[PDF] [PDF] Méthodes doptimisation sans gradient pour des probl`emes





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Introduction aux Méthodes dOptimisation sans Gradient pour l

Les algorithmes génétiques diffèrent des autres méthodes d'optimisation car ils utilisent un codage des variables de contrôle plutôt que les variables de 



Introduction à loptimisation aspects théoriques et numériques

Méthodes de type gradient. 2. Algorithmes pour l'optimisation SANS contrainte. Les méthodes de Newton en dimension supérieure. 3. Introduction `a 



Introduction à lOptimisation Numérique

2.3.1 Algorithmes de gradient à pas fixe/pas optimal . solution de problèmes d'optimisation sans contrainte (cf chapitre 2) puis avec contraintes (cf.



Introduction à loptimisation Aspects théoriques et numériques

III.3 Méthodes de gradient . III.4 Les méthodes de Newton et quasi-Newton . ... Si K = V on dit que (I.1) est un problème d'optimisation sans ...



Méthodes Numériques : Optimisation

La première et principale partie du cours concerne les problèmes d'optimisation sans contraintes. Nous abordons les algorithmes de type descente de gradient 



Introduction à loptimisation Aspects théoriques et numériques

III.3 Méthodes de gradient . III.4 Les méthodes de Newton et quasi-Newton . ... Si K = V on dit que (I.1) est un problème d'optimisation sans ...



Introduction à lOptimisation Numérique

Ces informations sont fournies en “boite noire” i.e. par un sous-programme indépendant de l'algorithme d'optimisation choisi : routine de calcul du gradient 



Comparaison de différentes méthodes doptimisation sans

Dans ce TP d'introduction `a l'optimisation pour l'image nous allons introduire un gradient comment chercher le minimum d'une fonction par descente de ...



Méthodes numériques : optimisation

Apr 19 2015 chapitre portera sur les méthodes de gradient conjugué



Notes de cours - Préparation à lagrégation - Introduction à l

3 Conditions d'optimalité - optimisation sans contrainte L'interpolation de Lagrange et les algorithmes de gradients seront étudiés ultérieurement au.



[PDF] Introduction aux Méthodes dOptimisation sans Gradient pour l - Inria

Introduction aux Méthodes d'Optimisation sans Gradient pour l'Optimisation et le Contrôle en Mécanique des Fluides R Duvigneau



[PDF] Méthodes doptimisation sans gradient pour des probl`emes

18 avr 2013 · Méthodes d'optimisation sans gradient pour des probl`emes inverses en ingénierie pétroli`ere Laurent DUMAS avec F Delbos D Ding (IFPEN) 



[PDF] Introduction à lOptimisation Numérique

Dans les chapitres suivants nous entrons dans le vif du sujet en nous intéressant à la ré- solution de problèmes d'optimisation sans contrainte (cf chapitre 2) 



[PDF] Cours-Optimisationpdf

L'optimisation consiste en la recherche du minimum (ou du maximum) d'une cer- taine quantité appelée coût ou objectif Dans ce cours on supposera que le 



[PDF] Méthodes Numériques : Optimisation - ceremade

La première et principale partie du cours concerne les problèmes d'optimisation sans contraintes Nous abordons les algorithmes de type descente de gradient 



[PDF] Méthodes numériques : optimisation - ceremade

19 avr 2015 · chapitre portera sur les méthodes de gradient conjugué et s'il reste un pour résoudre des problèmes d'optimisation avec contraintes



[PDF] optimisationpdf

Plan du cours • Introduction • Analyse de la fonction objectif • Conditions d'optimalité sans contrainte • Résolution d'équations • Optimisation sans 



[PDF] aspects théoriques numériques et algorithmes

1 3 6 Le gradient d'un champ scalaire 4 Quelques algorithmes pour l'optimisation sans contraintes 4 6 Les méthodes de Newton et quasi-Newton



[PDF] Introduction à loptimisation Aspects théoriques et numériques

Même pour le gradient à pas optimal qui est en principe la meilleure de ces méthodes d'un point de vue de la rapidité de convergence celle-ci peut être lente 



[PDF] Résumé dOptimisation

Et donc le gradient de f en uk+1 lui est orthogonal 5 2 Méthode de Newton Si f est une fonction réguli`ere dont on sait calculer le gradient et la matrice 

:

