[PDF] Corrigé du baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014

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11 septembre 2014

EXERCICE16 points

Commun à tous lescandidats

Une entreprise dejouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue

divers tests permettant de rejeter les peluches ne répondant pas aux normes en vigueur. D"expérience,

le concepteur sait que 9% des nouveaux jouets ne répondent pas aux normes.

À l"issue des tests, il est noté que

•96% des peluches répondant aux normes sont acceptées par lestests; •97% des peluches ne répondant pas aux normes ne sont pas acceptées à l"issue des tests. On prélève une peluche au hasard dans la production de l"entreprise. On note •Nl"évènement : "la peluche répond aux normes en vigueur»; •Al"évènement : "la peluche est acceptée à l"issue des tests».

Partie A

1.On construit un arbre pondéré représentant la situation exposée précédemment :

N

1-0,09=0,91

A0,96

A1-0,96=0,04

N 0,09A

1-0,97=0,03

A0,97

2.La probabilité qu"une peluche soit acceptée estP(A).

D"après la formule des probabilités totales :P(A)=P(N∩A)+P(

N∩A).

P?

N∩A?

=P?N?

×PN(A)=0,09×0,03=0,0027?

=?P(A)=0,8736+0,0027=0,8763

3.La probabilité qu"une peluche qui a été acceptée soit aux normes estPA(N) :

P

A(N)=P(N∩A)

P(A)=0,87360,8763≈0,9969

Partie B

On considère que la vie d"une peluche se termine lorsqu"ellesubit un dommage majeur. On admet que

la durée de vie en années d"une peluche, notéeD, suit une loi exponentielle de paramètreλ.

1.On sait queP(D?4)=0,5.

SiDsuit une loi exponentielle de paramètreλ, alorsP(D?a)=? a

λe-λtdt=1-e-λa.

4

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

2.On prendra iciλ=0,1733.

Le jour de ses trois ans, un enfant qui joue avec cette peluchedepuis sa naissance décide, voyant qu"elle est encore en parfait état, de la donner à sa soeur qui vient de naître. La probabilité pour que sa soeur la garde sans dommage majeur au moins cinq années supplé- mentaires est la probabilité conditionnellePD?3(D?3+5).

On sait que la loi exponentielle est une loi à "durée de vie sans vieillissement » donc que, pour

tous réels strictement positifssett:PD?t(D?s+t)=P(D?s).

Partie C

Un cabinet de sondages et d"expertise souhaite savoir quel est le réel intérêt des enfants pour ce jouet.

À la suite d"une étude, il apparaît que pour un enfant de quatre ans, le nombre de jours, notéJ, où la

peluche est son jouet préféré suit une loi normale de paramètresμetσ. Il apparaît queμ=358 jours.

1.D"après le cours, la variable aléatoireX=J-358

σsuit la loi normale centrée réduite, c"est-à-dire la loi normale de moyenne 0 et d"écart type 1.

2.On sait queP(J?385)=0,975.

J?385??J-358?27??J-358

σ?27σcarσest un nombre strictement positif.

On cherche doncσpour queP?

X?27 ?0,975 sachant queXsuit la loi normale centrée ré- duite.

La calculatrice donne

27
σ≈1,96 ce qui équivaut àσ≈13,77. On prendra doncσ=14.

EXERCICE26 points

Commun à tous lescandidats

Partie A

On considère la fonctionfdéfinie et dérivable sur l"intervalle[0 ;+∞[parf(x)=xe-x.

1.D"après le cours, limx→+∞e

x x=+∞; donc limx→+∞xex=0 ce qui équivaut à limx→+∞xe-x=0.

Donc lim

x→+∞f(x)=0

2.La fonctionfest dérivable surRdonc sur[0 ;+∞[et :

f Pour tout réelx, e-x>0 doncf?(x) est du signe de 1-x;f(0)=0 etf(1)=e-1≈0,37 D"où le tableau de variation de la fonctionfsur[0 ;+∞[: x0 1+∞ f?(x)+++0---quotesdbs_dbs3.pdfusesText_6

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