[PDF] LES LIGNES GÉODÉSIQUES DUN TORE par Abdelmajid Ben Hadj





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  • Quelle est la relation entre la topographie et la géodésie ?

    2La topographie est la sœur de la géodésie. Elle s'intéresse aux mêmes quantités, mais à une plus petite échelle, et elle rentre dans des détails de plus en plus fins pour établir des cartes à différentes échelles et suivre pas à pas les courbes de niveau.

  • Quel est le but de la géodésie ?

    1La géodésie s'occupe de la détermination mathématique de la forme de la Terre. Les observations géodésiques conduisent à des données numériques : forme et dimensions de la Terre, coordonnées géographiques des points, altitudes, déviations de la verticale, longueurs d'arcs de méridiens et de parallèles, etc.
  • Une géodésique est une courbe tracée sur une surface dont la normale principale est normale à la surface. Une ligne géodésique est une ligne qui poss?, en tout point qui n'est pas un point d'inflexion, un plan osculateur normal à la surface en ce point.
LES LIGNES GÉODÉSIQUES DUN TORE par Abdelmajid Ben Hadj

LES LIGNES G

EODESIQUES D'UN TORE

par Abdelmajid Ben Hadj Salem, Ingenieur General GeographeTable des matieres

1. Introduction..................................................... 1

2. Les Equations dierentielles des lignes geodesiques ............. 3

3. Resolution du probleme dans le cas general...................... 4

References.......................................................... 5

1. Introduction

Dans cet article, nous proposons d'ecrire les equations des geodesiques d'un tore, et de les resoudre.

Soit le toreTdeni par les equations suivantes :

(1.0.1)M(';) =8 :x= (a+Rcos')cos y= (a+Rcos')sin z=Rsin' oua;Rdeux constantes positives aveca > R, (';)2[0;2][0;2].

On introduit les notations usuelles :

E=@M@'

:@M@' @M@' 2 =R2(1.0.2)

F=@M@'

:@M@ = 0(1.0.3) G=@M@ :@M@ @M@ 2 = (a+Rcos')2(1.0.4)

2ABDELMAJID BEN HADJ SALEM, INGENIEUR GENERAL GEOGRAPHEFigure 1.Le Tore T

On a alors :

(1.0.5)ds2=R2d'2+ (a+Rcos')2d2 la premiere forme fondamentale du tore. Des equations (1.0.2-1.0.3-1.0.4), on obtient les equations : @E@' =E0'= 0(1.0.6) @E@ =E0= 0(1.0.7) @F@' =F0'= 0(1.0.8) @F@ =F0= 0(1.0.9) @G@' =G0'=2Rsin'(a+Rcos')(1.0.10) @G@ =G0= 0(1.0.11)

LES LIGNES G

EODESIQUES D'UN TORE3

2. Les Equations dierentielles des lignes geodesiques

Les equations dierentielles des lignes geodesiques sont donnees par [1] : (2.0.12) 2M@' 2:@M@ d'ds 2 +Fd2'ds

2+2@2M@'@

:@M@ d'ds dds +@2M@ 2:@M@ dds 2 +Gd2ds 2= 0 et : (2.0.13) 2M@

2:@M@'

dds 2 +Fd2ds

2+2@2M@'@

:@M@' d'ds dds +@2M@'

2:@M@'

d'ds 2 +Ed2'ds 2= 0 Utilisons les equations (1.0.6) a (1.0.11), les equations (2.0.12) et 2.0.13) peuvent ^etre ecrites : (2.0.14) (F0'E02 )d'ds 2 +Fd2'ds

2+G0'd'ds

dds +G02 dds 2 +Gd2ds 2= 0 (2.0.15) (F0G0'2 )dds 2 +Fd2ds

2+E0dds

d'ds +E0'2 d'ds 2 +Ed2'ds 2= 0

Ce qui donne apres substitutions :

2Rsin'(a+Rcos')d'ds

dds + (a+Rcos')2d2ds

2= 0(2.0.16)

Rsin'(a+Rcos')dds

2 +R2d2'ds

2= 0(2.0.17)

L'equation (2.0.16) s'ecrit :

(2.0.18) dds (a+Rcos')2dds = 0

Ce qui donne :

(2.0.19) (a+Rcos')2dds =C=constante

Posons :

(2.0.20)r=a+Rcos' L'equation (2.0.19) n'est autre que l'equation de Clairaut : (2.0.21)rsinAz=C= (a+R)sinAzeouAzeest l'azimut de depart au pointM0= ((a+R)cos0;(a+R)sin0;0) de la geodesique sur le planz= 0.

On a alors les cas suivants :

4ABDELMAJID BEN HADJ SALEM, INGENIEUR GENERAL GEOGRAPHE

a -Aze= 0)C= 0)sinAz= 0)Az= 0, alors=0et le pointM decrit le petit cercle de rayonR, soit le cercle (C1) sur la gure 1. b -Aze=2 )rsinAz=C= (a+R) ce qui donne : (2.0.22) sinAz=a+Ra+Rcos'>1 Ce qui impossible sauf si'= 0 etAz=2 DoncMdecrit le grand cercle dans le planz= 0 de rayona+R.

3. Resolution du probleme dans le cas general

On suppose que au pointM0, la geodesique a pour azimutAzetelque :

0< Aze <2

L'equation(2.0.17) s'ecrit en utilisant (2.0.19) : d 2'ds 2=C2R sin'(a+Rcos')3

Multiplions les deux membres par 2

d'ds qu'on suppose dierend de zero, on obtient : (3.0.23) dds d'ds 2! C2R 2dds

1(a+Rcos')2

Qu'on ecrit sous la forme en posantk2=C2=R2:

(3.0.24)d d'ds 2! =dk2(a+Rcos')2

En integrant, on obtient :

(3.0.25)d'ds 2 =Ak2(a+Rcos')20 ouAest une constante strictement positive. On retrouve la valeur deAen utilisant l'expression deds2donnee par (1.0.5) soit : (3.0.26)A=1R 2

D'ou en prenant

d'ds >0, on a alors : (3.0.27) d'ds =1R p(a+Rcos')2C2a+Rcos'

LES LIGNES G

EODESIQUES D'UN TORE5

La latitude'passe par un maximum'mtelque :

(3.0.28)a+Rcos'm=C)cos' m=CaR

L'equation (3.0.27) donne :

(3.0.29)ds=R(a+Rcos')d'p(a+Rcos')2C2

Soit :

(3.0.30)s=Z

0R(a+Rcost)dtp(a+Rcost)2C2avecs('= 0) = 0.

Revenons a chercher l'expression deen fonction de'. L'equation (2.0.19) donne : (3.0.31) dds =C(a+Rcos')2

Soit :

D'ou en integrant :

(3.0.33)0=Z

0C:Rdt(a+Rcost)p(a+Rcost)2C2Le calcul des integrales (3.0.30) et (3.0.33) fera l'objet d'une prochaine note.

Decembre 2015

References

[1] Abdelmajid Ben Hadj Salem. 2015. Elements de Geodesie et de la theorie des

Erreurs. 390p.

6ABDELMAJID BEN HADJ SALEM, INGENIEUR GENERAL GEOGRAPHEAbdelmajid Ben Hadj Salem, Ing

enieur General Geographe,,

6, Rue du Nil, Cite Soliman Er-Riadh, 8020 Soliman, Tunisia

E-mail :abenhadjsalem@gmail.com

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