Problemes inverses en ingenierie petroliere

Une nouvelle methode de type surface de reponse

Une nouvelle methode de type region de conanceMethodes d'optimisation sans gradient pour des problemes inverses en ingenierie petroliere

Laurent DUMAS

avec F. Delbos, D. Ding (IFPEN), E. Echague, B. Marteau (doctorants IFPEN)

Laboratoire de Mathematiques de Versailles (LMV)

Universite de Versailles Saint Quentin en Yvelines (UVSQ)

18 avril 2013

Laurent DumasSeminaire Analyse Numerique Orsay, 18 avril 2013 1/41

Problemes inverses en ingenierie petroliere

Une nouvelle methode de type surface de reponse

Une nouvelle methode de type region de conancePlan de l'expose

1Problemes inverses en ingenierie petroliere

2Une nouvelle methode de type surface de reponse

Principe des sparse grids

Methode d'optimisation associee

Resultats numeriques

3Une nouvelle methode de type region de conance

Principe general

Adaptation au cas des fonctions partiellement separables

Un resultat de convergence

Resultats numeriques

Laurent DumasSeminaire Analyse Numerique Orsay, 18 avril 2013 2/41

Problemes inverses en ingenierie petroliere

Une nouvelle methode de type surface de reponse

Une nouvelle methode de type region de conance1Problemes inverses en ingenierie petroliere

2Une nouvelle methode de type surface de reponse

3Une nouvelle methode de type region de conance

Laurent DumasSeminaire Analyse Numerique Orsay, 18 avril 2013 3/41

Problemes inverses en ingenierie petroliere

Une nouvelle methode de type surface de reponse

Une nouvelle methode de type region de conanceLe calage d'historique Laurent DumasSeminaire Analyse Numerique Orsay, 18 avril 2013 4/41

Problemes inverses en ingenierie petroliere

Une nouvelle methode de type surface de reponse

Une nouvelle methode de type region de conanceCaracteristiques du probleme inverse L'evaluation de la fonction objectif (x1;;:::;xn)7!f(x1;:::;xn) a optimiser necessite la simulation d'ecoulements complexes

dans un modele de reservoir, processus tres couteux.Les caracteristiques principales du probleme a resoudre sont :

Dependance en de nombreux parametres

Evaluation co^uteuse de la fonction objectif

Fonction objectif partiellement separable

Laurent DumasSeminaire Analyse Numerique Orsay, 18 avril 2013 5/41

Problemes inverses en ingenierie petroliere

Une nouvelle methode de type surface de reponse

Une nouvelle methode de type region de conanceSeparabilite partielle de la fonction objectif La fonction objectif peut s'ecrire sous la forme : f(x1;:::;xn) =12 P n1i=1! PiN P(i)P NP(i) j=1

Pobsi;j(x)Psimi;j(x)

Pi;j 2 Pp i=1fi(x1;:::;xn) Pp i=1fi(x1i;:::;xni) avec8i,ninLaurent DumasSeminaire Analyse Numerique Orsay, 18 avril 2013 6/41

Problemes inverses en ingenierie petroliere

Une nouvelle methode de type surface de reponse

Une nouvelle methode de type region de conanceObjectifs Le probleme general a resoudre peut se formuler de la maniere suivante :obtenir le meilleur calage d'historique a partir d'un nombre maximal xe de simulations d'ecoulement.Plusieurs questions se posent alors :

Parametrisation :determiner les parametres les plus pertinents.Initialisation du probleme :proposer la meilleure initialisation

possible.Optimisation :exploiter au mieux les connaissances sur la fonction.Laurent DumasSeminaire Analyse Numerique Orsay, 18 avril 2013 7/41

Problemes inverses en ingenierie petroliere

Une nouvelle methode de type surface de reponse

Une nouvelle methode de type region de conanceComparaisons des methodes d'optimisation De nombreux tests ont ete realises dans la litterature et a l'IFPEN pour le domaine petrolier.Il en ressort que les methodes sans derivees sont en general a

privilegier en l'absence d'estimation simple du gradient.Quatre grandes familles de methodes d'optimisation sans

gradient sont disponibles :Methodes directes de type simplexe (Nelder Mead) Methodes de type evolutionnaires (recuit simule, algorithmes genetiques, CMA-ES)Methodes de type surfaces de reponse (RBF, krigeage)

Methodes de type region de conance (SQP, NEWUOA)

