Algorithmique Structures de données
1 de 87. Algorithmique. Structures de données. Florent Hivert. Mél : Florent. La plupart des bons algorithmes fonctionnent grâce à une méthode.
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Algorithmique
Structures de données
Florent Hivert
Mél :Florent.Hivert@lri.fr
Page personnelle :http://www.lri.fr/˜hivert
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Types de données
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Avoir choisi les bons types de données permet d"avoir un programmeplus lisible car auto documenté plus facile à maintenir souvent plus rapide, en tout cas plus facile à optimiser " I will, in fact, claim that the difference between a bad programmer and a good one is whether he considers his code or his data structures more important. Bad programmers worry about the code. Good programmers worry about data structures and their relationships. " - Linus Torvalds (creator of Linux)3 de 87
Algorithmes et structures de données
La plupart des bons algorithmes fonctionnent grâce à une méthode astucieuse pour organiser les données. Nous allons étudier quatregrandes classes de structures de données :Les structures de données séquentielles (tableaux);
Les structures de données linéaires (liste chaînées);Les arbres;
Les graphes.
Structures séquentielles : les tableaux
4 de 87Structures
séquentielles : les tableauxStructures séquentielles : les tableaux
5 de 87Structure de donnée séquentielle (tableau)
En anglais : array, vector.Définition
Untableauest une structure de donnéeTqui permet de stocker un certain nombre d"élémentsT[i]repérés par un indexi. Lestableaux vérifient généralement les propriétés suivantes :tous les éléments ont le même type de base;
le nombre d"éléments stockés est fixé; l"accès et la modification de l"élément numéroiest en temps constant(1), indépendant deiet du nombre d"éléments, le tableau.Structures séquentielles : les tableaux
6 de 87Un tableau en mémoire
Définition
Dans le tableau, tous les éléments ont la même taille mémoire. Nombre d"élément :n, taille d"un élémentt:T[0]T[1]T[2]...T[n-1]On suppose que le tableau commence à l"adressedT[0]occupe les casesdàd+t1;T[1]occupe les casesd+tàd+2t1;T[i]occupe les casesd+itàd+ (i+1)t1;Le tableau entier occupe les casesdàd+nt1.
Note : indirection (pointeur) possible si taille variable (par exemple classe virtuelle).Structures séquentielles : les tableaux
6 de 87Un tableau en mémoire
Définition
Dans le tableau, tous les éléments ont la même taille mémoire. Nombre d"élément :n, taille d"un élémentt:T[0]T[1]T[2]...T[n-1]On suppose que le tableau commence à l"adressedT[0]occupe les casesdàd+t1;T[1]occupe les casesd+tàd+2t1;T[i]occupe les casesd+itàd+ (i+1)t1;Le tableau entier occupe les casesdàd+nt1.Note : indirection (pointeur) possible si taille variable (par exemple
classe virtuelle).Structures séquentielles : les tableaux
7 de 87Structure de donnée séquentielle (tableau)
On encapsule souvent le tableau dans une structure qui permet defaire varier la taille :Java : tableauint[](taille fixe),ArrayList(taille variable)C : tableauint[](taille fixe), pointeur (taille variable)C++ :std::array(taille fixe),std::vector(taille variable)Python :list(taille variable,6=liste chaînée)
Structures séquentielles : les tableaux
8 de 87Exemple : Tableau en C (bas niveau)
On suppose déclaré un typeelempour les éléments.Espace mémoire nécessaire au stockage d"un élément exprimé
en mots mémoire (octets en général) :sizeof(elem).définitionstatique:elem t[taille];définitiondynamiqueen deux temps (déclaration, allocation) :
#includeAddr(t[i]) = Addr(t[0]) +sizeof(elem)i
Structures séquentielles : les tableaux
8 de 87Exemple : Tableau en C (bas niveau)
On suppose déclaré un typeelempour les éléments.Espace mémoire nécessaire au stockage d"un élément exprimé
en mots mémoire (octets en général) :sizeof(elem).définitionstatique:elem t[taille];définitiondynamiqueen deux temps (déclaration, allocation) :
#includeAddr(t[i]) = Addr(t[0]) +sizeof(elem)i
Structures séquentielles : les tableaux
8 de 87Exemple : Tableau en C (bas niveau)
On suppose déclaré un typeelempour les éléments.Espace mémoire nécessaire au stockage d"un élément exprimé
en mots mémoire (octets en général) :sizeof(elem).définitionstatique:elem t[taille];définitiondynamiqueen deux temps (déclaration, allocation) :
#includeAddr(t[i]) = Addr(t[0]) +sizeof(elem)i
Structures séquentielles : les tableaux
9 de 87Tableau en Java
On suppose déclaré un typeelempour les éléments.définitiondynamiqueen deux temps (déclaration, allocation) :
elem[] t; t = new elem[taille];Structures séquentielles : les tableaux
10 de 87Tableau partiellement remplis
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Pour simuler un tableau de taille variable, on peutréserver une certaine quantité de mémoire appeléecapacite,et ranger les valeursau début du tableau .
