Exercices Corrigés Matrices Exercice 1 – Considérons les matrices PDF

Exercices avec Solutions

EXERCICE 4. Ecrire un algorithme pour résoudre chacun des problèmes suivants : 1- Calcul de la somme des N premiers nombres entiers.

ALGORITHME SECONDE Exercice 5.1 Ecrire un algorithme qui

corrigé - retour au cours. Exercice 5.10. Lire la suite des prix (en euros entiers et terminée par zéro) des achats d'un client. Calculer la somme qu'il

Exercices corrigés

Cours no 4 : « Structures de données Python » Utilisez une liste en compréhension pour calculer la somme d'une liste d'entiers de 0.

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Définir deux variables prenant les valeurs 3 et 6. 2. Calculer leur somme et leur produit. Voici à quoi cela ressemble : Code 1 (hello-world.py)

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156 220.05 Calcul de la somme d'une série entière Identifier parmi les relations d'équivalence étudiées dans le cours et les exercices du chapitre

Exercices Corrigés Matrices Exercice 1 – Considérons les matrices

Puis calculer A-1. Exercice 8 – Appliquer avec précision aux matrices M et N suivantes l'algorithme du cours qui détermine si une matrice est inversible et

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Un algorithme est une suite d'instructions données permettant d'atteindre un Programme un petit jeu de calcul mental avec un chat et trois souris.

Analyse Numérique

Exercice 1.5 Calculer en arrondissant à quatre chiffres significatifs chaque calcul in- termédiaire

Cours darithmétique

Exercice 28* (Australie 96) Si n est un entier on note ? (n) la somme des diviseurs positifs de n. Soit (ni) une suite strictement croissante d'entiers

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Vous allez tout de suite vous lancer dans les calculs. Il est possible de trouver des cours et des exercices dans de nombreux ouvrages dispo-.

Exercices Corriges

Matrices

Exercice 1{Considerons les matrices a coecients reels :

A= 2 1

2 1! ; B= 1 2 24!
C=0 B @1 1 2 1 0 1 11 01 C

A; D=0

B @11 1 1 0 1

0 1 01

A; E= 11 1

1 0 1!

Si elles ont un sens, calculer les matricesAB,BA,CD,DC,AE,CE.

Exercice 2{(extrait partiel novembre 2011)

On considere les matrices a coecients reels :

A= 1 1

1 1!

B= 431

2 1 1!

C= 1 2

12! Calculer, s'ils ont un sens, les produitsAB;BA;AC;CA;B2. Exercice 3{On considere les matrices a coecients reels :

A= 1 3

2 4!

B= 431

2 1 1!

C= 43 2 1!

1) Calculer s'ils ont un sens les produitsAB;BA;AC;CA;BC;CB;B2.

2) En deduire, sans plus de calcul, queAetCsont inversibles et preciser leurs inverses.

Exercice 4{SoitAla matrice deM2(R) etBla matrice deM2;3(R) denies par :

A= 4 3

1 1! ; B= 1 0 2 1 11! Si elles ont un sens, calculer les matricesAB,BA,A2,B2etA+ 2Id2.

Exercice 5{SoitA;B;Cles matrices :

A= 22 0

4 22!

2M2;3(R); B=0

B @1 1 1 2 131
C

A2M3;2(R); C= 11

1 2!

2M2;2(R)

Determiner les produits denis 2 a 2 de ces trois matrices. Exercice 6{Ti;j() etant la matrice elementaire qui correspond a ajouter a la ligneile produit parde la ligne j, preciser la matriceT2;1(12 ) deM2;2(R), puis la matriceT1;2(2)T2;1(12 1 Exercice 7{1) Preciser les matrices elementaires deM3;3(R) : D

2(2); T3;2(3); T2;1(2):

2) Calculer la matriceA=T3;2(3)D2(2)T2;1(2).

3) DonnerA1sous forme de produit de matrices elementaires. Puis, calculerA1.

Exercice 8{Appliquer avec precision aux matricesMetNsuivantes l'algorithme du cours qui determine si une matrice est inversible et donne dans ce cas son inverse : M= 23 11!

2M2;2(R)et N= 23

46!

2M2;2(R):

Exercice 9{(extrait partiel novembre 2011)

1) En utilisant l'algorithme du cours, montrer que la matrice suivante est inversible et preciser

son inverse :

A= 1 2

3 4!

2) Puis, donner une expression deA1et deAcomme produit de matrices elementaires.

Exercice 10{1) Appliquer avec precision l'algorithme du cours pour inverser la matrice : M= 11 23!

2M2;2(R):

2 ) Donner une expression deM1, puis deMcomme produit de matrices elementaires.

