[PDF] Corrigé du baccalauréat S Antilles-Guyane 20 juin 2016

0=1-?-e-λa-(-1)?=e-λa.

On a donc

λ=1000 d"oùλ=0,0001.

0,6065

PartieC

L"entreprise a cherché à améliorer la qualité de sa production et affirme qu"il n"y a pas plus de 6 %

d"ampoules défectueuses dans sa production. Une association de consommateurs réalise un test sur

1.On ap=0,06,n=1000.

•n?30

•np=60?5

•n(1-p)=9400?5

2.La fréquence observée d"ampoules défectueuses estf=0,71

1000=0,071.

EXERCICE23points

Commun à tous les candidats

O ;-→u,-→v?

1.Soit A le point d"affixe 2.|z-2|=1??AM=1 doncCest le cercle de centre A et de rayon 1.

2.M(z)?C∩D???|z-2|=1

On doit avoir 1-3a2?0, donc

On peut alors distinguer trois cas :

Antilles-Guyane220 juin 2016

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

—Premiercas.a??

3;∞?

—Deuxième cas.a=±?

3: un seul point d"intersection (la droite et le cercle sont tangents).

—Troisième cas.a??

EXERCICE37points

Commun à tous les candidats

PartieA

1.Pour toutx?=0,f(x)=xe×e-x2=e

Donc lim

Comme lim

2. a.f=uevavec?u(x)=x

1-2x2=0??x2=1

2??x= ±?

2= ±?

2et 1-2x2est positif (signe opposé à celui

2×e=-?

Tableau de variations :

2+∞

2????0

PartieB

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé dans un repère les courbes représentativesCfetCgrespecti-

Antilles-Guyane320 juin 2016

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0-0,5-1,0-1,5-2,0-2,5

1,01,52,02,5

1.Il semble queCfsoit en dessous deCget que les deux courbes soient tangentes en un point.

2.Soitx?0;f(x)=xe1-x2?0 carx?0 et e1-x2>0 etg(x)=e1-x>0, doncf(x)

3.Dans cette question, on se place dans l"intervalle ]0 ;+∞[.

On pose, pour tout réelxstrictement positif,Φ(x)=lnx-x2+x. xe-x2? ln (e-x)(car la fonction ln est croissante). cela équivaut à lnx-x2?-x??lnx-x2+x?0??

Φ(x)?0.

On admet pour la suite quef(x)=g(x) équivaut àΦ(x)=0. b.Φ?(x)=1 x-2x+1=-2x2+x+1xqui est du signe de-2x2+x+1 carx>0. On calcule le discriminant :Δ=9>0 : il y a deux racines :-1

2et 1.

Cette expression est négative (du signe du coefficient dex2, donc de -2) en dehors de l"intervalle formé par les racines.

Φ(1)=0.

On en déduit le tableau de variations deφ:

x0 1+∞

Φ?(x)+0-

Φ(x)??

??0 c.Le maximum deΦ(x) estΦ(1)=0 donc, pour toutx>0,Φ(x)?0.

4. a.Φ(x)?0??f(x)?g(x) doncCfest bien en dessous deCg.

Antilles-Guyane420 juin 2016

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

b.f(x)=g(x)??Φ(x)=0??x=1 donc les deux courbes ont un point commun, A, de coordonnées (1; 1). c.f?(1)=-1 :g?(x)=-e1-xdoncg?(1)=-1. En A, les deux tangentes ont l même coefficient directeur, donc les deux courbes ont même tangente.

PartieC

1.On poseu(x)=1-x2; alorsu?(x)=-2xdoncx=-1

2u?(x) d"oùf=-12u?(x)eu(x).

Une primitive estF(x)=-1

2eu(x)=-12e1-x2.

2. 1 0? e1-x-xe1-x2? dx=? 1 0 [g(x)-f(x) dx].

Une primitive deg-festG-Favec

(G-F)(x)=-e1-x-? -1

2e1-x2?

=12e1-x2-e1-x. 1 0? e1-x-xe1-x2? dx=(G-F)(1)-(G-F)(0)=?1 2-1? -?12e-e? e-1 2.

3.Ce résultat correspond à l"aire en unités d"aire du domaine compris entreCg,Cfet les droites

d"équationx=0 etx=1.

EXERCICE 4

EXERCICE45points

Candidatsn"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité

ABCDEFGHest un cube d"arête égale à 1.

L"espace est muni du repère orthonormé

(D;--→DC,--→DA,--→DH).

Dans ce repère, on a :

D(0 ; 0 ; 0),C(1 ; 0 ; 0),A(0 ; 1 ; 0),

H(0 ; 0 ; 1) etE(0 ; 1 ; 1).