Organisation des données (structure, classe) :
tableau de taillecapaciteallouééléments d"indiceipour 0iStructures séquentielles : les tableaux
11 de 87Opérations de base
Hypothèses :tableau de taillecapaciteallouééléments 0i accès au premier élément :(1)accès à l"élément numéroi:(1)accès au dernier élément :(1)insertion/suppression d"un élément au début :(taille)insert./suppr. d"un élt en positioni:(taillei)O(taille)insert./suppr. d"un élt à la fin :(1)À faire : écrire les méthodes correspondantes On veut calculer la complexité de l"ajoutExemple : enregistrement d"un signal audio venant d"un micros On veut calculer la complexité de l"ajoutExemple : enregistrement d"un signal audio venant d"un microsStructures séquentielles : les tableaux
12 de 87Problème de la taille maximum
0 ...taille1 ...capacite1utilisélibre
On essaye d"insérer un élément dans un tableau oùtaille = capacite Il n"y a plus de place disponible.
0 ...taille1= capacite1u t i l i s é
Comportements possibles :Erreur (arrêt du programme, exception) Ré-allocation du tableau avec recopie, coût :(taille) Structures séquentielles : les tableaux
12 de 87Problème de la taille maximum
0 ...taille1 ...capacite1utilisélibre
On essaye d"insérer un élément dans un tableau oùtaille = capacite Il n"y a plus de place disponible.
0 ...taille1= capacite1u t i l i s é
Comportements possibles :Erreur (arrêt du programme, exception) Ré-allocation du tableau avec recopie, coût :(taille) Structures séquentielles : les tableaux
13 de 87Ré-allocation
En C :realloc
void *realloc(void *ptr, size_t size);modifie la taille du bloc de mémoire pointé par ptr pour l"amener à une taille desizeoctets.realloc()conserve le contenu de la zone mémoire minimum entre la nouvelle et l"ancienne taille. [...] Si la zone pointée était déplacée, unfree(ptr)est effectué.En Java, copy systématique : E[] newData = (E[]) new Object[...];
System.arraycopy(data, 0, newData, 0, size);
data = newData; Structures séquentielles : les tableaux
14 de 87Ré-allocation : coût
Problème
Quel est le coût des réallocations?
On se place dans le scénario suivant :Au début, le tableau ne contient rien; On ajoute, 1 par 1,néléments à la fin.
méthodeappenden Python et Java,push_backen C++ 44000 échantillons par seconde.
Structures séquentielles : les tableaux
14 de 87Ré-allocation : coût
Problème
Quel est le coût des réallocations?
On se place dans le scénario suivant :Au début, le tableau ne contient rien; On ajoute, 1 par 1,néléments à la fin.
méthodeappenden Python et Java,push_backen C++ 44000 échantillons par seconde.
