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THÈSEPour obtenir le grade deDOCTEUR DE L"UNIVERSITÉ DE GRENOBLESpécialité :Mathématiques-Informatique

Arrêté ministérial : 12.1

Présentée par

MODESTE Simon

Thèse dirigée parGRAVIER Sylvain

et codirigée parOUVRIER-BUFFET Cécile préparée au seinInstitut Fourier et deMSTII

Enseigner l"algorithme pour quoi?

Quelles nouvelles questions pour les

mathématiques?

Quels apports pour l"apprentissage de la

preuve? Thèse soutenue publiquement le5 décembre 2012, devant le jury composé de :

Mme BLOCH Isabelle

Professeure des Universités émérite, Université Bordeaux 4, Rapporteur

M. SOPENA Éric

Professeur, Université Bordeaux 1, Rapporteur

Mme CASTELA Corine

Maître de conférence HDR, Université de Rouen, Examinatrice

M. VUILLON, Laurent

Professeur des Universités, Université de Savoie, Examinateur

M. GRAVIER Sylvain

Directeur de Recherche, CNRS et Université Grenoble 1, Directeur de thèse

Mme OUVRIER-BUFFET Cécile

Maître de conférence, Université Paris-Est Créteil, Co-Directrice de thèse 4

RemerciementsLe problème des remerciements exhaustifs est d"une grande complexité : aucun algorithmeexact n"est beaucoup plus efficace que l"énumération de toutes les personnes à la surface duglobe. Je vais donc me contenter ici d"une heuristique de remerciement, plus rapide maissans garantie de n"oublier personne...Je tiens tout d"abord à remercier Cécile Ouvrier-Buffet et Sylvain Gravier, qui, après avoiraccompagné mon travail de Master, ont accepté de m"encadrer pour trois années supplé-mentaires. J"ai beaucoup appris à leurs côtés. Leurs questions et leurs conseils m"ont guidétout au long de ce travail. Ils ont su me laisser suivre mes propres pistes et être présentsquand je me perdais. J"ai sincèrement apprécié de travailler avec eux, de discuter de nosrecherches et de tout le reste. Certains doctorants, surprotégés par leurs encadrants, sontparfois coupés de la réalité (pas si idyllique) de la recherche et de l"université. À l"opposé,Cécile et Sylvain m"en ont fait découvrir les rouages, m"ont impliqué dans des projets etpoussé à m"investir dans d"autres. Je suis ravi d"être tombé sur de tels encadrants, qui nelimitent pas leur rôle aux aspects scientifiques.Merci encore à Sylvain pour tout le reste : les maths, les sms "je fume en bas", les bières,les discussions sur tout, nos désaccords constructifs, son enthousiasme et ses 12000 pro-jets/seconde.Merci aussi à Cécile qui m"a fait découvrir les branches et autres chocolats suisses, lescoulisses de la DDM et la vodka à la cerise en Pologne; merci aussi pour les restos partagésen conf et les appels téléphoniques rassurants de ces derniers mois.Isabelle Bloch et Éric Sopena ont accepté d"être rapporteurs de cette thèse. Je les remer-cie pour cela, pour leur efficacité, pour leur lecture attentive de mon manuscrit et leursremarques qui m"ont aidé à clarifier mes idées. Mes remerciements vont aussi à CorineCastela et Laurent Vuillon qui ont accepté de participer au jury de cette thèse.Une partie de mes recherches s"est appuyée sur des interviews de chercheurs. Je remercieici, anonymement, tous ceux et toutes celles, dechercheur 1àchercheur 22, qui ont porté

un intérêt à mon travail en acceptant de me donner un peu de leur temps pour répondre

à mes questions.