Laurent DumasSeminaire Analyse Numerique Orsay, 18 avril 2013 8/41

Problemes inverses en ingenierie petroliere

Une nouvelle methode de type surface de reponse

Une nouvelle methode de type region de conancePrincipe des sparse grids

Methode d'optimisation associee

Resultats numeriques1Problemes inverses en ingenierie petroliere

2Une nouvelle methode de type surface de reponse

Principe des sparse grids

Methode d'optimisation associee

Resultats numeriques

3Une nouvelle methode de type region de conance

Principe general

Adaptation au cas des fonctions partiellement separables

Un resultat de convergence

Resultats numeriques

Laurent DumasSeminaire Analyse Numerique Orsay, 18 avril 2013 9/41

Problemes inverses en ingenierie petroliere

Une nouvelle methode de type surface de reponse

Une nouvelle methode de type region de conancePrincipe des sparse grids

Methode d'optimisation associee

Resultats numeriquesPrincipe des methodes de type surface de reponse Une methode de type surface de reponse consiste a construire de maniere iterative un modele approche de la fonction objectif.Les surfaces de reponse classiques consistent en des combinaisons lineaires de fonctions de base (methode RBF, krigeage).On choisit d'utiliser ici une methode d'interpolation, appelee sparse grid, appliquee initialement pour le calcul d'integrale en grande dimension ou l'etude de sensibilite. Laurent DumasSeminaire Analyse Numerique Orsay, 18 avril 2013 10/41

Problemes inverses en ingenierie petroliere

Une nouvelle methode de type surface de reponse

Une nouvelle methode de type region de conancePrincipe des sparse grids

Methode d'optimisation associee

Resultats numeriquesConstruction hierarchique en dimension 1

On cherche ici a interpoler la fonction

f: [0;1]!R: Pouri2N, on noteXil'ensemble des points de Chebychev sur [0;1] de niveaui. Plus precisement,xij2Xiest tel que : x ij=( 12 pourj= 1 eti= 1 12 (cos(j1n

i1) + 1) pourj= 1;:::;2i1+ 1 eti>1:Laurent DumasSeminaire Analyse Numerique Orsay, 18 avril 2013 11/41

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Une nouvelle methode de type surface de reponse

Une nouvelle methode de type region de conancePrincipe des sparse grids

Methode d'optimisation associee

Resultats numeriquesConstruction hierarchique en dimension 1 Soitaijla famille des polyn^omes de Lagrange associes a chaque x ij2Xi: a ij(x) =8 :1 pourj= 1 eti= 1Qnik=1;k6=jxxikx ijxikpourj= 1;:::;nietni>1:: Le modele d'interpolation de niveauidef, notemi(f), s'ecrit : m i(f) =X x ij2Xif(xij)aij:(1)Laurent DumasSeminaire Analyse Numerique Orsay, 18 avril 2013 12/41

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Une nouvelle methode de type surface de reponse

Une nouvelle methode de type region de conancePrincipe des sparse grids

Methode d'optimisation associee

Resultats numeriquesConstruction hierarchique en dimension 1 Soit il'ecart entre les modeles de niveauieti1 : i=mi(f)mi1(f) =P x ij2Xi(f(xij)mi1(f)(xij)) .aij:

En notantXi=XinXi1, on a

i=X x ij2Xi(f(xij)mi1(f)(xij))|{z} w ij.aij;(2) On obtient alors la construction hierarchique demi(f) : m i(f) =mi1(f) + i =Pi k=1k:Laurent DumasSeminaire Analyse Numerique Orsay, 18 avril 2013 13/41

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Une nouvelle methode de type surface de reponse

Une nouvelle methode de type region de conancePrincipe des sparse grids

Methode d'optimisation associee

Resultats numeriquesConstruction hierarchique en dimension n Dans le cas general ou on cherche a interpoler la fonction f: [0;1]n!R, on obtient par tensorisation : m (i1;i2;:::in)(f) =X x i1j12Xi1:::X x injn2Xinf(xi1j

1;:::;xinj

n)(ai1j 1 ainj n): De m^eme, l'expression hierarchique en dimensionnsur une grille pleine s'ecrit : m (i1;i2;:::in)(f) =i 1X k

1=1:::i

lX k l=1:::i nX k n=1( k1 kl kn)|{z} k; Laurent DumasSeminaire Analyse Numerique Orsay, 18 avril 2013 14/41