SoitIle milieu de [AB].

CC? BB? GG? FF

DD?AA?

HH ?EE JJ? II? NN? MM LL KK SoitPle plan parallèle au plan (BGE) et passant par le pointI.

On admet que la section du cube par le planPreprésentée ci-dessus est un hexagone dont les som-

metsI,J,K,L,M, etNappartiennent respectivement aux arêtes [AB], [BC], [CG], [GH], [HE] et [AE]. 1. a.

DF((111))

BG (0 -1 1)) et-→BE((-1 0 1)) ne sont clairement pas colinéaires.

Antilles-Guyane520 juin 2016

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

DF.--→BG=0-1+1=0;--→DF.-→BE=-1+0+1=0.--→DFest orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (BGE)donc c"est un vecteur

normal à ce plan. b.Pet (BGE) sont parallèles, donc--→DFest aussi un vecteur normal àu planP.

Uneéquationcartésiennedeceplanest:

(x-xI)+?y-yI?+(z-zI)=0?? x+y+z=32.

2.Le point N appartient à [AE]. Ses coordonnées sont donc(0 ; 1 ;zN).

Il appartient au planPdonc 0+1+zN=3

2??zN=12.

Ainsi N est le milieu de [AE].

3. a. --→HB((-1 -1 1)) Une représentation paramétrique de (HB) est?????x=xH-t y=yH-t z-zH+t,t?R ?x=-t y=-t z=1+t,t?R b. --→HB.--→DF=-1-1+1=-1?=0.

Le planPet la droite (HB) sont donc sécants.

On injecte les équations de (HB) dans l"équation deP. -t-t+1+t-3

2=0?? -t-12=0??t=-12.

Donc (HB) et le planPson sécants en un point

T?12;12;12?.

4.BGFest rectangle en F. Son aire estA(BGF)=1×1

2=12. Le volume du tétraèdreFBGEest alorsV(FBGE)=A(BGF)×FE 3=1

2×1

3= 1 6.

EXERCICE45points

Candidatsayantsuivi l"enseignementde spécialité

Les parties A et B sont indépendantes

PartieA

On considère l"équation suivante d"inconnuesxetyentiers relatifs :

7x-3y=1.(E)

1.Un algorithme incomplet est donné ci-dessous. Le recopier et le compléter, en écrivant ses

lignes manquantes (1) et (2) de manière à ce qu"il donne les solutions entières (x;y) de l"équa-

tion (E) vérifiant-5?x?10 et -5?y?10.

Antilles-Guyane620 juin 2016

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

Variables : X est un nombre entier

Y est un nombre entier

Début : Pour X variant de-5 à 10

(1)

Pour Y variantde -5 à 10

(2)Si 7X-3Y=1

Alors Afficher X et Y

Fin Si

Fin Pour

Fin Pour

Fin

2. a.7×1-3×2=7-6=1 donc (1 ; 2) est une solution particulière de (E).

b.Soit (x;y) un couple solution quelconque de (E).

Pn a alors : 7x-3y=7×1-3×2??7(x-1)=3(y-2).

7 divise 7(x-1) donc 7 divise 3(x-2).

7 et 3 sont premiers entre eux. D"aprèsle théorème de Gauss, 7divisey-2 doncy-2=7k

d"oùy=2+7k,k?Z. On remplaceypar 7+2k: on trouvex=7(x-1)=3×7kd"oùx-1=3kdoncx=1+3k.

L"ensemble des solutions est donc

S={(1+3k; 2+7k),k?Z}.

c.On veut que-5?1+3k?10 et-5?2+7k?10 Soit-6?3k?9 et-7?7k?8 D"où -2?k?3 et-1?k?8 7

PartieB

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé?

O ;-→u,-→v?

On considère la droiteDd"équation

7x-3y-1=0

On définie la suite (An) de points du plan de coordonnées (xn:yn) vérifiant pour toutnentier

naturel :?x0=1 y

0=2et?

xn+1= -13

2xn+3yn

y n+1= -35

2xn+8yn

1.On noteMla matrice((

-13 23
-35 28))
. Pour tout entier natureln, on pose X n=?xn y n? a.MXn=((( -13

2xn+3yn

35

2xn+8yn)))

=Xn+1donc

Xn+1=MXn.

b.Pour toutn, on a :

Xn=MnX0.

2.On considère la matriceP=?-2-3

-5-7? et on admet que la matrice inverse deP, notéeP-1, est définie parP-1=?7-3 -5 2? a.P-1MP=? 1 0 01 2? doncD=? 1 0 012? qui est bien une matrice diagonale.

Antilles-Guyane720 juin 2016

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