Je remercie les membres de l"Institut Fourier, quelle que soit leur fonction, que j"ai côtoyés

durant ces trois années. Je remercie plus particulièrement les thésards avec qui j"ai partagé

les tracas et les euphories de la recherche, en particulier Bashar, Aline, Ximena, Laurent, Camille, Nicolas, Thomas, Ariadna, Gunnar, Élise, Marianne, Maxime, Alix et Mathieu (j"en oublie surement). Je remercie aussi les membres de l"IREM de Grenoble pour leur accueil, les enseignants rencontrés dans un cadre de recherche pour leurs retours, les col- lègues de l"IUT Informatique de Grenoble (en particulier l"équipe des matheux) qui m"ont 5

guidé dans mes premiers pas dans l"enseignement supérieur, toute l"équipe du départementde mathématiques de l"Université de Liège et Michel Rigo en particulier, et mes nouveauxcollègues à l"IUFM de Chambéry qui me font découvrir un monde infini de sigles et deréformes...Quand j"ai découvert l"équipeMaths à Modeleret ses actions, j"ai aussi fait la connaissance

de nombreuses personnes passionnées, sympathiques et bienveillantes. Je les salue toutes ici. À chaque fois que j"ai ressenti la solitude du didacticien au milieu des matheux Greno- blois, l"ARDM et le groupe des jeunes chercheurs en particulier m"ont permis de me sentir membre d"une communauté de recherche vivante et de parler en détail de certaines de mes préoccupations. Je remercie aussi lesyoung researchersrencontrés à Rzeszów et Faro, mais aussi lesmoins young researchersde ERME, qui m"ont montré que la didactique française n"est pas tout. Merci encore à tous les amis proches qui m"ont soutenu, questionné et maintenu en contact

avec le monde réel. Merci à Claire C, Claire B et Baptiste, merci à Mélaine, Fred M, Fred

S et à tous ceux cités plus haut. Une mention particulière doit être faite à Jean Q, qui a été

tout à la foisβ-testeur de mes idées, soutien moral, support technique, référence scienti-

fique en informatique théorique, co-créateur de projets jamais réalisés et même fournisseur

de cloud. Je remercie aussi les acteurs de notre projet Palestinien, avec qui j"ai partagé cette expérience incomparable. Je remercie enfin toute ma famille (dans un sens très large), à qui je dois beaucoup, et plus spécialement mes parents, pour le goût d"apprendre et l"esprit critique qu"ils m"ont transmis et pour leur soutien moral et logistique sans faille, ainsi qu"Alex et Lucie pour leur humour et peut-être pour m"avoir, malgré eux, donné le goût d"enseigner les maths. Pour terminer, je remercie Camille, la fille la plus super du monde, de m"avoir supporté

(dans presque tous les sens du terme). Sans sa présence à mes côtés, je n"aurai peut-être

pas tenu le coup ces trois années. Pour tout le bonheur que tu m"apportes, Camille, merci. 6

Table des matièresIntroduction11

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1 Algorithme, mathématiques et enseignement . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Contexte en France . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Problématique et questions de recherche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1 Une approche épistémologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 L"enseignement de l"algorithmique en France . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 Développement de situations pour la classe . . . . . . . . . . . . . . 17

I Une analyse épistémologique du concept algorithme 19

1 Un premier modèle épistémologique21

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1 Autour du concept d"algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.1 Qu"est-ce qu"un algorithme? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.2 Une formalisation du concept mathématique . . . . . . . . . . . . . . 25

1.3 Qu"est-ce-que l"algorithmique? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2 Exemples caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1 Plus grand diviseur commun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2 Cycle eulérien dans un graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3 Tris et permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3 Aspects de l"algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.1 Cinq aspects fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2 Dualité outil-objet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Conclusion et nouvelles questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2 Réflexion sur la pensée algorithmique45

1 La " Pensée »? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2 La pensée algorithmique en tant que pensée mathématique . . . . . . . . . . 46

2.1 Considérations épistémologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.2 Perspectives pour l"enseignement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3 Pensée algorithmique versus pensée mathématique . . . . . . . . . . . . . . 48

3.1 Considérations épistémologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2 Perspectives pour l"enseignement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Conclusion et nouvelles questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 7

3 Un modèle de conceptions pour l"algorithme 55

1 La notion de conception et le modèle cK?c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2 Problèmes et problèmes d"algorithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.1 Une notion de problème adaptée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.2 Différentes familles de problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.3 Dialectique outil-objet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3 Trois fois deux conceptions pour l"algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.1 Trois paradigmes pour l"algorithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.2 Six conceptions pour l"algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.3 Relation entre ces conceptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.4 Relation auxaspects. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Conclusion et nouvelles questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Conclusion et utilisation les modèles69