Exercice 11{) Appliquer avec precision l'algorithme du cours pour inverser la matrice :

M= 2 1

3 2!

2M2;2(R):

Preciser une expression deM1, puis deMcomme produit de matrices elementaires. Exercice 12{SoitAetBdeux matrices carrees de m^eme ordre, on suppose que la matrice ABest inversible d'inverse la matriceC. Montrer alors queBest inversible et preciserA1.

Exercice 13{(extrait partiel novembre 2011)

SoitXetYdeux matrices carrees non nulles de m^eme taille a coecients reels, montrer que siXY= 0, les matricesXetYne sont pas inversibles.

Exercice 14{SoitM=0

B @2 4 1 2 5 1

1 2 11

C A.

1) Montrer en appliquant les algorithmes du cours queMest inversible. Preciser la matrice

1ainsi que la decomposition deM1comme produit de matrices elementaires.

2) En deduire une decomposition deMcomme produit de matrices elementaires.

3) Montrer que nous avons aussiM=T2;3(1)T1;3(1)T3;1(1)T2;1(1)T1;2(2).

4) En deduire une deuxieme expression deM1comme produit de matrices elementaires.

5) Calculer det(M) et retrouver la valeur deM1en utilisant la formule d'inversion donnee

dans le cours.

Exercice 15{(extrait partiel novembre 2009)

1) Appliquer avec precision l'algorithme du cours pour determiner l'inverseM1de la matrice :

M=0 B @1 2 3 0 1 2

0 4 61

A2M3;3(R):

Quelle est la valeur deM1?

2) Donner une expression deM1, puis deMcomme produit de matrices elementaires.

3) Deduire de la question 1 une matriceXdeM3;3(R)telle que :

2XM=0 B @1 0 0 0 1 0 02 11 C A: Exercice 16{1) Appliquer avec precision l'algorithme du cours pour determiner l'inverse M

1de la matrice :

M=0 B @1 2 3 0 1 1

0 2 31

A2M3;3(R):

2) Donner une expression deM1, puis deMcomme produit de matrices elementaires.

3) Verier le calcul en eectuant les calculs des matricesMM1etM1M.

Exercice 17{SoitMla matrice deM3(R) denie par :

M=0 B @1 01 2 3 4

0 1 11

C A:

1) Calculer le determinant deM, sa comatrice et l'inverse deM.

2) Determiner l'inverse deMsous forme de produit de matrices elementaires. EcrireMcomme

produit de matrices elementaires.

3) Resoudre a l'aide de l'inverse deMle systeme suivant oumest un reel xe :

(m)2 6 4x 1x3=m

2x1+ 3x2+ 4x3= 1

+x2+x3= 2m: 3

Correction de l'exercice 1 :

Le lecteur veriera que :

AB= 0 0

0 0! ; BA= 6 3 126!
CD=0 B @0 1 2 1 0 1 21 01
C

A; DC=0

B @123 2 0 2

1 0 11

A; AE= 12 3

12 3! Le produitCEn'a pas de sens car la taille des colonnes (a savoir 2) deEest dierent de la taille des lignes (a savoir 3) deC.

Correction de l'exercice 2 :

On trouve :

AB= 22 0

22 0!

AC= 0 0

2 0!

CA= 3 3

33!

Les deux autres produitsB2etBAn'ont pas de sens.

Correction de l'exercice 3 :

AB= 2 0 2

02 2! BAn'a pas de sens car la taille des lignes deBn'est pas egale a celle des colonnes deA.

AC= 2 0

02! =2Id2:

CA= 2 0

02! =2Id2:

CB= 22157

10 7 3!

BCn'a pas de sens car la taille des lignes de deBn'est pas egale a celle des colonnes deC. B

2n'a pas de sens car la taille des lignes de deBn'est pas egale a celle des colonnes deB.

2) Nous avons :AC=CA=2Id2, nous en deduisons :

A(12

C) = (12

C)A= Id2:

Il en resulte que la matriceAest inversible, d'inverse : A 1=12

C= 232

112
4

De m^eme :

(12

A)C=C(12

A) = Id2:

Il en resulte que la matriceCest inversible, d'inverse : C 1=12 A= 12 32
12!

Correction de l'exercice 4 :

AB= 7 311

2 13!

La matriceBAn'a pas de sens.

2=AA= 139

32!

La matriceB2n'a pas de sens.

A+ 2Id2= 4 3

1 1! + 2 1 0 0 1! = 2 3 1 3!

Correction de l'exercice 5 :

AB= 02

4 14! ; BA=0 B @6 02 10 24

108 61

A; CA= 24 2

10 24!

BC=0 B @2 1 3 3 271
C

A; C2= 03

3 3!

