les

precedents ont echoue est

110n+1. D'ouP(XA=n) =910

89
:::10n+110n+2110n+1=110

2.XBest une variable aleatoire dont les valeurs possibles sont les entiers strictement positifs.

Quel que soit l'essai, sa probabilite de reussite est 110
, et celle d'echec est910 . D'ou

P(XB=n) = (910

)n1110

3. La probabilite d'essayer plus de 8 cles est la probabilite d'echouer les 8 premieres fois,

soit 210
par la methode A et (910 )8(soitP1 k=9 910
k1110 ) par la methode B. 2

4. Soit A :"le gardien utilise la methode A", B :"le gardien utilise la methode B" et H :"8

essais ont echoue" . Nous avonsP(A) =23 ;P(B) =13 ;P(HjA) = 0:2 etP(HjB) = (910 )8. On chercheP(BjH). Par la formule de Bayes on a donc

P(BjH) =13

(910 )82 3 210
+ (910 )813 Exercice 4.Soitp2]0;1[ un nombre reel. SoientXetYdeux variables aleatoires independantes qui suivent toutes deux la loi geometrique de parametre 1p.

1. Calculer la loi deX+Y, en precisant l'ensemble des valeurs possibles de la variable

aleatoireX+Y. Corrige :PuisqueXetYsont a valeurs dansN, la variable aleatoireX+Yest a valeurs dansf2;3;:::g. Pourn2 f2;3;:::g, on a

P(X+Y=n) =n1X

k=1P(X=k;Y=nk) =n1X k=1P(X=k)P(Y=nk) ou la derniere egalite est due a l'independance. D'ou

P(X+Y=n) =n1X

k=1(1p)pk1(1p)pnk1= (1p)2n1X k=1p n2= (1p)2(n1)pn2: ainsi,8n2 f2;3;:::;gP(X+Y=n) = (1p)2(n1)pn2:

2. Determiner l'esperance deX+Y.

Corrige :PuisqueXetYadmettent un moment d'ordre 1, il en est de m^eme deX+Y et, en utilisant l'egaliteE[X] =E[Y] =11p, on trouveE[X+Y] =E[X] +E[Y] =21p:

3. Decrire l'evenementfX=Yga l'aide des evenementsfX=n;Y=ngpourn1, puis

calculerP(X=Y). Corrige :L'evenementfX=Yg=[n1fX=n;Y=ng. On a donc, en utilisant la -additivite dePpuis l'independance deXet deY,

P(X=Y) =1X

n=1P(X=n)P(Y=n) = (1p)21X n=1p

2n2=(1p)21p2=1p1 +p:

4. Expliquer pourquoiP(X > Y) =P(Y > X). En deduire la valeur deP(X > Y) a l'aide

de la question 3. Corrige :PuisqueXetYsont independantes et de m^eme loi, on a l'egaliteP(X > Y) =P(Y > X). Par ailleurs, 1 =P(X=Y) +P(X > Y) +P(Y > X) =P(X=

Y) + 2P(X > Y):Il s'ensuit queP(X > Y) =12

11p1+p

p1+p:

5. On denit la variable aleatoireZparZ= 1fimpairg(X) (fonction indicatrice de l'en-

semble des nombres impairs). Determiner la loi deZ. Corrige :La v.a.Zprend ses valeurs dansf0;1g. L'evenementfZ= 0gest l'evenement \Xprends les valeurs paires" et l'evenementfZ= 1gest l'evenement \Xprends les valeurs impaires". On a donc

P(Z= 1) =1X

n=1P(X= 2n1) = (1p)1X n=1p

2n2=1p1p2=11 +p:

et doncP(Z= 0) =p1+p. La variable aleatoireZsuit donc la loi de Bernoulli de parametre 11+p. 3quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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