Structures séquentielles : les tableaux
15 de 87Rappels suites arithmétiques et géométriques
Suite arithmétique :un+1=un+r,un=u0+nr.
u 0+u1++un= (n+1)u0+un2
= (n+1)2u0+nr2 0+r+2r+:::nr= (n+1)nr2
Suite géométrique :un+1=qun,un=u0qn.
u 0+u1++un=u01qn+11qsiq6=1
1+q+q2++qn=1qn+11q
Structures séquentielles : les tableaux
16 de 87Ré-allocation par ajout d"une case
On ajoute, 1 par 1,néléments à la fin.ÉtapeAllocationsCopiesStockage#écritures 11T[0]1
22T[0]T[1]2
33T[0:::1]T[2]3
..nnT[0:::n2]T[n1]n Bilan :
nX i=1i=n(n+1)2 écritures.
Structures séquentielles : les tableaux
16 de 87Ré-allocation par ajout d"une case
On ajoute, 1 par 1,néléments à la fin.ÉtapeAllocationsCopiesStockage#écritures 11T[0]1
22T[0]T[1]2
33T[0:::1]T[2]3
..nnT[0:::n2]T[n1]n Bilan :
nX i=1i=n(n+1)2 écritures.
Structures séquentielles : les tableaux
17 de 87Ré-allocation par ajout d"une taille fixeb
Nombre d"étapes :k=dnb
e. Hypothèse simplificatrice :nest un multiple de la taillebdes blocs :n=kb. À chaque étape, on écritbvaleurs.ÉtapeAlloc.CopiesStockage#écritures 1b0:::b1b
22b0:::b1b:::2b12b
33b0:::2b12b:::3b13b
..kkb0:::(k1)b1(k1)b:::kb1kb Bilan :
kX i=1bi=bkX i=1i=bk(k+1)2n22bécritures. Structures séquentielles : les tableaux
17 de 87Ré-allocation par ajout d"une taille fixeb
Nombre d"étapes :k=dnb
e. Hypothèse simplificatrice :nest un multiple de la taillebdes blocs :n=kb. À chaque étape, on écritbvaleurs.ÉtapeAlloc.CopiesStockage#écritures 1b0:::b1b
22b0:::b1b:::2b12b
33b0:::2b12b:::3b13b
..kkb0:::(k1)b1(k1)b:::kb1kb Bilan :
kX i=1bi=bkX i=1i=bk(k+1)2n22bécritures. Structures séquentielles : les tableaux
18 de 87Ré-allocation par ajout d"une taille fixe : Bilan
Retenir
On suppose que l"on réalloueune case supplémentaireà chaque débordement. Coût (nombre de copies d"éléments) : n X i=1i=n(n+1)2 2(n2) Si on alloue des blocs de tailleb, en notantk=dnb
ele nombre de blocs :kX i=1bin22b2(n2) La vitesse est divisée parbmais lacomplexité reste la même. Structures séquentielles : les tableaux
18 de 87Ré-allocation par ajout d"une taille fixe : Bilan
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On suppose que l"on réalloueune case supplémentaireà chaque débordement. Coût (nombre de copies d"éléments) : n X i=1i=n(n+1)2 2(n2)Si on alloue des blocs de tailleb, en notantk=dnb
ele nombre de blocs :kX i=1bin22b2(n2) La vitesse est divisée parbmais lacomplexité reste la même. Structures séquentielles : les tableaux
19 de 87Ré-allocation par doublement de taille
Bilan : Il faut allouer de plus en plus d"éléments.Question Que ce passe-t-il si l"on double la taille à chaque fois? Structures séquentielles : les tableaux
20 de 87Ré-allocation par doublement de taille
Nombre d"étapes :k=dlog2ne. Hypothèse simplificatrice :nest une puissance de 2 :n=2k.ÉtapeAlloc.CopiesStockage#écritures 0101
12012
240:::12:::34
380:::34:::78
4160:::78:::1516
..k2 k0:::2k112 k1:::2k12 kBilan : kX i=02quotesdbs_dbs18.pdfusesText_24
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