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Une nouvelle methode de type surface de reponse

Une nouvelle methode de type region de conancePrincipe des sparse grids

Methode d'optimisation associee

Resultats numeriquesApproximation par sparse grids L'interpolation par sparse grids, proposee par Smolyak , consiste a negliger les fonctions de base aux supports les plus "petits" : SG

N(f) =X

jkj1d+N1( k1 kd):

soit par exemple en dimension 2 et pour le niveauN= 4 :Laurent DumasSeminaire Analyse Numerique Orsay, 18 avril 2013 15/41

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Une nouvelle methode de type region de conancePrincipe des sparse grids

Methode d'optimisation associee

Resultats numeriquesApproximation par sparse grids La methode d'interpolation par sparse grids permet de reduire considerablement le nombre de points d'interpolation utilises tout

en gardant une tres bonne approximation de la fonctionf:NiveauNPoints d'interpolation erreur en normeL2Grille pleineO(Nn)O(N2)

Sparse GridO(N(logN)n1)O(N2(logN)n1)Laurent DumasSeminaire Analyse Numerique Orsay, 18 avril 2013 16/41

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Une nouvelle methode de type region de conancePrincipe des sparse grids

Methode d'optimisation associee

Resultats numeriquesRanement local

Un procede de ranement local, toujours par interpolation de type sparse grid, permet d'ameliorer le modele localement en des points d'inter^et : Laurent DumasSeminaire Analyse Numerique Orsay, 18 avril 2013 17/41

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Une nouvelle methode de type region de conancePrincipe des sparse grids

Methode d'optimisation associee

Resultats numeriquesPrincipe de la methode d'optimisation La methode d'optimisation associee a la surface de reponse de type sparse grid consiste a construire de maniere hierarchique le modele d'interpolation.Un ranement local autour des points d'inter^et au niveau

hierarchiqueN(minimum du modele) est auparavant realise.Laurent DumasSeminaire Analyse Numerique Orsay, 18 avril 2013 18/41

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Une nouvelle methode de type surface de reponse

Une nouvelle methode de type region de conancePrincipe des sparse grids

Methode d'optimisation associee

Resultats numeriquesResultats numeriques sur des fonctions classiques La methode precedente, nommee GOSGrid, a ete testee sur des benchmarks de fonctions classiques comme les fonctions de

Michalewicz et de Schwefel :

Laurent DumasSeminaire Analyse Numerique Orsay, 18 avril 2013 19/41

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Une nouvelle methode de type region de conancePrincipe des sparse grids

Methode d'optimisation associee

Resultats numeriquesResultats sur la fonction de Michalewicz, n=5 La gure ci-dessous presente une comparaison de la methode GOSGrid avec une methode de krigeage (EGO) et un algorithme evolutionnaire (CMA-ES) : Laurent DumasSeminaire Analyse Numerique Orsay, 18 avril 2013 20/41

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Une nouvelle methode de type surface de reponse

Une nouvelle methode de type region de conancePrincipe des sparse grids

Methode d'optimisation associee

Resultats numeriquesResultats sur la fonction de Schwefel, n=10 La gure ci-dessous presente une comparaison de la methode GOSGrid avec une methode de krigeage (EGO) et un algorithme evolutionnaire (CMA-ES) : Laurent DumasSeminaire Analyse Numerique Orsay, 18 avril 2013 21/41

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Une nouvelle methode de type region de conancePrincipe des sparse grids

Methode d'optimisation associee

Resultats numeriquesResultat numerique sur un cas test reservoir La methode GOSGrid a egalement ete appliquee sur un cas test de reservoir synthetique, avec des donnees de production bruitees (7 parametres geologiques a determiner et 6 puits de mesure) : Laurent DumasSeminaire Analyse Numerique Orsay, 18 avril 2013 22/41

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Une nouvelle methode de type region de conancePrincipe des sparse grids

Methode d'optimisation associee

Resultats numeriquesResultat numerique sur un cas test reservoir Les resultats obtenus sont meilleurs que ceux issus du calcul avec une methode evolutionnaire lorsque la structure particuliere de la fonction (somme de carres) est utilisee : Laurent DumasSeminaire Analyse Numerique Orsay, 18 avril 2013 23/41quotesdbs_dbs4.pdfusesText_8
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