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Annexe 05 - Calcul vectoriel Page 1/4

MPSI-PCSI Sciences Industrielles pou S. Génouël 31/01/2012

Calcul vectoriel

1) NOTION DE SCALAIRE. ................................................................................................ 1

ECTEUR. ....................................................................................... 1

Une direction .................................................................................................................................... 1

Un sens ............................................................................................................................................ 1

Une norme (ou intensité, module). ................................................................................................... 1

3) NOTION DE BASE ET REPÈRE ORTHONORMÉS DIRECTS. ..................................... 2

31) BASE ORTHONORMÉE DIRECTE. ............................................................................................ 2

32) REPÈRE ORTHONORMÉ DIRECT. ........................................................................................... 2

VECTEUR. ................................................................................ 2 R. .............................................................................................. 2

6) PROJECTS LE PLAN. ......................................................... 3

7) OPÉRATIONS SUR LES VECTEURS. ........................................................................... 3

71) SOMME. .............................................................................................................................. 3

72) PRODUIT SCALAIRE. ............................................................................................................. 3

73) PRODUIT VECTORIEL. ........................................................................................................... 3

74) PRODUIT MIXTE. .................................................................................................................. 4

Objectif : La notion de vecteur est omniprésente dans le cours de mécanique, pour modéliser par exemple

les vitesses en cinématique ou les forces en statique. Aussi est-il nécessaire de faire quelques rappels

utiles.

1) Notion de scalaire.

Les scalaires sont des nombres positifs, négatifs ou nul, utilisés pour représenter des quantités diverses :

temps, température, masse, énergie,... Par exemple : une hauteur de 20 m, un volume de 18 m3, une puissance de 200 MW,... 2)

Un vecteur est une grandeur définie par :

Une direction Droite qui porte le vecteur

Un sens Orientation origine-extrémité du vecteur, symbolisé par une flèche Une norme (ou intensité, module). Valeur de la grandeur mesurée par le vecteur, notée V V

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3) Notion de base et repère orthonormés directs.

31) Base orthonormée directe.

Une base orthonormée est constituée de trois vecteurs, perpendiculaires entre eux et de norme (longueur)

unitaire

1x y z

Pour que cette base soit directe,

vecteurs x et y formant le plan ( , )xy , puis le 3ème vecteur z perpendiculairement au plan ( , )xy et dont le sens est déterminé par la règle : - des trois doigts de la main droite, - du tire-bouchon, - de la vis.

On note la base

( , , )B x y z et on la représente par

32) Repère orthonormé direct.

Un repère est constitué :

- e

Remarque

sont orthonormés directs. 4)

Dans une base

( , , )B x y z oriel, il existe 3 réels x, y et z, appelés composantes de V , tels B x

V x x y y z z y

z NB : il ne faut pas confondre : x la composante du vecteur V suivant la direction x x , le vecteur unitaire de la base B suivant la direction x 5)

Dans une base B, la norme (notée

V cteur B x Vy z peut se calculer par :

² ² ²V x y z

x z y

Notation :

( , , , )R O x y z

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1) Les textes des énoncés nous donnent des informations. Mais nous ne tiendrons JAMAIS COMPTE :

- du schéma réalisé dans une positi - de la valeur algébrique des angles (120°, -

2) Nous réaliserons des figures planes avec un angle dans le sens trigonométrique autour de +15°.

Pour réaliser ces figures planes, nous commencerons toujours par tracer le vecteur commun aux 2 bases, puis nous placerons les autres vecteurs de façon à obtenir des trièdres directs.

3) Nous nous retrouverons donc avec une figure de ce type où seulement 4 projections sont à connaître :

Nous pouvons vérifier facilement que nos projections fonctionnent pour toutes les valeurs algébriques de

Prenons par exemple les cas particuliers où

0 , 90 ,180 90et

7) Opérations sur les vecteurs.

Soient deux vecteurs :

. . .A A AA x x y y z z et . . .B B BB x x y y z z

71) Somme.

( ). ( ). ( ).A B A B A BS A B x x x y y y z z z

72) Produit scalaire. 73) Produit vectoriel.

Définition

Le produit scalaire des 2 vecteurs

A et B est : un scalaire, noté .AB , tel que : . . .cos( , )AB A B A B (Ce nombre peut être positif ou négatif).

Le produit vectoriel des 2 vecteurs

A et B est : un vecteur, noté AB - de direction perpendiculaire au plan ( , )AB - de sens tel que le trièdre ( , , )A B A B soit direct (règle des 3 doigts de la main droite) - de norme . . sin( , )A B A B A B

Remarque

0 . 0 0 cos( . ) 0 soit A

AB soit B

soit AB A B quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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