II Entretiens avec des chercheurs71

Questions et problématiques73

4 Entretien avec des chercheurs - Confrontation des modèles 75

1 Construction et gestion des entretiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

1.1 Choix de l"étude par des entretiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

1.2 Construction des entretiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

1.3 Réalisation et traitement des entretiens . . . . . . . . . . . . . . . . 79

2 Analyse des entretiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

2.1 Méthodologie pour la validation des modèles . . . . . . . . . . . . . . 79

2.2 Aspects fondamentaux dans les entretiens . . . . . . . . . . . . . . . 80

2.3μ-conceptions dans les entretiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5 Conceptions des chercheurs - Construction d"un outil 91

1 Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

2 Méthodologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

2.1 Éléments pour l"analyse des conceptions . . . . . . . . . . . . . . . . 92

2.2aspectset paradigmes en jeu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3 Les conceptions des chercheurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.1 Tableau récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.2 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Conclusion - Vers une grille d"analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Conclusion sur les entretiens99

III L"algorithmique au lycée en France 101

Questions et problématiques103

8

6 Programmes et documents-ressources105

1 Organisation des programmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

1.1 Le lycée en France . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

1.2 En mathématiques : des objectifs communs pour le lycée . . . . . . . 106

1.3 Document ressource . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

2 Grille d"analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3 Analyse des programmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

3.1 Algorithmique dans l"en-tête des programmes . . . . . . . . . . . . . 108

3.2 Objectifs pour le lycée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

3.3 Les algorithmes présents dans les programmes . . . . . . . . . . . . . 112

3.4 Conclusion pour les programmes de mathématiques . . . . . . . . . . 118

4 Algorithmique de la spécialité ISN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4.1 Discours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.2 Contenus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5 Documents-ressources pour la seconde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

5.1 Discussion sur l"algorithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

♦programme-papier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.2 Activités proposées pour la classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

♦algorithme-instancié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 ♦programme de modélisation-simulation . . . . . . . . . . . . . 142

5.3 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

7 Ressources du site des IREM en algorithmique 147

1 Quelles ressources? Quels outils? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

1.1 Les ressources en ligne des IREM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

1.2 Outils d"analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

2 Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

2.1 Illustration : différents traitements de la dichotomie . . . . . . . . . . 150

2.2 Quels Aspects dans les ressources? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

2.3 Quelles conceptions dans les ressources . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

2.4 Quels algorithmes dans les ressources? . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

2.5 Classification des documents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

2.6 Résumé des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

2.7 Interprétations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

8 Manuels du lycée177

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

1 Méthodologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

1.1 Collections de manuels étudiées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

1.2 Hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

1.3 Grille d"analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

2 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

2.1 Collection Indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

2.2 Collection Transmath . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

2.3 Enseignements de spécialité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

Conclusions199

9 IV Problèmes et situations pour l"algorithme 203Introduction : un travail en cours205

9 Problèmes fondamentaux - Vers des situations pour l"algorithme 207

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

1 Problèmes fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

1.1 Problèmes et dialectique outil-objet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

1.2 La notion de problème fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

2 Quelques propositions de problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

3 Quels types de situations pour l"algorithme? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

3.1 Objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

3.2 SiRC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

3.3 Problèmes d"optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

4 Une proposition de situation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

4.1 Le problème des pesées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

4.2 Analyse mathématique du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

4.3 Un problème fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

4.4 Analyse a priori de la situation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

Conclusion et perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

Conclusions et perspectives233

1 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

1.1 Épistémologie de l"algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

1.2 Conceptions de chercheurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

1.3 Transposition au lycée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

1.4 Situations pour la classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

1.5 Résultats théoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

2 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

2.1 Situations pour l"algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

2.2 Contraintes et conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

2.3 Conceptions sur l"algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

2.4 Sémiotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

2.5 Modèles et épistémologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

Références241

Glossaire243

Acronymes et symboles249

10

IntroductionSommaire

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1 Algorithme, mathématiques et enseignement . . . . . . . . . . . 11

1.2 Contexte en France . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Problématique et questions de recherche . . . . . . . . . . . . . 13

2.1 Une approche épistémologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 L"enseignement de l"algorithmique en France . . . . . . . . . . . 16

2.3 Développement de situations pour la classe . . . . . . . . . . . . 17

1 Introduction

1.1 Algorithme, mathématiques et enseignement

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