Les matricesAC,CB,A2etB2ne sont pas denis.

Correction de l'exercice 6 :

2;1(12

) =T2;1(12 )I2=T2;1(12 ) 1 0 0 1! = 1 0 12 1! De m^eme, en utilisant les proprietes des actions a gauche par les matrices elementaires, on obtient : T

1;2(2)T2;1(12

) =T1;2(2) 1 0 12 1! = 02 12 1!

Correction de l'exercice 7 :

1.1) 5 D

2(2) =D2(2)I3=D2(2)0

B @1 0 0 0 1 0

0 0 11

C A=0 B @1 0 0 02 0

0 0 11

C A: T

3;2(3) =T3;2(3)I3=T3;2(3)0

B @1 0 0 0 1 0

0 0 11

C A=0 B @1 0 0 0 1 0

0 3 11

C A: T

2;1(2) =T2;1(2)I3=T2;1(2)0

B @1 0 0 0 1 0

0 0 11

C A=0 B @1 0 0 2 1 0

0 0 11

C A: 1.2)

A=T3;2(3)D2(2)T2;1(2) =T3;2(3)D2(2)0

B @1 0 0 2 1 0

0 0 11

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[PDF] Exercices Corrigés Matrices Exercice 1 – Considérons les matrices

Exercices Corriges

Matrices

A= 2 1

A; D=0

0 1 01

A; E= 11 1

1 0 1!

Exercice 2{(extrait partiel novembre 2011)

On considere les matrices a coecients reels :

A= 1 1

B= 431

2 1 1!

C= 1 2

A= 1 3

B= 431

2 1 1!

1) Calculer s'ils ont un sens les produitsAB;BA;AC;CA;BC;CB;B2.

2) En deduire, sans plus de calcul, queAetCsont inversibles et preciser leurs inverses.

A= 4 3

Exercice 5{SoitA;B;Cles matrices :

A= 22 0

2M2;3(R); B=0

A2M3;2(R); C= 11

2M2;2(R)

2(2); T3;2(3); T2;1(2):

2) Calculer la matriceA=T3;2(3)D2(2)T2;1(2).

3) DonnerA1sous forme de produit de matrices elementaires. Puis, calculerA1.

2M2;2(R)et N= 23

2M2;2(R):

Exercice 9{(extrait partiel novembre 2011)

1) En utilisant l'algorithme du cours, montrer que la matrice suivante est inversible et preciser

A= 1 2

2) Puis, donner une expression deA1et deAcomme produit de matrices elementaires.

2M2;2(R):

2 ) Donner une expression deM1, puis deMcomme produit de matrices elementaires.

M= 2 1

2M2;2(R):

Exercice 13{(extrait partiel novembre 2011)

Exercice 14{SoitM=0

1 2 11

1) Montrer en appliquant les algorithmes du cours queMest inversible. Preciser la matrice

1ainsi que la decomposition deM1comme produit de matrices elementaires.

2) En deduire une decomposition deMcomme produit de matrices elementaires.

3) Montrer que nous avons aussiM=T2;3(1)T1;3(1)T3;1(1)T2;1(1)T1;2(2).

4) En deduire une deuxieme expression deM1comme produit de matrices elementaires.

5) Calculer det(M) et retrouver la valeur deM1en utilisant la formule d'inversion donnee

Exercice 15{(extrait partiel novembre 2009)

1) Appliquer avec precision l'algorithme du cours pour determiner l'inverseM1de la matrice :

0 4 61

A2M3;3(R):

Quelle est la valeur deM1?

2) Donner une expression deM1, puis deMcomme produit de matrices elementaires.

3) Deduire de la question 1 une matriceXdeM3;3(R)telle que :

1de la matrice :

0 2 31

A2M3;3(R):

2) Donner une expression deM1, puis deMcomme produit de matrices elementaires.

3) Verier le calcul en eectuant les calculs des matricesMM1etM1M.

Exercice 17{SoitMla matrice deM3(R) denie par :

0 1 11

1) Calculer le determinant deM, sa comatrice et l'inverse deM.

2) Determiner l'inverse deMsous forme de produit de matrices elementaires. EcrireMcomme

3) Resoudre a l'aide de l'inverse deMle systeme suivant oumest un reel xe :

2x1+ 3x2+ 4x3= 1

Correction de l'exercice 1 :

Le lecteur veriera que :

AB= 0 0

A; DC=0

1 0 11

A; AE= 12 3

Correction de l'exercice 2 :

On trouve :

AB= 22 0

AC= 0 0

CA= 3 3

Les deux autres produitsB2etBAn'ont pas de sens.

Correction de l'exercice 3 :

AB= 2 0 2

AC= 2 0