[PDF] Cours de Mathématiques Supérieures

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Classe de MathématiquesSupérieures

Cours de Mathématiques

Table des matières

0 Fondements des mathématiques9

0.1 Logique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

0.1.1 Assertions, théorèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

0.1.2 Connecteurslogiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

0.1.3 Quelques tautologies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

0.1.4 Modes de raisonnement en mathématiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

0.2 Ensembles, prédicats et quantificateurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

0.2.1 Généralités sur les ensembles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

0.2.2 Prédicats et quantificateurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

0.2.3 Sous-ensemblesdéfinis par un prédicat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

0.2.4 Opérations sur les parties d"un ensemble. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

0.3 Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

0.3.1 Le produit cartésien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

0.3.2 Fonctions et applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

0.3.3 Injectivité, surjectivité, bijectivité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

0.3.4 Relations d"équivalence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1 Ensembles Finis etDénombrements35

1.1 Théorème de Récurrence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.1.1 L"ensembleNdes entiers naturels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.1.2 Raisonnementspar recurrence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.1.3 SuitesDéfinies par Récurrence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.1.4 NotationsΣetΠ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.2 Ensembles finis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.2.1 Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.2.2 Partiesd"un ensemble fini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.3 Dénombrements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.3.1 Unions et intersections d"ensembles finis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.3.2 Produits cartésiens d"ensembles finis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.3.3 Applicationsentre ensembles finis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2 Structures AlgébriquesConstructiondeZetQ53

2.1 Les entiers relatifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.1.1 ConstructiondeZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.1.2 Structurede groupe additif deZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.1.3 Relation d"ordre surZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

MathématiquesSupérieuresTable des Matières

2.1.4 Structured"anneau surZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.2 ConstructiondeQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.3 Complémentsde vocabulaire sur les structures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.3.1 Sous-groupes et morphismesde groupes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.3.2 Sous-anneaux et morphismesd"anneaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.3.3 Règles de calcul dans un anneau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3 Arithmétiquedes Entiers Relatifs77

3.1 Étude des sous-groupes deZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.1.1 PGCD et PPCM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.1.2 La division euclidienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.1.3 Sous-groupes deZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.2 Le théorème de Bezout et ses conséquences. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.2.1 Théorème de Bezout. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.2.2 Les théorèmes de Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.2.3 Relation entre PGCD et PPCM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.3 Nombres premiers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4 Introduction à l"algèbre linéaire89

4.1 Espaces Vectoriels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.1.1 Définition et exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.1.2 Règles de calcul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.1.3 Sous-espaces vectoriels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.1.4 Sous-espace engendré par une partiede E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.1.5 Somme de deux sous-espaces vectoriels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.1.6 Sous-espaces en somme directe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.2 Applications linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.2.1 Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.2.2 Noyau et image. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.2.3 Formes linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.2.4 Endomorphismesparticuliers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.2.5 Équations linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5 Polynômesà une indéterminée105

5.1 L"algèbre des polynômes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.1.1 Suites à support fini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.1.2 Structured"espace vectoriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.1.3 Structured"algèbre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.1.4 Indéterminée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.1.5 Composition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.2 StructuremultiplicativedeK[X]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.2.1 Éléments inversibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.2.2 Divisibilité dansK[X]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.2.3 Division euclidienne dansK[X]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.3 Racines d"un polynôme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.3.1 Fonctions polynomiales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.3.2 Racines d"un polynôme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

MathématiquesSupérieuresTable des Matières

5.4 Dérivation et racines multiples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.4.1 Dérivation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.4.2 Racines multiples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.5 Polynômes scindés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5.5.1 Le théorème de d"Alembert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5.5.2 Relations entre coefficients et racines d"un polynômescindé. . . . . . . . . . 124

5.6 Arithmétiquedes polynômes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

5.6.1 PGCD et PPCM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

5.6.2 Les théorèmes de Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5.6.3 Preuve du théorème 2.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

6 Fractions Rationnelles135

6.1 Le corpsK(X). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.1.1 Rappels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.1.2 Degré d"une fraction rationnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.1.3 Représentationirréductibled"une fraction rationnelle. . . . . . . . . . . . . . 137

6.1.4 Zéros et pôles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

6.1.5 Composition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

6.1.6 Conjugaison. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

6.2 Décomposition en éléments simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

6.2.1 Division suivant les puissances croissantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

6.2.2 Étude théorique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

6.2.3 Pratique de la décompositionsurC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

6.2.4 Pratique de la décompositionsurR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

7 Espaces Vectorielsde Dimension Finie155

7.1 Notion de dépendance linéaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

7.1.1 Rappel : sous-espace engendré. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

7.1.2 Familles libres et liées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

7.1.3 Bases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

7.2 Dimension d"un espace vectoriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

7.2.1 Existence de bases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

7.2.2 Le lemme fondamental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

7.2.3 Existence de la dimension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

7.2.4 Sous-espaces des espaces de dimension finie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

7.2.5 Applicationslinéaires et espaces de dimension finie. . . . . . . . . . . . . . . 168

8 Matrices171

8.1 Les ensembles de matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

8.1.1 Vocabulaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

8.1.2 L"espace vectoriel Mn,p(K). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

8.1.3 Le produit matriciel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

8.1.4 La transposition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

8.1.5 L"algèbre Mn(K). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

8.2 Matrices et applications linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

8.2.1 Correspondancesentre applications linéaires et matrices. . . . . . . . . . . . 179

8.2.2 Matrices inversibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

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